蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假第14講一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試練習(xí)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：
①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接開平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實(shí)數(shù)根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
八．換元法解一元二次方程
1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．
換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．
2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．
九．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
十．根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．
十一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程
在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：
（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．
（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．
（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．
5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．
6．答：寫出答案．
十三．配方法的應(yīng)用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
2、利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值．
關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
3、配方法的綜合應(yīng)用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．
對(duì)于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式（即通過各項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和乘方和開方運(yùn)算無法求解），這稱為阿貝爾定理．換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．無理方程
（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．
（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程
（3）解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．
解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．
（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
【考點(diǎn)剖析】
一．一元二次方程的定義（共1小題）
1．（真題?丹陽市期末）若方程xm+1﹣8x﹣8＝0是一元二次方程，則m的值等于（）
A．±1B．1C．﹣1D．0
二．一元二次方程的一般形式（共1小題）
2．（真題?密山市校級(jí)期末）方程x2﹣x＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．
三．一元二次方程的解（共1小題）
3．（真題?金湖縣期末）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：
則方程x2+px+q＝0的正數(shù)解滿足（）
A．解的整數(shù)部分是1，十分位是1
B．解的整數(shù)部分是1，十分位是2
C．解的整數(shù)部分是1，十分位是3
D．解的整數(shù)部分是1，十分位是4
四．解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）
4．（2022?鹽城開學(xué)）解方程（x﹣1）2＝225．
五．解一元二次方程-配方法（共2小題）
5．（2022春?溫州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方后得到的方程為（）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
6．（2022?海陵區(qū)一模）
（1）分解因式：3a2﹣6a+3；（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
六．解一元二次方程-公式法（共1小題）
7．（2022?泗洪縣一模）解下列方程：
（1）（2x+1）（x﹣3）＝0；（2）．
七．解一元二次方程-因式分解法（共3小題）
8．（真題?平羅縣期末）方程（x+1）（x﹣2）＝0的兩根分別為（）
A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2
9．（2022春?海安市期中）方程x2﹣2022x＝0的解是．
10．（2022春?張家港市校級(jí)期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）3x2﹣1＝2x+2
八．換元法解一元二次方程（共1小題）
11．（2022春?射陽縣校級(jí)月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，則x2+y2的值為（）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
九．根的判別式（共1小題）
12．（2022春?海門市期中）若方程mx2+6x+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
一十．根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）
13．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知方程x2﹣2022x+1＝0的兩根分別為x1、x2，則的值為．
14．（2022?靖江市一模）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，則x12﹣x22+4x2的值為．
一十一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共2小題）
15．（2022春?海門市期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著這樣一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度為x尺，則可列方程為（）
A．x2+52＝（x+1）2B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2D．x2﹣102＝（x﹣1）2
16．（2019春?阜陽期中）南京某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利2240元，且銷售盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)為多少元？
（1）解：方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，由題意，得方程為；
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降低后定價(jià)為x元，由題意得方程為：．
（2）請(qǐng)你選擇一種方法，寫出完整的解答過程．
一十二．一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）
17．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）我們把一個(gè)式子或一個(gè)式子部分改寫成完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種解題方法叫做配方法，配方法常常用于恒等變形、化簡求值、解一元二次方程、求最值等問題．
（1）已知三角形ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，并且滿足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周長，你能利用配方法解決這個(gè)問題嗎？
（2）某商品現(xiàn)在每件盈利10元，每天可賣出30件．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每天要少賣1件，當(dāng)每件商品漲價(jià)多少元時(shí)，每天的利潤最大？
一十三．配方法的應(yīng)用（共1小題）
