高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)2.4 圓的方程學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

圓的方程
一、圓的方程
1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是圓的半徑．
（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑的圓的方程．設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，由兩點(diǎn)
間的距離公式可得：，則化簡(jiǎn)后得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
．
定義的重要解讀：
①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確地指出了圓心和半徑．
②方程不一定表示圓，當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)，所以方程要表示
一個(gè)圓，當(dāng)且僅當(dāng)．
③當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
經(jīng)典例題
圓心在點(diǎn)，并經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程是（）．
A.B.
C.D.
鞏固練習(xí)
以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）．
A.B.
C.D.
2. 圓的一般方程
方程
可化為
①
說明：
(1) 和項(xiàng)的系數(shù)相等且都不為零．
1
(2)沒有這樣的二次項(xiàng)．
(3) 當(dāng)時(shí)，方程①表示以為圓心，為半徑的
圓．
(4) 當(dāng)
時(shí)，方程①只有實(shí)根
，
，方程①表示一個(gè)點(diǎn)
．
(5)當(dāng)
時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)根，因而它不表示任何圖形.
經(jīng)典例題
1. 方程表示的圖形是（）．
A. 以為圓心，為半徑的圓B. 以為圓心，為半徑的圓
C. 以為圓心，為半徑的圓D. 以為圓心，為半徑的圓
2. 已知，方程表示圓，則該圓的面積是．
鞏固練習(xí)
1. 若直線經(jīng)過圓的圓心，則等于（）．
A.B.C. 或D. 或
2. 若方程表示圓，則的范圍是．
3. 求圓的方程的方法
（一）特殊條件下圓的方程
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程
圓心在原點(diǎn)
過原點(diǎn)
圓心在軸上圓心在軸上
圓心在軸上且過原點(diǎn)圓心在軸上且過原點(diǎn)
與軸相切
與軸相切
（二）求圓的方法
（1）直接代入法：將已知圓的圓心坐標(biāo)和半徑直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）待定系數(shù)法：
①若已知條件與圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，
從而求出的值；
②若已知條件沒有明確給出圓心和半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于
的方
程組，進(jìn)而求出的值.
（3）幾何性質(zhì)法：如果在求解圓的方程這類問題時(shí)，能夠結(jié)合圓的有關(guān)幾何性質(zhì)來考慮，利用“數(shù)形
結(jié)合的思想”進(jìn)行求解.
經(jīng)典例題
1. 已知圓的圓心在軸上，并且過點(diǎn)和，則圓的方程是．
2. 已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上，則圓的方程為．
3. 若圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且與軸相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
4. 已知直線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓的
標(biāo)準(zhǔn)方程為．
5. 根據(jù)下列條件求方程．
（ 1 ）已知頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，求外接圓的方程．
鞏固練習(xí)
1. 已知圓心在軸上的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，則的方程為（）．
A.B.C.D.
2. 設(shè)某圓的圓心為，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則該圓的半徑是．
3. 已知、，以線段為直徑的圓的方程為．
4. 求滿足下列條件的圓的方程．
（ 1 ）經(jīng)過點(diǎn)
（ 2 ）經(jīng)過三點(diǎn)
，圓心為點(diǎn)
，
，
．
．
5. 已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
（ 2 ）試求半徑最小的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
4. 知識(shí)總結(jié)
（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
．
（2）圓的一般方程
以為圓心，為半徑
（3）求圓的方程的方法
直接代入法、待定系數(shù)法、幾何性質(zhì)法
二、點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系
1. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知圓心，半徑，點(diǎn) 的坐標(biāo)為，則
①點(diǎn) 在圓內(nèi)；
②點(diǎn) 在圓上；
③點(diǎn) 在圓外．
其中
經(jīng)典例題
1. 已知圓以點(diǎn)為圓心，半徑等于，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）．
A. 點(diǎn)在圓內(nèi)B. 點(diǎn)在圓上C. 點(diǎn)在圓外D. 無法判斷
2. 點(diǎn)與圓的的位置關(guān)系是（）．
A. 在圓外B. 在圓內(nèi)C. 在圓上D. 不確定
鞏固練習(xí)
1. 若圓的圓心為，半徑為，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）．
A. 在圓內(nèi)B. 在圓上C. 在圓外D. 無法判斷
2. 若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是．
2. 直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系及判定
相離相切相交
位置關(guān)系
消元后的一元二次方程無實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
圓心到直線的距離與
圓的半徑的關(guān)系
注意：判斷直線與圓的位置關(guān)系，多數(shù)情況下利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作比較進(jìn)行判斷．
經(jīng)典例題
1. 直線與圓的位置關(guān)系是（）．
A. 直線與圓相切B. 直線與圓相交C. 直線與圓相離D. 直線過圓心
2. 已知直線過點(diǎn)，圓：，則()
A. 與相交B. 與相切
C. 與相離D. 與的位置關(guān)系不確定
3. 對(duì)任意的實(shí)數(shù) ，直線與圓的位置關(guān)系一定是()
A. 相離B. 相切
C. 相交但直線不過圓心D. 相交且直線過圓心
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若對(duì)于直線上的
任意一點(diǎn) ，在圓上總存在使，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為．
鞏固練習(xí)
1. 直線與圓的位置關(guān)系是（）．
A. 相切B. 相交C. 相離D. 不確定
2. 直線與圓的位置關(guān)系是（）．
A. 直線與圓相切B. 直線與圓相交但不過圓心
C. 直線與圓相離D. 直線過圓心
3. 若、、是的三邊，直線與圓相離，則一定是（
）．
A. 直角三角形B. 等邊三角形C. 銳角三角形D. 鈍角三角形
4. 不論為何實(shí)數(shù)，直線與曲線
恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（）．
A.B.C.D.
3. 知識(shí)總結(jié)
（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知圓心，半徑，點(diǎn) 的坐標(biāo)為，則
①點(diǎn) 在圓內(nèi)；
②點(diǎn) 在圓上；
③點(diǎn) 在圓外．
其中
（2）直線與圓的位置關(guān)系
相離相切相交
位置關(guān)系
消元后的一元二次方程無實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系
思維導(dǎo)圖
你學(xué)會(huì)了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本課所學(xué)吧！
出門測(cè)
1. 完成下列各題：
（ 1 ）求以、為直徑端點(diǎn)的圓的方程．
（ 2 ）求以，，為頂點(diǎn)的外接圓的方程．
2. 與圓相切于點(diǎn)的直線的斜率為（）．
A.B.C.D.
3. 已知圓經(jīng)過和，且圓心在直線上．
（ 1 ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（ 2 ）若直線垂直于直線且與圓相切．求直線的方程．
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