一．圓的認(rèn)識(shí)
（1）圓的定義
定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．
（2）與圓有關(guān)的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．
（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性．②中心對(duì)稱性．
二．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br> 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br> 推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?br>三．垂徑定理的應(yīng)用
垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．
（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．
五．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．
六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：
①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．
②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．
（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．
七．相交弦定理
（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）．
幾何語言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理） （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)． 幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．
八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點(diǎn)P在圓外?d＞r
②點(diǎn)P在圓上?d＝r
①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
九．確定圓的條件
不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．
十．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．
十一．直線與圓的位置關(guān)系
（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：
①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)．
②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．
③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．
（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．
①直線l和⊙O相交?d＜r
②直線l和⊙O相切?d＝r
③直線l和⊙O相離?d＞r．
十二．切線的性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用
由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．
十三．切線的判定
（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：
①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．
②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的．
③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．
十四．切線的判定與性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（3）常見的輔助線的：
①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；
②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．
十五．弦切角定理
（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．
如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．
十六．切線長(zhǎng)定理
（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．
（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．
（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．
（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：
①垂直關(guān)系三處；
②全等關(guān)系三對(duì)；
③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．
十七．切割線定理
（1）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．
幾何語言：
∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線
∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）
（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等．
幾何語言：
∵PBA，PDC是⊙O的割線
∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）
由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．
十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心
（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．
（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形．
（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：
三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．
十九．正多邊形和圓
（1）正多邊形與圓的關(guān)系
把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．
（2）正多邊形的有關(guān)概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
二十．弧長(zhǎng)的計(jì)算
（1）圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR
（2）弧長(zhǎng)公式：l（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）
①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．
③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
二十一．扇形面積的計(jì)算
（1）圓面積公式：S＝πr2
（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．
（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則
S扇形πR2或S扇形lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）
（4）求陰影面積常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割補(bǔ)法．
（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．
二十二．圓錐的計(jì)算
（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高．
（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)?2πr?l＝πrl．
（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl
（5）圓錐的體積底面積×高
注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．
②圓錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等．
二十三．圓柱的計(jì)算
（1）圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長(zhǎng)等于矩形的長(zhǎng)．
（2）圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長(zhǎng)×高
（3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側(cè)面積
（4）圓柱的體積＝底面積×高．
【考點(diǎn)剖析】
一．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）
1．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
二．垂徑定理（共1小題）
2．（2022?海陵區(qū)一模）如圖，直線l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O的弦，OC∥AB，半徑OC的長(zhǎng)為10，弦AB的長(zhǎng)為12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為 秒．
三．垂徑定理的應(yīng)用（共1小題）
3．（真題?溧水區(qū)期末）在一個(gè)殘缺的圓形工件上量得弦BC＝8cm，的中點(diǎn)D到弦BC的距離DE＝2cm，則這個(gè)圓形工件的半徑是 cm．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共2小題）
4．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的長(zhǎng)為 ．
5．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點(diǎn)F，D，G，且D是的中點(diǎn)．
（1）求證AB＝AC；
（2）連接DF，當(dāng)DF∥AC時(shí)，若AB＝10，BC＝12，求CE的長(zhǎng)．
五．圓周角定理（共1小題）
6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的半徑為（ ）
A．2B．2C．D．1
六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）
7．（2022?無錫一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，OD∥BC，若∠C＝124°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．56°B．68°C．72°D．78°
七．相交弦定理（共1小題）
8．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦CD過弦AB的中點(diǎn)E，CE＝1，DE＝3，則AB＝ ．
八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）
9．（2022?睢寧縣模擬）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