18．（2022春?潤州區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：
數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式x2﹣4x+5的最小值時(shí)，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，對(duì)式子作如下變形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1．
當(dāng)x＝2時(shí)，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值為1．
通過閱讀，解決下列問題：
（1）代數(shù)式x2+10x﹣6的最小值為；
（2）試比較代數(shù)式A＝3x2﹣2x與B＝2x2+4x﹣10的大小，并說明理由．
一十四．高次方程（共1小題）
19．（真題?溧陽市期中）閱讀理解：
對(duì)于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
理解運(yùn)用：
如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，
即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0．
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解決問題：
求方程x3﹣5x+2＝0的解．
一十五．無理方程（共1小題）
20．（真題?秦淮區(qū)期中）閱讀解方程的途徑．
方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)思想﹣﹣轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解決一些新的方程．
（1）請(qǐng)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，填寫如圖的空格．
（2）求方程x的解．
一十六．一元二次方程的整數(shù)根與有理根（共1小題）
21．（2010秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有兩個(gè)有理數(shù)根，求整數(shù)k的值
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程根的情況．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）下列說法正確的是（）
A．方程8x2﹣7＝0的一次項(xiàng)系數(shù)為﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．當(dāng)k＝0時(shí)，方程kx2+3x﹣1＝x2為一元二次方程
D．當(dāng)m取所有實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0為一元二次方程
2．（3分）m是方程x2+x﹣1＝0的根，則式子m3+2m2+2014的值為（）
A．2014B．2015C．2016D．2017
3．（3分）用直接開平方法解方程（x﹣3）2＝8，得方程的根為（）
A．x＝3+2B．x＝3﹣2C．x＝3±2D．x＝3±2
4．（3分）用配方法解關(guān)于x的方程x2+px+q＝0時(shí)，此方程可變形為（）
A．B．
C．D．
5．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（）
A．2B．﹣1C．D．
6．（3分）下列一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）
A．x2+1＝0B．x2+4x﹣4＝0C．x2+x0D．x2﹣x0
7．（3分）畢業(yè)之際，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購買紀(jì)念品，每兩個(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為（）
A．5人B．6人C．7人D．8人
8．（3分）一元二次方程2x2+6x＝9的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）
A．2，6，9B．6，2，9C．2，6，﹣9D．6，2，﹣9
9．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一個(gè)根，則m的值為（）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
10．（3分）下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．方程x2+4x+5＝0，則x1+x2＝﹣4，x1x2＝5
B．方程2x2﹣3x+m＝0有實(shí)根，則m
C．方程x2﹣8x+1＝0可配方得（x﹣4）2＝15
D．方程x2+x﹣1＝0兩根x1，x2
二．填空題（共9小題，滿分27分，每小題3分）
11．（3分）（1）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是．
（2）一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣1＝0有一個(gè)根為0，則m＝．
12．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接開平方法求解，則m的取值范圍是．
13．（3分）若x1是二次方程x2+ax+1＝0的一個(gè)根，則a＝，該方程的另一個(gè)根x2＝．
14．（3分）已知方程x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根是x1，x2，則x1+x2＝，x1?x2＝，（x1﹣1）（x2﹣1）＝，x1﹣x2＝．
15．（3分）某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30米，寬20米的長方形空地建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532平方米，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為米．（注：所有小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）
16．（3分）已知多項(xiàng)式A＝x2﹣x+（3），若無論x取何實(shí)數(shù)，A的值都不是負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是．
17．（3分）已知等腰三角形三邊分別為a、b、4，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩個(gè)根，則m的值是．
18．（3分）設(shè)x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的兩根，則x12+x22＝，．
19．（3分）一元二次方程x2﹣mx+m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，則代數(shù)式x1+x1x2+x2＝．（用含m的代數(shù)式表示）
三．解答題（共6小題，滿分43分）
20．（6分）解方程
（1）x2﹣4x＝0；（2）4x2﹣25＝0；（3）2x（x﹣3）+x＝3．
21．（6分）已知關(guān)于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有兩個(gè)有理數(shù)根，求整數(shù)k的值
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程根的情況．
22．（6分）某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在一段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具．若商場要獲得10000元銷售利潤，該玩具銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？售出玩具多少件？
23．（6分）如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形雞舍，為了節(jié)省材料雞舍的一邊利用長為12米的墻，另外三邊用長為25米的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直墻的一邊留下一個(gè)寬1米的門，所圍成矩形雞舍的長、寬分別是多少時(shí)，雞舍面積為80平方米？
24．（9分）在國家政策的調(diào)控下，某市的商品房成交均價(jià)由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．
（1）求6、7兩月平均每月降價(jià)的百分率；
（2）如果房價(jià)繼續(xù)回落，按此降價(jià)的百分率，請(qǐng)你預(yù)測到9月份該市的商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破每平方米6500元？請(qǐng)說明理由．
25．（10分）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．
（2）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？
