直線的方程
一、 直線的傾斜角與斜率
1. 直線的傾斜角與斜率
（1）直線的傾斜角
當(dāng)直線 與 軸相交時(shí)，我們以 軸為基準(zhǔn)， 軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角．我們規(guī)定 與 軸平行或重合的直線的傾斜角為0°．傾斜角一般用 表示，且
傾斜角的定義含有三個(gè)條件
①直線向上的方向；
② 軸的正方向；
③小于平角的非負(fù)角．
（2）直線的斜率的概念
我們把一條直線的傾斜角 的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母 表示，即
注意：
每條直線都存在唯一的傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為 的直線沒有斜率．
（3）直線的斜率公式
直線 經(jīng)過兩點(diǎn)，且傾斜角為 ，則直線的斜率公式是：
注意：
如果
，則直線與 軸平行或重合，
；
如果，則直線與 軸垂直，傾斜角等于 ， 不存在．
2. 直線的方向向量
直線的方向向量
一般地，如果表示非零向量 的有向線段所在的直線與直線 平行或重合，則稱向量 為直線 的一個(gè)方
向向量，記作．可以看出：
①如果 為直線 的一個(gè)方向向量，那么對(duì)于任意的實(shí)數(shù)
，向量 都是 的一個(gè)方向向量，而且直
線 的任意兩個(gè)方向向量一定共線；
1
②如果是直線 上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則是直線 的一個(gè)方向向量．
一般地，如果已知為直線 的一個(gè)方向向量，則
①當(dāng)時(shí)，顯然直線 的斜率不存在，傾斜角為 ；
②當(dāng)時(shí)，直線 的斜率是存在的，而且此時(shí)與都是直線 的一個(gè)方向向量，從而
，因此可知傾斜角滿足．
3. 直線的傾斜角與斜率的應(yīng)用
（1）求直線傾斜角的取值范圍①直線斜率與傾斜角的關(guān)系
傾斜角
斜率
傾斜角與斜率的變化關(guān)系或關(guān)于
直線的說明
零角等于
銳角大于
直角不存在
鈍角小于
②直線傾斜角的取值范圍
已知直線斜率 的取值范圍，求傾斜角 的取值范圍時(shí)，若 的取值范圍有正有負(fù)，則可把取值范圍分為大于或等于 和小于 兩部分，針對(duì)每一部分再根據(jù)斜率的增減性求傾斜角的取值范圍．
（2）求直線斜率的取值范圍
①數(shù)型結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定．
②利用斜率關(guān)于傾斜角的函數(shù)圖象，由傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍，反之亦可．
（3）三點(diǎn)共線問題①證明三點(diǎn)共線
兩直線 ， 的斜率相等三點(diǎn)共線；
三點(diǎn)共線，則直線 ， 的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在．
②由三點(diǎn)共線求參數(shù)的值
根據(jù)三點(diǎn)共線，利用任意兩點(diǎn)斜率相等求參數(shù)的值．
經(jīng)典例題
1. 過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為 ，則 （ ）．
A.B.C.D.
2. 已知直線 的一個(gè)方向向量為，則直線 的斜率為．
3. 已知，，若過點(diǎn)的直線 與線段 相交，則 斜率的取值范圍是．
4. 已知直線 的斜率的取值范圍是，則 的傾斜角的取值范圍是．
5. 已知直線傾斜角的范圍是，則此直線的斜率的取值范圍是（ ）．
A.B.
C.D.
6. 求證：、、三點(diǎn)共線．
7. 若，，三點(diǎn)共線，則．
鞏固練習(xí)
1. 若直線 的斜率，則直線傾斜角 的范圍是（ ）．
A.B.C.D.
2. 已知直線 的傾斜角為 ，且，則直線 的斜率的取值范圍是（ ）．
A.B.
C.D.
3. 設(shè)點(diǎn)，，直線 過點(diǎn)且與線段 相交，則 的斜率 的取值范圍是（ ）．
A.或B.C.D. 以上都不對(duì)
4. 若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) 的值為.
4. 知識(shí)總結(jié)
（1）傾斜角的定義含有三個(gè)條件：①直線向上的方向；② 軸的正方向；③小于平角的非負(fù)角．
（2）每條直線都存在唯一的傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為 的直線沒有斜率．
二、 直線方程
1. 直線方程的五種形式
直線方程的概念
如果以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，且這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，那么這個(gè)
方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線.