九．確定圓的條件（共1小題）
10．（真題?江都區(qū)校級(jí)月考）過A、B、C三點(diǎn)能確定一個(gè)圓的條件是（ ）
①AB＝2，BC＝3，AC＝5；
②AB＝3，BC＝3，AC＝2；
③AB＝3，BC＝4，AC＝5．
A．①②B．①②③C．②③D．①③
一十．三角形的外接圓與外心（共1小題）
11．（真題?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（ ）
A．B．C．D．
一十一．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）
12．（真題?南京期末）如圖，若⊙O的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
一十二．切線的性質(zhì)（共1小題）
13．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，連接OC與半圓相交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．1D．2.5
一十三．切線的判定（共1小題）
14．（2022?思明區(qū)校級(jí)一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．
一十四．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
15．（2022?宜興市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，⊙O的半徑為 ；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí)，其半徑為 ．
一十五．弦切角定理（共1小題）
16．（2020?南通二模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
一十六．切線長(zhǎng)定理（共1小題）
17．（真題?高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．12cmB．7cm
C．6cmD．隨直線MN的變化而變化
一十七．切割線定理（共1小題）
18．（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，已知⊙O與Rt△AOB的斜邊交于C，D兩點(diǎn)，C、D恰好是AB的三等分點(diǎn)，若⊙O的半徑等于5，則AB的長(zhǎng)為 ．
一十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）
19．（2022春?宜興市校級(jí)月考）如圖，矩形OABC，B（﹣4，3），點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，6 ）B．（6，﹣1）C．（ 1，1 ）D．（﹣1，6）
一十九．正多邊形和圓（共2小題）
20．（真題?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接AC，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．45°B．38°C．36°D．30°
21．（2022?南京一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點(diǎn)，連接AC，DM交于點(diǎn)N，則∠CND的度數(shù)是 ．
二十．弧長(zhǎng)的計(jì)算（共1小題）
22．（真題?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°
二十一．扇形面積的計(jì)算（共1小題）
23．（2022?宜興市一模）如圖，半圓O的直徑AB＝6，將半圓O繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O'，與AB交于點(diǎn)P，圖中陰影部分的面積等于 ．
二十二．圓錐的計(jì)算（共1小題）
24．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，把矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓．若它們恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AD：AB為（ ）
A．3：2B．7：4C．9：5D．2：1
二十三．圓柱的計(jì)算（共1小題）
25．（2022?宜興市校級(jí)一模）如果圓柱的母線長(zhǎng)為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是 ．
【過關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，直線FG切⊙O于點(diǎn)E，交PA于F，交PB于點(diǎn)G，若PA＝8cm，則△PFG的周長(zhǎng)是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
2．（3分）下列說法正確的是（ ）
①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦
②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧
③垂直于弦的直線必過圓心
④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧
A．②③B．①③C．②④D．①④
3．（3分）已知：如圖⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，則⊙O的半徑是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
4．（3分）如圖所示的工件槽的兩個(gè)底角均為90°，尺寸如圖（單位cm），將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)，若同時(shí)具有A，B，E三個(gè)接觸點(diǎn)，則該球的半徑是（ ）cm．
A．10B．18C．20D．22
5．（3分）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線，若△ABC的周長(zhǎng)為21，BC邊的長(zhǎng)為6，則△ADE的周長(zhǎng)為（ ）
A．15B．9C．7.5D．7
6．（3分）有一個(gè)六邊形的半徑為4cm，則這個(gè)六邊形的面積為（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
7．（3分）如圖，P為∠AOB邊OA上一點(diǎn)，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P為圓心，5cm為半徑的圓與直線OB的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．相切D．無法確定
8．（3分）P、Q是直線l上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且OP＝5，⊙O的半徑為5，下列敘述正確的是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)Q在⊙O外
C．直線l與⊙O一定相切 D．若OQ＝5，則直線l與⊙O相交
9．（3分）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K5K6…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長(zhǎng)分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB＝1時(shí)，l2014等于（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，且四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是劣弧AD上一動(dòng)點(diǎn)，PB、PC分別與AD相交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．當(dāng)PA＝AB且AE＝EF＝FD時(shí)，AE的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
11．（3分）如圖，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上，BD是直徑，則∠ACD＝ °．
12．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD、BD是半圓的弦，∠PDA＝∠PBD，∠BDE＝60°，若PD，則PA的長(zhǎng)為 ．
13．（3分）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，連接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度數(shù)是 ．
14．（3分）如果一個(gè)圓柱的底面半徑為1米，它的高為2米，那么這個(gè)圓柱的全面積為 平方米．（結(jié)果保留π）
15．（3分）已知⊙O的半徑OA為1．弦AB的長(zhǎng)為，若在⊙O上找一點(diǎn)C，使AC，則∠BAC＝ °．
16．（3分）要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)為8cm的正方形鐵片，選用的圓形鐵片的直徑最小要 cm．
17．（3分）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長(zhǎng)為10cm，則圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是 度．
18．（3分）在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么該圓的半徑為 cm．
19．（3分）線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是 度．
20．（3分）已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC交弦AB于點(diǎn)P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，則OC的長(zhǎng)等于 cm．
三．解答題（共6小題，滿分40分）
21．（6分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，AE⊥BC于E
（1）已知∠ABC＝∠DAC，AD＝4，求AC的長(zhǎng)．
（2）已知AC＝6，AE＝4，⊙O的半徑為5，求AB的長(zhǎng)．
22．（6分）如圖，已知，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，連接CD并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A．
（1）證明：CD是⊙O的切線；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的長(zhǎng)．
23．（6分）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．
（1）若∠A＝36°，求∠C的度數(shù)；
（2）若弦BC＝24，圓心O到弦BC的距離為6，求⊙O的半徑．（結(jié)果用根號(hào)表示）
24．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E．
（1）求證：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．
（2）若∠BOD＝80°，求∠CED的度數(shù)．
25．（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，在BC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使得BF＝EF，EF與AC交于點(diǎn)G．
（1）試判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若OA＝2，∠A＝30°，求圖中陰影部分的面積．
26．（8分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，DC＝DE．
（1）求證：∠A＝∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求證：△ABE是等邊三角形．