x
0.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+px+q
﹣2.75
﹣1
﹣0.59
﹣0.16
0.29
0.76
第14講一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：
①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接開平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實(shí)數(shù)根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
八．換元法解一元二次方程
1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．
換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．
2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．
九．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
十．根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．
十一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程
在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：
（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．
（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．
（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．
5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．
6．答：寫出答案．
十三．配方法的應(yīng)用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
2、利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值．
關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
3、配方法的綜合應(yīng)用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．
對(duì)于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式（即通過各項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和乘方和開方運(yùn)算無法求解），這稱為阿貝爾定理．換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．無理方程
（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．
（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程
（3）解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．
解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．
（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
【考點(diǎn)剖析】
一．一元二次方程的定義（共1小題）
1．（真題?丹陽市期末）若方程xm+1﹣8x﹣8＝0是一元二次方程，則m的值等于（）
A．±1B．1C．﹣1D．0
【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)，可得答案．
【解答】解：若方程xm+1﹣8x﹣8＝0是一元二次方程，
則m+1＝2，
解得m＝1．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
二．一元二次方程的一般形式（共1小題）
2．（真題?密山市校級(jí)期末）方程x2﹣x＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是 ﹣1 ，常數(shù)項(xiàng)是 0 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
【解答】解：方程x2﹣x＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是﹣1，常數(shù)項(xiàng)是0．
【點(diǎn)評(píng)】要確定一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，首先要把方程化成一般形式．在本題中要注意常數(shù)項(xiàng)是0，而不是不存在．
三．一元二次方程的解（共1小題）
3．（真題?金湖縣期末）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：
則方程x2+px+q＝0的正數(shù)解滿足（）
A．解的整數(shù)部分是1，十分位是1
B．解的整數(shù)部分是1，十分位是2
C．解的整數(shù)部分是1，十分位是3
D．解的整數(shù)部分是1，十分位是4
【分析】通過觀察表格可得x2+px+q＝0時(shí)，1.2＜x＜1.3，即可求解．
【解答】解：由表格可知，
當(dāng)x＝1.2時(shí)，x2+px+q＜0，
當(dāng)x＝1.3時(shí)，x2+px+q＞0，
∴x2+px+q＝0時(shí)，1.2＜x＜1.3，
∴解的整數(shù)部分是1，十分位是2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，通過觀察所給的信息，確定一元二次方程解的范圍是解題的關(guān)鍵．
四．解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）
4．（2022?鹽城開學(xué)）解方程（x﹣1）2＝225．
【分析】利用直接開平方法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝225，
∴x﹣1＝±15，
解得x1＝16，x2＝﹣14．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
五．解一元二次方程-配方法（共2小題）
5．（2022春?溫州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方后得到的方程為（）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
【分析】移項(xiàng)，配方，根據(jù)完全平方公式變形，即可得出選項(xiàng)．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．
6．（2022?海陵區(qū)一模）（1）分解因式：3a2﹣6a+3；
（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）先提公因數(shù)3，然后利用完全平方公式分解因式；
（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝2，然后利用直接開平方法解方程．
【解答】解：（1）原式＝3（a2﹣2a+1）
＝3（a﹣1）2；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝2
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝±，
所以x1＝2，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．
六．解一元二次方程-公式法（共1小題）
7．（2022?泗洪縣一模）解下列方程：
（1）（2x+1）（x﹣3）＝0；
（2）．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用完全平方公式變形，開方即可求出解．
【解答】解：（1）方程（2x+1）（x﹣3）＝0，
所以2x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1，x2＝3；
（2）方程變形得：（x﹣2）2＝0，
開方得：x﹣20，
解得：x1＝x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，直接開平方法，以及因式分解法，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．
七．解一元二次方程-因式分解法（共3小題）
8．（真題?平羅縣期末）方程（x+1）（x﹣2）＝0的兩根分別為（）
A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2
【分析】利用因式分解法把方程化為x+1＝0或x﹣2＝0，然后解兩個(gè)一次方程即可．
【解答】解：x+1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
9．（2022春?海安市期中）方程x2﹣2022x＝0的解是 x1＝0，x2＝2022 ．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣2022x＝0，