直線方程的五種形式的區(qū)別和聯(lián)系
名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍
點(diǎn)斜式
是直線上一定
點(diǎn)， 是斜率
不垂直于 軸
斜截式
是斜率， 是直線在 軸
上的截距
不垂直于 軸
兩點(diǎn)式兩定點(diǎn)是直線上 不垂直于 軸和 軸
截距式
是直線在 軸上的非零截距， 是直線在 軸上的非零截距
不垂直于 軸和 軸，且不過原點(diǎn)
一般式為系數(shù)任意位置的直線
經(jīng)典例題
1. 直線 經(jīng)過點(diǎn)
，其傾斜角是直線
的傾斜角的 倍，則直線 的方程為
．
2. 已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、， 是 邊上的中點(diǎn)．
（ 1 ）求 邊所在的直線方程．
3. 過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線 的方程為．
4. 求過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 的直線 的方程．
鞏固練習(xí)
1. 一條直線經(jīng)過點(diǎn)
，并且它的傾斜角等于直線
的傾斜角的 倍．則這條直線的方程
是．
2. 經(jīng)過點(diǎn)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線方程為（ ）．
A.或B.，
C.，或D.，或，或
3. 直線 經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 ，求直線 的方程．
2. 直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積或周長問題
解決此類問題需先求出直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出這兩個(gè)交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用直角三
角形的面積或周長公式求解．
經(jīng)典例題
1. 已知直線 的斜率為 ，且和兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為 ，求 的方程．
2. 若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不小于 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為．
鞏固練習(xí)
1. 求與兩坐標(biāo)軸圍成面積是 ，且斜率為 的直線方程．
2. 已知直線 在 軸上的截距為 ，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 ，求直線 的一般方程．
3. 恒過定點(diǎn)問題
解決過定點(diǎn)問題常用的方法：
（1）特殊值法：給方程中的參數(shù)取兩個(gè)特殊值,可得關(guān)于 的兩個(gè)方程，從中解出的 的值即為所求定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)斜式法：將含參數(shù)的直線方程寫成點(diǎn)斜式，則直線必過定點(diǎn)．
（3）分離參數(shù)法：將含參數(shù)的直線方程整理為過交點(diǎn)的直線系方程即
的形式，則該方程表示的直線必過直線
或
的交點(diǎn)，而此交點(diǎn)就是定點(diǎn)．
比較這三種方法可知，方法一計(jì)算較繁瑣；方法二變形較困難；方法三最簡便也最常用．
經(jīng)典例題
求直線經(jīng)過的定點(diǎn)．
（ 1 ）無論 為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)．
（ 2 ）無論 為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)．
（ 3 ）無論 為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)．
（ 4 ）無論 ， 為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)．
鞏固練習(xí)
1. 直線
，當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，所有直線都經(jīng)過點(diǎn)
．
2. 設(shè)直線 的方程為，則直線 過定點(diǎn)．
3. 不論 取何值，直線恒過定點(diǎn)．
4. 知識(shí)總結(jié)
（一）直線方程的五種形式的區(qū)別和聯(lián)系
名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍
點(diǎn)斜式
是直線上一定
點(diǎn)， 是斜率
不垂直于 軸
斜截式
是斜率， 是直線在 軸
上的截距
不垂直于 軸
兩點(diǎn)式兩定點(diǎn)是直線上 不垂直于 軸和 軸
截距式
是直線在 軸上的非零截距， 是直線在 軸上的非零截距
不垂直于 軸和 軸，且不過原點(diǎn)
一般式為系數(shù)任意位置的直線
（二）直線方程的應(yīng)用
（1） 直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積或周長問題
（2） 恒過定點(diǎn)問題
①特殊值法
②點(diǎn)斜式法
③分離參數(shù)法
三、 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
1. 兩條直線的位置關(guān)系
（1）兩條直線相交、平行與重合的條件
斜截式
一般式
相交或
平行
重合
且
且
或
或
或
（1）當(dāng)用直線的斜率判定兩條直線的平行、垂直等時(shí)，要注意斜率不存在的情況．
（2）與直線平行的直線方程可設(shè)為．
（2）兩條直線垂直的條件① 當(dāng)直線 與 垂直時(shí)，
（斜截式），
（一般式）．
② 與直線垂直的直線方程可設(shè)為
2. 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
已知直線：，
相交的條件為：或．
聯(lián)立兩條直線的方程，解二元一次方程組即可得到兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
兩條直線的位置關(guān)系與相應(yīng)直線方程組成的二元一次方程組的解的聯(lián)系
兩條直線 的公共點(diǎn)
個(gè)數(shù)
一個(gè)
無數(shù)個(gè)
零個(gè)
方程組
的一組無數(shù)組無解
實(shí)數(shù)解
直線 的位置關(guān)系相交重合平行
3. 距離公式
（1）兩點(diǎn)間距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式
設(shè)，為線段 中點(diǎn)，則
① 兩點(diǎn)之間的距離公式：
②中點(diǎn) 的坐標(biāo)公式：
，所以
坐標(biāo)法的概念
實(shí)際上是通過建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運(yùn)算等解決了問題.這種解決問題的方法稱為坐標(biāo)法.
（2）點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)到直線的距離
注意：
（1）在運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式求解時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式；
（2）若點(diǎn) 在直線上，則點(diǎn) 到直線的距離為 ，距離公式仍然成立.