第15講 對(duì)稱圖形—圓全章復(fù)習(xí)與測(cè)試（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．圓的認(rèn)識(shí)
（1）圓的定義
定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．
（2）與圓有關(guān)的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．
（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性．②中心對(duì)稱性．
二．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br> 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br> 推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?br>三．垂徑定理的應(yīng)用
垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．
（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．
五．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．
六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：
①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．
②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．
（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．
七．相交弦定理
（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）．
幾何語言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理） （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)． 幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．
八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點(diǎn)P在圓外?d＞r
②點(diǎn)P在圓上?d＝r
①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
九．確定圓的條件
不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．
十．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．
十一．直線與圓的位置關(guān)系
（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：
①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)．
②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．
③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．
（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．
①直線l和⊙O相交?d＜r
②直線l和⊙O相切?d＝r
③直線l和⊙O相離?d＞r．
十二．切線的性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用
由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．
十三．切線的判定
（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：
①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．
②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的．
③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．
十四．切線的判定與性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（3）常見的輔助線的：
①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；
②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．
十五．弦切角定理
（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．
如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．
十六．切線長(zhǎng)定理
（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．
（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．
（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．
（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：
①垂直關(guān)系三處；
②全等關(guān)系三對(duì)；
③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．
十七．切割線定理
（1）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．
幾何語言：
∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線
∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）
（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等．
幾何語言：
∵PBA，PDC是⊙O的割線
∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）
由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．
十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心
（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．
（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形．
（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：
三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．
十九．正多邊形和圓
（1）正多邊形與圓的關(guān)系
把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．
（2）正多邊形的有關(guān)概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
二十．弧長(zhǎng)的計(jì)算
（1）圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR
（2）弧長(zhǎng)公式：l（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）
①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．
③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
二十一．扇形面積的計(jì)算
（1）圓面積公式：S＝πr2
（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．
（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則
S扇形πR2或S扇形lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）
（4）求陰影面積常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割補(bǔ)法．
（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．
二十二．圓錐的計(jì)算
（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高．
（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)?2πr?l＝πrl．
（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl
（5）圓錐的體積底面積×高
注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．
②圓錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等．
二十三．圓柱的計(jì)算
（1）圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長(zhǎng)等于矩形的長(zhǎng)．
（2）圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長(zhǎng)×高
（3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側(cè)面積
（4）圓柱的體積＝底面積×高．
【考點(diǎn)剖析】
一．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）
1．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【分析】連接OD，如圖，設(shè)∠C的度數(shù)為n，由于CD＝OA＝OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠DOC＝n，則利用三角形外角性質(zhì)得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，從而得到∠A的度數(shù)．
【解答】解：連接OD，如圖，設(shè)∠C的度數(shù)為n，
∵CD＝OA＝OD，
∴∠C＝∠DOC＝n，
∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，
∴OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2n，
∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，
∴75°+n+2n＝180°，
解得n＝35°，
∴∠A＝2n＝70°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
二．垂徑定理（共1小題）
2．（2022?海陵區(qū)一模）如圖，直線l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O的弦，OC∥AB，半徑OC的長(zhǎng)為10，弦AB的長(zhǎng)為12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為 16或20 秒．
【分析】利用分類討論的方法分兩種情況解答：①當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，利用垂徑定理和矩形的判定定理解答即可；②當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM⊥AP于點(diǎn)M，同①方法，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解答】解：①當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，