x（x﹣2022）＝0，
x＝0或x﹣2022＝0，
所以x1＝0，x2＝2022．
故答案為：x1＝0，x2＝2022．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
10．（2022春?張家港市校級(jí)期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣1＝2x+2
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化為一般式，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）3x2﹣2x﹣3＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，
Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，
x，
所以x1，x2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
八．換元法解一元二次方程（共1小題）
11．（2022春?射陽縣校級(jí)月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，則x2+y2的值為（）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
【分析】設(shè) x2+y2＝z，則原方程換元為 z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，即可求解．
【解答】解：設(shè) x2+y2＝z，則原方程換元為 z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z1＝4，z2＝﹣2，
即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合題意，舍去），
∴x2+y2＝4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．
九．根的判別式（共1小題）
12．（2022春?海門市期中）若方程mx2+6x+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 m≤3且m≠0 ．
【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m≠0且△＝62﹣4m×3＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【解答】解：根據(jù)題意得m≠0且△＝62﹣4m×3＞0，
解得m≤3且m≠0，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤3且m≠0．
故答案為：m≤3且m≠0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
一十．根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）
13．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知方程x2﹣2022x+1＝0的兩根分別為x1、x2，則的值為 ﹣1 ．
【分析】由題意可得x1?x2＝1，2022x1＝﹣1，將代數(shù)式變形為即可得出答案．
【解答】解：∵方程x2﹣2022x+1＝0的兩根分別為x1，x2，
∴x1?x2＝1，2022x1+1＝0，
∴2022x1＝﹣1，
∴

＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握代數(shù)式的求值技巧是解題的關(guān)鍵．
14．（2022?靖江市一模）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，則x12﹣x22+4x2的值為 4 ．
【分析】利用一元二次方程解的定義得到x12＝2x1+2，x22＝2x2+2；然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2＝2；最后代入所求的代數(shù)式求值即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
一十一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共2小題）
15．（2022春?海門市期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著這樣一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度為x尺，則可列方程為（）
A．x2+52＝（x+1）2B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2D．x2﹣102＝（x﹣1）2
【分析】首先設(shè)水深x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程．
【解答】解：設(shè)水深x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，由題意得：
x2+52＝（x+1）2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
16．（2019春?阜陽期中）南京某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利2240元，且銷售盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)為多少元？
（1）解：方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，由題意，得方程為（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240 ；
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降低后定價(jià)為x元，由題意得方程為：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 ．
（2）請(qǐng)你選擇一種方法，寫出完整的解答過程．
【分析】（1）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，利用銷售量×每件利潤＝2240元列出方程求解即可；
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為y元，利用銷售量×每件利潤＝2240元列出方程求解即可．
（2）利用（1）中所列方程求出答案．
【解答】解：（1）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元．根據(jù)題意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為x元，由題意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案為：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
（2）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元．根據(jù)題意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要讓顧客盡可能得到實(shí)惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)54元．
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為x元，由題意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要讓顧客盡可能得到實(shí)惠，只能取x＝54，
答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)54元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程．
一十二．一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）
17．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）我們把一個(gè)式子或一個(gè)式子部分改寫成完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種解題方法叫做配方法，配方法常常用于恒等變形、化簡求值、解一元二次方程、求最值等問題．
（1）已知三角形ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，并且滿足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周長，你能利用配方法解決這個(gè)問題嗎？
（2）某商品現(xiàn)在每件盈利10元，每天可賣出30件．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每天要少賣1件，當(dāng)每件商品漲價(jià)多少元時(shí)，每天的利潤最大？