（3）兩條平行線間的距離公式兩條平行直線 ：
， ：
之間的距離為 ，則
在使用兩條平行線間的距離公式時(shí)，一定要注意：兩條直線方程均為一般式，且 的系數(shù)分別相同，而不是對(duì)應(yīng)成比例.當(dāng)兩條平行直線不滿足以上條件時(shí)，應(yīng)將方程變形.
經(jīng)典例題
1. 若直線 ：與 ：平行，則 的值是（ ）．
A. 或B. 或C. 或D. 或
2. 直線與互相垂直，則 的值為()
A.B.C.D.
3. 若直線 ：與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線 的傾斜角的取值范圍是（
）．
A.B.C.D.
4. 已知點(diǎn)（ 1 ）（ 2 ）
，
，
的形狀．
的面積．
．
5. 已知直線 的方程為．
（ 2 ）求與 平行，且到點(diǎn)的距離為 的直線的方程．
6. 直線與直線平行，則兩直線間的距離為（ ）．
A.B.C.D.
7. 已知直線 與兩直線和的距離相等，則 的方程為．
鞏固練習(xí)
1. 直線
與直線
的交點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則 的取值范圍是
．
2. 直線與直線互相垂直，則 的值為（ ）．
A.B.C.或D.或
3. 已知點(diǎn)和到直線的距離相等，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）．
A. 或B.或C.或D. 或
4. 到直線的距離為 的直線方程是（ ）．
A.B.或
C.D.或
4. 知識(shí)總結(jié)
（一）兩條直線的位置關(guān)系
斜截式一般式
相交平行重合
且
且
或
特別地，當(dāng)直線 與 垂直時(shí)，．
（二）相關(guān)公式
① 兩點(diǎn)間距離公式：② 中點(diǎn)坐標(biāo)
③ 點(diǎn)到直線距離公式：④ 平行線間距離公式：
四、 對(duì)稱問題
1. 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為
經(jīng)典例題
1. 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 的坐標(biāo)是（ ）．
A.B.C.D.
2. 已知點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，則點(diǎn)到原點(diǎn) 的距離是（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是．
2. 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱
設(shè)，，設(shè) 關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則 是 的垂直平分
線，即且 的中點(diǎn)在 上，解方程組可得 點(diǎn)坐標(biāo)．
經(jīng)典例題
1. 點(diǎn)關(guān)于直線 ：對(duì)稱的點(diǎn) 的坐標(biāo)是（ ）．
A.B.C.D.
2. 如果關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線 的方程是（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
1. 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．
2. 已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，則直線 的方程為（ ）．
A.B.C.D.
3. 直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
（3）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱
方法一：求一條直線關(guān)于點(diǎn)
的對(duì)稱直線方程時(shí)可在該直線上取兩個(gè)特殊點(diǎn)，再求它們關(guān)于點(diǎn) 的
對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式求其直線方程；
方法二：（一般性方法）可設(shè)所求的直線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為
，再求它關(guān)于
的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，而它
的對(duì)稱點(diǎn)在已知直線上，將其代入已知直線方程，便可得到關(guān)于 的方程，即為所求的直線方程．
經(jīng)典例題
1. 與直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（ ）．
A.B.C.D.
2. 直線與直線 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線 恒過定點(diǎn)（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
1. 若直線與直線 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線 恒過定點(diǎn)()
A.B.C.D.
2. 與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（ ）．
A.B.C.D.
4. 直線關(guān)于直線的對(duì)稱
（4）直線關(guān)于直線的對(duì)稱
此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決，
①若已知直線 與對(duì)稱軸 相交，則交點(diǎn)必在與 對(duì)稱的直線 上，然后再求出 上任一個(gè)已知點(diǎn) 關(guān)于對(duì)稱軸 對(duì)稱的點(diǎn) ，那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn) 的直線就是 ；
②若已知直線 與對(duì)稱軸 平行，則與 對(duì)稱的直線 和 到直線 的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出 的對(duì)稱直線 ．
經(jīng)典例題
直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是（ ）．
A.B.C.D.
鞏固練習(xí)
若直線 與直線
關(guān)于直線
對(duì)稱，則 的方程是
．
5. 知識(shí)總結(jié)
對(duì)稱問題種類
（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
（2）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
（3）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
（4）直線關(guān)于直線對(duì)稱
思維導(dǎo)圖
你學(xué)會(huì)了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！
出門測
1. 已知點(diǎn)，直線，求：
（ 1 ）（ 2 ）
過點(diǎn) 且與 平行的直線的方程．
過點(diǎn) 且與 垂直的直線的方程．
2. 求與直線平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為 的直線 的方程．
3. 求縱截距為 ，與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為 的直線的一般式方程．
4. 已知點(diǎn)與直線 ：，則點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）．
A.B.C.D.
16

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2.2 直線的方程

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