連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，
∵OH⊥AB，
∴AHAB＝6，
∴OH8．
∵OC∥AB，OH⊥AB，CP⊥AB，
∴四邊形OHPC為矩形，
∴PH＝OC＝10，
∴AP＝AH+HP＝16，
∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度前進(jìn)，
∴t＝16；
②當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，
連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM⊥AP于點(diǎn)M，如圖，
∵OH⊥AB，
∴AHAB＝6，
∴OH8．
∵OC∥AB，OH⊥AB，CM⊥AP，
∴四邊形OHMC為矩形，
∴HM＝OC＝10，CM＝OH＝8，
∴AM＝16，
∵∠ACP＝90°，CM⊥AP，
∴△AMC∽△CMP，
∴，
∴，
∴MP＝4，
∴AP＝AM+MP＝20．
∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度前進(jìn)，
∴t＝20，
綜上，當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為16秒或20秒，
故答案為：16或20．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出圓的弦心距是解題的關(guān)鍵．
三．垂徑定理的應(yīng)用（共1小題）
3．（真題?溧水區(qū)期末）在一個(gè)殘缺的圓形工件上量得弦BC＝8cm，的中點(diǎn)D到弦BC的距離DE＝2cm，則這個(gè)圓形工件的半徑是 5 cm．
【分析】由垂徑定理的推論得圓心在直線DE上，設(shè)圓心為0，連接OB，半徑為R，再由垂徑定理得BE＝CEBC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，
∴圓心在直線DE上，
設(shè)圓心為O，半徑為Rcm，如圖，連接OB，
則OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，
∴BE＝CEBC＝4（cm），
在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即這個(gè)圓形工件的半徑是5cm，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共2小題）
4．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的長(zhǎng)為 ．
【分析】根據(jù)圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，進(jìn)而利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F，連接OA，
則AE＝BEAB，CF＝DFCD，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE，
∴OE1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF∠AMC＝60°，
∴OM，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系，勾股定理，全等三角形以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握?qǐng)A心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理可求是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點(diǎn)F，D，G，且D是的中點(diǎn)．
（1）求證AB＝AC；
（2）連接DF，當(dāng)DF∥AC時(shí)，若AB＝10，BC＝12，求CE的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠EDA＝90°，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到∠BAD＝∠CAD，進(jìn)而證明∠B＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論；
（2）連接DF，DG，證明△AEC∽△DGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)勾股定理求出DE，進(jìn)而求出CE．
【解答】（1）證明：連接AD，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠EDA＝90°，
∵D是的中點(diǎn)，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：連接DF，DG．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝12，
∴AC＝10，CD＝6，
由勾股定理得：AD8，
∵DF∥AC，
∴，
∴BF＝FA，
在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，
∴DG＝DFAB＝5，
∴DG＝DF＝5，
∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，
∴△AEC∽△DGC，
∴，即，
解得：AE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE，AD＝8，
∴DE，
∴EC＝CD﹣DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，根據(jù)△AEC∽△DGC求出AE是解題的關(guān)鍵．
五．圓周角定理（共1小題）
6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的半徑為（ ）
A．2B．2C．D．1
【分析】先利用圓周角定理得到∠C＝90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)D到AB的距離等于DC，則利用三角形面積得到AB：BC＝AD：CD＝2：1，設(shè)BC＝x，AB＝2x，利用勾股定理得到x2+32＝（2x）2，然后解方程得到AB的長(zhǎng)，從而得到⊙O的半徑．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴點(diǎn)D到AB的距離等于DC，
∴S△BDA：S△BDC＝AB：BC，
∵S△BDA：S△BDC＝AD：CD＝2：1，
∴AB：BC＝2：1，
設(shè)BC＝x，AB＝2x，
在Rt△ABC中，x2+32＝（2x）2，
解得x1，x2（舍去），
∴AB＝2，
∴⊙O的半徑為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了三角形面積公式．
六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）
7．（2022?無錫一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，OD∥BC，若∠C＝124°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．56°B．68°C．72°D．78°
【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形和圓周角定理得∠BOD，再利用平行線的性質(zhì)得到∠CDO，最后利用四邊形內(nèi)角和求出∠B．
【解答】解：∵∠C＝124°，
∴∠A＝180°﹣124°＝56°，
∴∠BOD＝2∠A＝112°，
∵OD∥BC，
∴∠CDO＝180°﹣124°＝56°，
∴∠B＝360°﹣124°﹣56°﹣112°＝68°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形、平行線的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是熟練使用圓的相關(guān)性質(zhì)．
七．相交弦定理（共1小題）
8．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦CD過弦AB的中點(diǎn)E，CE＝1，DE＝3，則AB＝ 2 ．
【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．
【解答】解：∵弦CD過弦AB的中點(diǎn)E，CE＝1，DE＝3，
∴CE?DE＝AE?BE，
∴1×3＝AE2，
解得：AE，
∴弦AB的長(zhǎng)為：AB＝2AE＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相交弦定理，正確記憶相交弦定理是解題關(guān)鍵．
八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）
9．（2022?睢寧縣模擬）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【分析】作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'根據(jù)中位線的性質(zhì)得到OM，求出A'C的最大值即可．
【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'（﹣3，0），
則點(diǎn)O是AA'的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，
∴OM是△AA'C的中位線，
∴OM，
∴當(dāng)A'C最大時(shí)，OM最大，
∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，
∴點(diǎn)C在以B為圓心，2為半徑的⊙B上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)A'C經(jīng)過圓心B時(shí)，AC最大，即點(diǎn)C在圖中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3．
∴OM的最大值．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．
九．確定圓的條件（共1小題）
10．（真題?江都區(qū)校級(jí)月考）過A、B、C三點(diǎn)能確定一個(gè)圓的條件是（ ）
①AB＝2，BC＝3，AC＝5；
②AB＝3，BC＝3，AC＝2；
③AB＝3，BC＝4，AC＝5．
A．①②B．①②③C．②③D．①③
【分析】首先計(jì)算兩個(gè)較短的線段長(zhǎng)的和是否大于較長(zhǎng)的線段長(zhǎng)，從而判斷出三點(diǎn)是否同一條直線上，進(jìn)而可得A、B、C三點(diǎn)不能確定一個(gè)圓．
【解答】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三點(diǎn)共線，不能確定一個(gè)圓；
②AB＝BC，以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，有外接圓；
③A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形，有外接圓．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了確定圓的條件，關(guān)鍵是掌握不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
一十．三角形的外接圓與外心（共1小題）
11．（真題?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，由⊙O是等邊△ABC的外接圓，即可求得∠OBC的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得OD的長(zhǎng)，又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長(zhǎng)，由三角形面積公式可得出答案．
【解答】解：連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，
∴∠BOC360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB30°，
∵⊙O的半徑為2，
∴OB＝2，
∴BD＝OB?cs∠OBD＝2×cs30°＝2，ODOB＝1，