【分析】（1）由a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0得（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，據(jù)此知a＝3、b＝1，繼而根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定c的范圍，結(jié)合c是正整數(shù)可得c＝3，從而得出答案；
（2）設(shè)每件商品漲價(jià)x元，每天的利潤為（10+x）（30﹣x）＝﹣（x﹣10）2+400，由（x﹣10）2≥0知﹣（x﹣10）2+400≤400，從而得出答案．
【解答】解：（1）∵a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，
∴a2﹣6a+9+2b2﹣4b+2＝0，即（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，
則a﹣3＝0且b﹣1＝0，
解得a＝3，b＝1，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4，
∵c是正整數(shù)，
∴c＝3，
則△ABC的周長為3+1+3＝7；
（2）設(shè)每件商品漲價(jià)x元，
每天的利潤為（10+x）（30﹣x）
＝﹣x2+20x+300
＝﹣（x﹣10）2+400，
∵（x﹣10）2≥0，
∴﹣（x﹣10）2≤0，
則﹣（x﹣10）2+400≤400，
∴當(dāng)x＝10時(shí)，﹣（x﹣10）2+400取得最大值400，
答：當(dāng)每件商品漲價(jià)10元時(shí)，每天的利潤最大．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的應(yīng)用、三角形三邊關(guān)系及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
一十三．配方法的應(yīng)用（共1小題）
18．（2022春?潤州區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：
數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式x2﹣4x+5的最小值時(shí)，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，對(duì)式子作如下變形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1．
當(dāng)x＝2時(shí)，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值為1．
通過閱讀，解決下列問題：
（1）代數(shù)式x2+10x﹣6的最小值為 ﹣31 ；
（2）試比較代數(shù)式A＝3x2﹣2x與B＝2x2+4x﹣10的大小，并說明理由．
【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法把代數(shù)式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；
（2）利用作差法列出關(guān)系式，配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出大小即可．
【解答】解：（1）x2+10x﹣6
＝（x2+10x+25）﹣31
＝（x+5）2﹣31，
∵（x+5）2≥0，
∴當(dāng)x+5＝0，即x＝﹣5時(shí)，代數(shù)式x2+10x﹣6的最小值為﹣31．
故答案為：﹣31；
（2）A＞B．理由如下：
∵（3x2﹣2x）﹣（2x2+4x﹣10）
＝3x2﹣2x﹣2x2﹣4x+10
＝x2﹣6x+10
＝（x2﹣6x+9）+1
＝（x﹣3）2+1≥1＞0，
∴A＞B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
一十四．高次方程（共1小題）
19．（真題?溧陽市期中）閱讀理解：
對(duì)于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
理解運(yùn)用：
如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，
即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0．
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解決問題：
求方程x3﹣5x+2＝0的解．
【分析】仿照題例，先變形方程，轉(zhuǎn)化為一個(gè)一次方程和一個(gè)二次方程的形式，求解即可．
【解答】解：方程x3﹣5x+2＝0變形為x3﹣（4+1）x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0．
∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0．
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0．
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0．
∴x1＝2，x2＝﹣1，x3＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解高次方程，看懂和理解題例，掌握一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
一十五．無理方程（共1小題）
20．（真題?秦淮區(qū)期中）閱讀解方程的途徑．
方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)思想﹣﹣轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解決一些新的方程．
（1）請(qǐng)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，填寫如圖的空格．
（2）求方程x的解．
【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的兩個(gè)根即可；
（2）通過方程兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，利用一元二次方程的解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0．
即x+2＝0或x﹣1＝0．
∴x2＝﹣2，x3＝1．
故答案為：﹣2，1；
（2）兩邊平方，得2x+3＝x2．
整理，得x2﹣2x﹣3＝0．
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x1＝3，x2＝﹣1．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣1是增根，舍去．
所以原方程的解為x＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程和無理方程，掌握轉(zhuǎn)化的思想和一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
一十六．一元二次方程的整數(shù)根與有理根（共1小題）
21．（2010秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有兩個(gè)有理數(shù)根，求整數(shù)k的值
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程根的情況．
【分析】（1）方程有兩根，則根據(jù)跟的判別式求出k的取值范圍，然后根據(jù)兩根都是有理數(shù)，進(jìn)而判斷出整數(shù)k的值，
（2）分類討論，當(dāng)k＝0時(shí)，方程是一元一次方程，方程的根只有一個(gè)，當(dāng)k≠0，結(jié)合不等式16k+3＞0和跟的判別式等條件討論出方程根的情況．
【解答】解：（1）若方程有兩個(gè)有理數(shù)根，
則△＝4（k+1）2+12k≥0，
解得k或k，
若一元二次方程有有理根，
則△＝4（k+1）2+12k是一個(gè)有理數(shù)的平方，
解得k＝3或﹣5或﹣8，
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，
即k，
①若k＝0，方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0只有一個(gè)根，
②當(dāng)k≠0時(shí)，方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0為一元二次方程，
令△＝4（k+1）2+12k＝4k2+20k+4＝0，
解得k，
又知，
∴當(dāng)16k+3＞0時(shí)，Δ＞0，
∴方程有兩個(gè)根，
故當(dāng)k＝0時(shí)，方程有一個(gè)根，
當(dāng)k≠0，16k+3＞0，時(shí)，方程有兩個(gè)根．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的整數(shù)根與有理根的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和跟的判別式的知識(shí)，此題有點(diǎn)難度．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）下列說法正確的是（）