∴BC＝2．
∴等邊△ABC的面積為3S△BCO＝3BC?OD＝31＝3．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓，等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
一十一．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）
12．（真題?南京期末）如圖，若⊙O的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出結(jié)論．
【解答】解：∵⊙O的半徑是6，圓心O到直線l的距離是3，6＞3，
∴直線l與⊙O相交．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)d＜r時(shí)直線l和⊙O相交是解答此題的關(guān)鍵．
一十二．切線的性質(zhì)（共1小題）
13．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，連接OC與半圓相交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．1D．2.5
【分析】設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，則OE⊥AC，由AB2＝AC2+BC2，證得∠C＝90°，即可證得OE∥BC，進(jìn)一步證得E是AC的中點(diǎn)，即可得到AE＝4，根據(jù)勾股定理求得半徑，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出OC＝5，即可求得CD＝OC﹣OD＝2．
【解答】解：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，則OE⊥AC，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵AO＝OB，
∴AE＝ECAC＝4，
∵OAAB＝5，
∴OEBC＝3，
∴OD＝3，
在Rt△ABC中，OC是斜邊AB上的中線，
∴OCAB＝5，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、三角形中位線定理以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得CO和半徑OD的長(zhǎng)，屬于中考常考題型．
一十三．切線的判定（共1小題）
14．（2022?思明區(qū)校級(jí)一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．
【分析】連接OD，求出∠ODB＝90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
【解答】如圖，連接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直線BD與⊙O相切．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明OD⊥BD．
一十四．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
15．（2022?宜興市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，⊙O的半徑為 2 ；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí)，其半徑為 或106 ．
【分析】⊙O與AD相切于點(diǎn)D，此時(shí)OD＝OC，∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，所以∠ODF＝30°，∠FOD＝60°，則∠OFD＝90°，在Rt△CDF中根據(jù)勾股定理列方程即可求出OC的長(zhǎng)為2，即此時(shí)圓的半徑為2；⊙O與BC相切于點(diǎn)C，則OC＝ODCD，此時(shí)圓的半徑為；⊙O與AD相切于點(diǎn)G，連接OG、OD，OC，作OL⊥AD于點(diǎn)L，設(shè)⊙O的半徑為r，則OG＝OD＝r，作OH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)K，作KM⊥BC于點(diǎn)M，則DH＝CHCD，可推導(dǎo)出DL＝2r，OL＝AG＝4r，在Rt△DOL中根據(jù)勾股定理列方程求出r的值即可．
【解答】解：如圖，⊙O與AD相切，連接OD，連接CO并延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)O到AD的距離等于⊙O的半徑，且OD是⊙O的半徑，
∴OD就是點(diǎn)O到AD的距離，
∴AD⊥OD，
∴∠ODA＝90°，
∵AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴tan∠ADB，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°，
∴∠OFD＝90°，
∴OFODOC，DF＝OD?sin60°ODOC，
∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2，
∴（OC）2+（OC+OC）2＝（2）2，
∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合題意，舍去），
∴⊙O的半徑為2；
如圖，點(diǎn)O在CD邊上，
∵∠BCD＝90°，
∴BC⊥OC，
∴⊙O與BC相切于點(diǎn)C，
∵AD＝CD＝2，
∴OC＝ODCD2，
∴⊙O的半徑為．
如圖，⊙O與AD相切于點(diǎn)G，連接OG、OD，OC，作OL⊥AD于點(diǎn)L，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°，
∴四邊形OGAL是矩形，
∴AL＝OG＝OD＝OC＝r，
∴DL＝2r，
作OH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)K，作KM⊥BC于點(diǎn)M，則DH＝CHCD，
∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°，
∴四邊形MKHC是矩形，
∴KM＝CH，
∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°，
∴sin∠KBM＝sin60°，
∴，
∴BK＝2，
∵KH∥BC，
∴∠OKG＝∠ABC＝60°，
∵∠OGK＝90°，
∴tan∠OKG＝tan60°，
∴KGOGr，
∴OL＝AG＝6﹣2r＝4r，
∵∠OLD＝90°，
∴OL2+DL2＝OD2，
∴（4r）2+（2r）2＝r2，
整理得r2﹣20r+84＝0，
解得r＝106或r＝106（不符合題意，舍去），
∴⊙O的半徑為106，
綜上所述，⊙O的半徑為或106，
故答案為：2；或106．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
一十五．弦切角定理（共1小題）
16．（2020?南通二模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】連接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切線的性質(zhì)求得∠DBC，最后由切線長(zhǎng)定理求得∠D的度數(shù)．
【解答】
解：連接BC，
∵DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：連接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切線，B，C是切點(diǎn)，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、弦切角定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．
一十六．切線長(zhǎng)定理（共1小題）
17．（真題?高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．12cmB．7cm
C．6cmD．隨直線MN的變化而變化
【分析】利用切線長(zhǎng)定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn)，
∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解題關(guān)鍵．
一十七．切割線定理（共1小題）
18．（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，已知⊙O與Rt△AOB的斜邊交于C，D兩點(diǎn)，C、D恰好是AB的三等分點(diǎn)，若⊙O的半徑等于5，則AB的長(zhǎng)為 3 ．
【分析】過O作OH⊥AB，由垂徑定理得到CH＝DH，推出△AOB是等腰直角三角形，得到OH＝AH，設(shè)AC＝CD＝BD＝x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：過O作OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∵AC＝BDAB，
∴AH＝BH，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OH＝AH，
設(shè)AC＝CD＝BD＝x，
∴AH＝OH＝1.5x，
∴CH2+OH2＝OC2，
∴（x）2+（x）2＝52，
∴x，
∴AB＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
一十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）
19．（2022春?宜興市校級(jí)月考）如圖，矩形OABC，B（﹣4，3），點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，6 ）B．（6，﹣1）C．（ 1，1 ）D．（﹣1，6）
【分析】根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，可得點(diǎn)M為△ABC角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)M作三邊的高線DM，EM，F(xiàn)M，垂足分別為D，E，F(xiàn)，所以DM＝EM＝FM，設(shè)DM＝EM＝FM＝r，根據(jù)S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，列式求出r的值，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】解：將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖所示：
∵點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，
∴點(diǎn)M為△ABC角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)M作三邊的高線DM，EM，F(xiàn)M，垂足分別為D，E，F(xiàn)，
∴DM＝EM＝FM，
設(shè)DM＝EM＝FM＝r，
在矩形OABC中，
∵B（﹣4，3），
∴AC5，
∵S△ABC3×4＝6，
∴S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，
∴r×3r×4r×5＝6，
∴r＝1，
∴DM＝EM＝FM＝r＝1，
∴M′（﹣1，6）．
則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6）．
故選D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
一十九．正多邊形和圓（共2小題）
20．（真題?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接AC，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．45°B．38°C．36°D．30°
【分析】由正五邊形的性質(zhì)可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度數(shù)即可解決問題．
【解答】解：在正五邊形ABCDE中，∠B（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣108°）＝36°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角與外角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形的內(nèi)角，此題基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．
21．（2022?南京一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點(diǎn)，連接AC，DM交于點(diǎn)N，則∠CND的度數(shù)是 54° ．
【分析】連接BD，AD，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC108°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DM⊥AB，求得∠AMN＝90°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：連接BD，AD，
在正五邊形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC108°，
∴（180°﹣108°）＝36°，
在△BCD與△AED中，
，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴BD＝AD，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴BM＝AM，
∴DM⊥AB，
∴∠AMN＝90°，
∴∠CND＝∠ANM＝90°﹣36°＝54°，
故答案為：54°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵
二十．弧長(zhǎng)的計(jì)算（共1小題）
22．（真題?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°
【分析】連接OC，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可得∠BOC＝45°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BAC的大?。?br>【解答】解：如圖，連接OC，
∵3，
∴∠AOC＝3∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°45°，
∴∠BACBOC＝22.5°．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可得∠BOC＝45°是解題關(guān)鍵．
二十一．扇形面積的計(jì)算（共1小題）
23．（2022?宜興市一模）如圖，半圓O的直徑AB＝6，將半圓O繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O'，與AB交于點(diǎn)P，圖中陰影部分的面積等于 4.5π﹣9 ．
【分析】先根據(jù)題意判斷出△A′PB是等腰直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義求出PB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得，然后根據(jù)S陰影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP直接進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：連接A′P，
∵A′B是直徑，
∴∠A′PB＝90°，
∵∠OBA′＝45°，
∴△A′PB是等腰直角三角形，
∴PA′＝PBAB＝3，
∴，
∴S陰影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP34.5π﹣9，
故答案為：4.5π﹣9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是得出S陰影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP．
二十二．圓錐的計(jì)算（共1小題）
24．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，把矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓．若它們恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AD：AB為（ ）
A．3：2B．7：4C．9：5D．2：1
【分析】設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)得到2πr，解方程求出r，然后計(jì)算AD：AB即可．
【解答】解：設(shè)此弧所在圓的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，
則2πr，
解得r，
則AD：AB＝AD：（AD）＝3：2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
二十三．圓柱的計(jì)算（共1小題）
25．（2022?宜興市校級(jí)一模）如果圓柱的母線長(zhǎng)為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是 20πcm2 ．
【分析】根據(jù)柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長(zhǎng)等于矩形的長(zhǎng)和矩形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：這個(gè)圓柱的側(cè)面積＝5×2π×2＝20π（cm2）．
故答案為20πcm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的計(jì)算：圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長(zhǎng)等于矩形的長(zhǎng)．
【過關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，直線FG切⊙O于點(diǎn)E，交PA于F，交PB于點(diǎn)G，若PA＝8cm，則△PFG的周長(zhǎng)是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長(zhǎng)定理，將△ABC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為切線長(zhǎng)求解．
【解答】解：根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：PA＝PB，F(xiàn)A＝FE，GE＝GB；
所以△PFG的周長(zhǎng)＝PF+FG+PG，
＝PF+FE+EG+PG，
＝PF+FA+GB+PG，
＝PA+PB
＝16cm，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是切線長(zhǎng)定理，圖中提供了許多等量線段，分析圖形時(shí)關(guān)鍵是要仔細(xì)探索，找出圖形的各對(duì)相等切線長(zhǎng)．
2．（3分）下列說法正確的是（ ）
①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦
②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧
③垂直于弦的直線必過圓心
④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧
A．②③B．①③C．②④D．①④
【分析】根據(jù)垂徑定理判斷．
【解答】解：根據(jù)垂徑定理，
①正確；
②錯(cuò)誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對(duì)的??；
③錯(cuò)誤．垂直于弦且平分弦的直線必過圓心；
④正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】注意概念性質(zhì)的語言敘述，有時(shí)是專門來混淆是非的，只是一字之差，所以學(xué)生一定要養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的習(xí)慣．
3．（3分）已知：如圖⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，則⊙O的半徑是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【分析】延長(zhǎng)PO交圓于D，由已知可求得PB的長(zhǎng)，再根據(jù)割線定理即可求得半徑的長(zhǎng)．
【解答】解：延長(zhǎng)PO交圓于D，
∵PA＝7cm，AB＝5cm，
∴PB＝12cm；
設(shè)圓的半徑是x，
∵PA?PB＝PC?PD，
∴（10﹣x）（10+x）＝84，
∴x＝4．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)割線定理列方程求解．
4．（3分）如圖所示的工件槽的兩個(gè)底角均為90°，尺寸如圖（單位cm），將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)，若同時(shí)具有A，B，E三個(gè)接觸點(diǎn)，則該球的半徑是（ ）cm．
A．10B．18C．20D．22
【分析】設(shè)圓心為O點(diǎn)，連OE，交AB于C，則OE⊥AB，AC＝BC＝8，在Rt△OAC中，設(shè)⊙O的半徑為R，OC＝R﹣4，利用勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，解方程即可．
【解答】解：設(shè)圓心為O點(diǎn)，連OE，交AB于C，如圖，
AB＝16，CE＝4，
則OE⊥AB，
∴AC＝BC＝8，
在Rt△OAC中，設(shè)⊙O的半徑為R，OC＝R﹣4，
∴OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝82+（R﹣4）2，
解得，R＝10，
即該球的半徑是10cm．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?br>5．（3分）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線，若△ABC的周長(zhǎng)為21，BC邊的長(zhǎng)為6，則△ADE的周長(zhǎng)為（ ）
A．15B．9C．7.5D．7
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理可得DM＝DP，BN＝BM，CN＝CQ，EQ＝EP，則BM+CQ＝6，所以△ADE的周長(zhǎng)＝AD+DE+AE＝AD+AE+DM+EQ，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC的周長(zhǎng)為21，BC＝6，
∴AC+AB＝21﹣6＝15，
設(shè)⊙I與△ABC的三邊AB、BC、AC的切點(diǎn)為M、N、Q，切DE為P，
∵DM＝DP，BN＝BM，CN＝CQ，EQ＝EP，
∴BM+CQ＝BN+CN＝BC＝6，
∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD+DE+AE＝AD+AE+DP+PE
＝AD+DM+AE+EQ
＝AB﹣BM+AC﹣CQ
＝AC+AB﹣（BM+CQ）
＝15﹣6＝9，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題充分利用圓的切線的性質(zhì)，及圓切線長(zhǎng)定理．
6．（3分）有一個(gè)六邊形的半徑為4cm，則這個(gè)六邊形的面積為（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
【分析】根據(jù)正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)，
∴正六邊形的邊長(zhǎng)a＝4cm；
∴正六邊形的面積S＝64×4sin60°＝24cm2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)，熟知正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑是解答此題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，P為∠AOB邊OA上一點(diǎn)，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P為圓心，5cm為半徑的圓與直線OB的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．相切D．無法確定
【分析】過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，
∵∠AOB＝30°，OP＝10cm，
∴PDOP＝5cm，
∴以P為圓心，5cm為半徑的圓與直線OB相切．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)r＝d時(shí)，直線與圓相切是解答此題的關(guān)鍵．
8．（3分）P、Q是直線l上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且OP＝5，⊙O的半徑為5，下列敘述正確的是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙O外
B．點(diǎn)Q在⊙O外
C．直線l與⊙O一定相切
D．若OQ＝5，則直線l與⊙O相交
【分析】由P、Q是直線l上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且OP＝5，⊙O的半徑為5，可得點(diǎn)P在⊙O上，直線l與⊙O相切或相交；若OQ＝5，則直線l與⊙O相交．
【解答】解：∵OP＝5，⊙O的半徑為5，
∴點(diǎn)P在⊙O上，故A錯(cuò)誤；
∵P是直線l上的點(diǎn)，
∴直線l與⊙O相切或相交；
∴若相切，則OQ＞5，且點(diǎn)Q在⊙O外；若相交，則點(diǎn)Q可能在⊙O上，⊙O外，⊙O內(nèi)；故B錯(cuò)誤．
∴若OQ＝5，則直線l與⊙O相交；故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系．此題難度不大，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．
9．（3分）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K5K6…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長(zhǎng)分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB＝1時(shí)，l2014等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用弧長(zhǎng)公式，分別計(jì)算出l1，l2，l3，…的長(zhǎng)，尋找其中的規(guī)律，確定l2014的長(zhǎng)．
【解答】解：根據(jù)題意得：l1，
l2，
l3π，
l4，
按照這種規(guī)律可以得到：ln，
所以l2014．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，先用公式計(jì)算，找出規(guī)律，求出l2014的長(zhǎng)．
10．（3分）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，且四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是劣弧AD上一動(dòng)點(diǎn)，PB、PC分別與AD相交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．當(dāng)PA＝AB且AE＝EF＝FD時(shí)，AE的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【分析】作輔助線，構(gòu)建矩形的對(duì)角線，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ABP＝∠APB，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ACB＝∠ACP，根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角得∠ABC＝90°，AE＝EF＝FD得FC＝2FD，∠DCF＝30°，得出∠ACB＝30°，求出BC的長(zhǎng)，則是AD的長(zhǎng)，再三等分即可．
【解答】解：連接AC、BD，
∵PA＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACP，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACP＝∠DAC，
∴AF＝FC，
∵AE＝EF＝FD，
設(shè)FD＝x，則FC＝AF＝2x，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC為⊙O的直徑，
在Rt△DFC中，F(xiàn)C＝2FD，
∴∠DCF＝30°，
∴∠ACB＝∠ACP＝30°，
∵⊙O的半徑為1，
∴AC＝2，
∴AB＝1，BC，
∴AD＝BC，
∵AE＝EF＝FD，
∴AE．
【點(diǎn)評(píng)】本題是有關(guān)圓的計(jì)算題，考查了矩形，等邊三角形的性質(zhì)及圓周角、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，熟練掌握矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且平分；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
11．（3分）如圖，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上，BD是直徑，則∠ACD＝ 30 °．
【分析】BD為直徑，可知∠BCD＝90°，△ABC為等邊三角形，可知∠ACB＝60°，作差可求∠ACD．
【解答】解：∵BD為直徑，
∴∠BCD＝90°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°．
故本題答案為：30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，圓周角定理．關(guān)鍵是明確圓的特殊弦（直徑）的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)．
12．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD、BD是半圓的弦，∠PDA＝∠PBD，∠BDE＝60°，若PD，則PA的長(zhǎng)為 1 ．
【分析】根據(jù)已知可證△AOD為等邊三角形，∠P＝30°，PA＝AD＝OA，再證明PD是切線，根據(jù)切割線定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDE＝60°，
∴∠PDA＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠PBD＝∠PDA＝30°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠PBD＝30°，
∴∠ADO＝60°，
∴△ADO為等邊三角形，∠ODP＝90°，
∴AD＝OA，∠AOD＝60°，PD為⊙O的切線，
∴∠P＝30°，
∴PA＝AD，PD2＝PA?PB，
∴（PA?3PA
∴PA＝1；
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)；證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．
13．（3分）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，連接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度數(shù)是 65° ．
【分析】因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以求得∠ADB＝90°，進(jìn)而求得∠B的度數(shù)，又因?yàn)椤螧＝∠C，所以∠C的度數(shù)可求出．
【解答】解：∵AB是⊙0的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BAD＝25°，
∴∠B＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°（同弧所對(duì)的圓周角相等）．
故答案為：65°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理中的兩個(gè)推論：①直徑所對(duì)的圓周角是直角②同弧所對(duì)的圓周角相等．
14．（3分）如果一個(gè)圓柱的底面半徑為1米，它的高為2米，那么這個(gè)圓柱的全面積為 6π 平方米．（結(jié)果保留π）
【分析】直接利用圓柱側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×高，進(jìn)而得出全面積．
【解答】解：根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：π×2×1×2＝4π．
圓柱的兩個(gè)底面積為2π，
∴圓柱的全面積為4π+2π＝6π（平方米）．
故答案為：6π．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓柱的側(cè)面積的計(jì)算方法，正確把握計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．
15．（3分）已知⊙O的半徑OA為1．弦AB的長(zhǎng)為，若在⊙O上找一點(diǎn)C，使AC，則∠BAC＝ 75或15 °．
【分析】畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)勾股定理求得三角形的邊長(zhǎng)，求得∠BAO和∠CAO，再求出∠BAC的度數(shù)即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，
∵AB，AC，
∴由垂徑定理得，AE，AF，
∵OA＝1，
∴由勾股定理得OE，OF，
∴∠BAO＝45°，
∴OFOA，
∴∠CAO＝30°，
∴∠BAC＝75°，
當(dāng)AB、AC在半徑OA同旁時(shí)，∠BAC＝15°．
故答案為：75°或15°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進(jìn)行計(jì)算．
16．（3分）要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)為8cm的正方形鐵片，選用的圓形鐵片的直徑最小要 8 cm．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形圓心角的求法求出∠BOC的度數(shù)，最后依據(jù)等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：如圖所示，
∵四邊形ABCD是正四邊形，
∴∠BOC＝（）°＝90°；
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴∠BOE∠BOC＝45°，BE＝CE＝OEAB＝4cm，
∴2OB＝28（cm），
∴選用的圓形鐵片的直徑最小要8cm．
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理和正方形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合解答．
17．（3分）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長(zhǎng)為10cm，則圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是 72 度．
【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到2π?2，然后解關(guān)于n的方程即可．
【解答】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，
根據(jù)題意得2π?2，
解得n＝72，
即圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為72°．
故答案為72．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
18．（3分）在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么該圓的半徑為 10 cm．
【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，由OC垂直于AB，利用垂徑定理得到C為AB別的中點(diǎn)，由AB的長(zhǎng)求出BC的長(zhǎng)，再由弦心距OC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，即為圓的半徑．
【解答】解：∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴BC＝ACAB＝8cm，
又OC＝6cm，
在Rt△BOC中，利用勾股定理得：OB10cm．
故答案為：10
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，以及垂徑定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．
19．（3分）線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是 18或162 度．
【分析】作出圖形，求出一條邊所對(duì)的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系解答．
【解答】解：圓內(nèi)接正十邊形的邊AB所對(duì)的圓心角∠1＝360°÷10＝36°，則∠2＝360°﹣36°＝324°，
根據(jù)圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半，
AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是36°18°或324°162°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力，屬于基礎(chǔ)題，要注意分兩種情況討論．
20．（3分）已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC交弦AB于點(diǎn)P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，則OC的長(zhǎng)等于 7 cm．
【分析】根據(jù)相交弦定理“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等”進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D，
∵AB＝10cm，PB＝4cm
∴PA＝AB﹣PB＝6cm
∵PC＝2cm
∴PD＝2CO﹣2
由相交弦定理得，PA?PB＝PC?PD
即：6×4＝2×（2CO﹣2），解得CO＝7cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相交弦定理“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等”的應(yīng)用．
三．解答題（共6小題，滿分40分）
21．（6分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，AE⊥BC于E
（1）已知∠ABC＝∠DAC，AD＝4，求AC的長(zhǎng)．
（2）已知AC＝6，AE＝4，⊙O的半徑為5，求AB的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接CD，根據(jù)圓周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）連接BD，證明△ADB∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）連接CD，
∵∠ABC＝∠DAC，又∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴CA＝CD，
∵AD是直徑，
∴∠ACD＝90°，又CA＝CD，
∴AC＝CD＝2；
（2）連接BD，
∵AD是直徑，
∴∠ABD＝90°，又AE⊥BC，
∴∠ABD＝∠AEC，又∠ACB＝∠ADB，
∴△ADB∽△ACE，
∴，
∴AB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握直徑所對(duì)的圓周角等于90°、同弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．
22．（6分）如圖，已知，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，連接CD并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A．
（1）證明：CD是⊙O的切線；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OD，由DE與CO平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等得到兩對(duì)角相等，再由OD＝OE，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到∠COB＝∠COD，再由OD＝OB，OC為公共邊，利用SAS得出三角形BCO與三角形DCO全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，由BC為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到∠CBO＝90°，進(jìn)而得到∠CDO＝90°，再由OD為圓的半徑，即可得到CD為圓O的切線；
（2）根據(jù)切割線定理求得AB的長(zhǎng)，然后CD＝BC＝x，則AC＝2+x，由勾股定理列方程求解即可求得．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB＝∠DEO，∠COD＝∠EDO，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠COB＝∠COD，
在△BCO和△DCO中，

∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO，
∵BC為圓O的切線，
∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵OD為圓的半徑，
∴CD為圓O的切線；
（2）解：∵CD，BC分別切⊙O于D，B，
∴CD＝BC，
∵AD2＝AE?AB，即22＝1?AB，
∴AB＝4，
設(shè)CD＝BC＝x，則AC＝2+x，
∵A2C＝AB2+BC2
∴（2+x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴CD＝3．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
23．（6分）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．
（1）若∠A＝36°，求∠C的度數(shù)；
（2）若弦BC＝24，圓心O到弦BC的距離為6，求⊙O的半徑．（結(jié)果用根號(hào)表示）
【分析】（1）連接OB，由AB為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到AB與OB垂直，由OB＝OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，利用外角性質(zhì)求出∠BOC的度數(shù)，即可確定出∠C的度數(shù)；
（2）過O作OD垂直于BC，利用垂徑定理得到D為BC中點(diǎn)，由BC求出CD的長(zhǎng)，再由OD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，即為圓的半徑．
【解答】解：（1）連接OB，
∵AB為圓O的切線，
∴AB⊥OB，
∵∠BOC為△AOB的外角，
∴∠BOC＝∠OBA+∠A＝126°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC27°；
（2）過O作OD⊥BC，可得D為BC中點(diǎn)，即BD＝CDBC＝12，
在Rt△COD中，OD＝6，CD＝12，
則OC6．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
24．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E．
（1）求證：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．
（2）若∠BOD＝80°，求∠CED的度數(shù)．
【分析】（1）連接AE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠AEB＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠DAB∠BOD＝40°，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到∠DAB+∠DEB＝180°，而CBED+∠DEB＝180°，則∠CED＝∠DAB．
【解答】（1）證明：連接AE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)；
（2）解：∵∠BOD＝80°，
∴∠DAB∠BOD＝40°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝40°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對(duì)的圓周角為直角；圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；等腰三角形的性質(zhì)．
25．（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，在BC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使得BF＝EF，EF與AC交于點(diǎn)G．
（1）試判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若OA＝2，∠A＝30°，求圖中陰影部分的面積．
【分析】（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠AEO，∠B＝∠BEF，于是得到∠OEG＝90°，即可得到結(jié)論；
（2）由AD是⊙O的直徑，得到∠AED＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠EOD＝60°，求得∠EGO＝30°，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）連接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠AEO+∠BEF＝90°，
∴∠OEG＝90°，
∴EF是⊙O的切線；
（2）∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∴∠EGO＝30°，
∵AO＝2，
∴OE＝2，
∴EG＝2，
∴陰影部分的面積2×22π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
26．（8分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，DC＝DE．
（1）求證：∠A＝∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求證：△ABE是等邊三角形．
【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A＝∠DCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCE＝∠DEC，等量代換證明結(jié)論；
（2）根據(jù)垂徑定理得到OE是CD的垂直平分線，根據(jù)題意證明△DEC為等邊三角形，證明結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠A＝∠AEB；
（2）∵DC⊥OE，
∴DF＝CF，
∴OE是CD的垂直平分線，
∴ED＝EC，又DE＝DC，
∴△DEC為等邊三角形，
∴∠AEB＝60°，又∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等邊三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和垂徑定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角是解題的關(guān)鍵．

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