A．方程8x2﹣7＝0的一次項(xiàng)系數(shù)為﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．當(dāng)k＝0時(shí)，方程kx2+3x﹣1＝x2為一元二次方程
D．當(dāng)m取所有實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0為一元二次方程
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個(gè)未知數(shù)．依此即可求解．
【解答】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次項(xiàng)系數(shù)為0，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、當(dāng)k﹣1≠0，即k≠1時(shí)，方程kx2+3x﹣1＝x2為一元二次方程，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、當(dāng)m取所有實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0為一元二次方程是正確的．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
2．（3分）m是方程x2+x﹣1＝0的根，則式子m3+2m2+2014的值為（）
A．2014B．2015C．2016D．2017
【分析】把m代入x2+x﹣1＝0得到m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，把m2+m＝1代入式子：m3+2m2+2014，再將式子變形為m（m2+m）+m2+2014的形式，即可求出式子的值．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，
∴m3+2m2+2014＝m（m2+m）+m2+2014＝m+m2+2014＝1+2014＝2015．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的解，代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代數(shù)式m2+m的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．
3．（3分）用直接開平方法解方程（x﹣3）2＝8，得方程的根為（）
A．x＝3+2B．x＝3﹣2C．x＝3±2D．x＝3±2
【分析】方程利用平方根的定義開方即可求出解．
【解答】解：方程開方得：x﹣3＝±2，
解得：x1＝3+2，x2＝3﹣2，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣直接開方法，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．
4．（3分）用配方法解關(guān)于x的方程x2+px+q＝0時(shí)，此方程可變形為（）
A．B．
C．D．
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，要注意解題步驟，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．
【解答】解：∵x2+px+q＝0
∴x2+px＝﹣q
∴x2+pxq
∴（x）2
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
5．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（）
A．2B．﹣1C．D．
【分析】首先把x＝1代入方程，即可求得k的值，代入k的值，解方程即可求得．
【解答】解：根據(jù)題意得：2×1﹣3×1﹣k＝0
∴k＝﹣1
∴方程為：2x2﹣3x+1＝0
解得：x1＝1，x2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方程解的定義．還應(yīng)注意根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)會(huì)更簡單．
6．（3分）下列一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）
A．x2+1＝0B．x2+4x﹣4＝0C．x2+x0D．x2﹣x0
【分析】直接利用根的判別式分別分析各選項(xiàng)，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a＝1，b＝0，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴此一元二次方程無實(shí)數(shù)根；
B、∵a＝1，b＝4，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，
∴此一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
C、∵a＝1，b＝1，c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×10，
∴此一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
D、∵a＝1，b＝﹣1，c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×11＜0，
∴此一元二次方程無實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式．注意Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
7．（3分）畢業(yè)之際，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購買紀(jì)念品，每兩個(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為（）
A．5人B．6人C．7人D．8人
【分析】易得每個(gè)同學(xué)都要送給其他同學(xué)，等量關(guān)系為：小組的人數(shù)×（小組人數(shù)﹣1）＝30，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)該興趣小組的人數(shù)為x人．
x（x﹣1）＝30，
解得x1＝6，x2＝﹣5（不合題意，舍去），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程的應(yīng)用；得到禮物總件數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
8．（3分）一元二次方程2x2+6x＝9的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）
A．2，6，9B．6，2，9C．2，6，﹣9D．6，2，﹣9
【分析】方程整理為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．
【解答】解：方程整理得：2x2+6x﹣9＝0，
則二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為6，常數(shù)項(xiàng)為﹣9．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
9．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一個(gè)根，則m的值為（）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【分析】把x＝1代入方程x2+2x+m＝0，得出一個(gè)關(guān)于m的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x+m＝0得：1+2+m＝0，
解得：m＝﹣3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，一元二次方程的解得應(yīng)用，能得出關(guān)于m的方程是解此題的關(guān)鍵．
10．（3分）下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．方程x2+4x+5＝0，則x1+x2＝﹣4，x1x2＝5
B．方程2x2﹣3x+m＝0有實(shí)根，則m
C．方程x2﹣8x+1＝0可配方得（x﹣4）2＝15
D．方程x2+x﹣1＝0兩根x1，x2
【分析】A、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式即可得到結(jié)論；B、由根的判別式即可得到結(jié)論；C、把原方程配方后可得結(jié)果；D、解方程即可得到結(jié)論；
【解答】解：A、方程x2+4x+5＝0，∵Δ＝42﹣4×5＜0，則方程無實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵方程2x2﹣3x+m＝0有實(shí)根，∴Δ＝9﹣8m≥0，∴m，此選項(xiàng)正確；
C、方程x2﹣8x+1＝0可配方得（x﹣4）2＝15，此選項(xiàng)正確；
D、解方程x2+x﹣1＝0得x1，x2，此選項(xiàng)正確；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共9小題，滿分27分，每小題3分）
11．（3分）（1）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 m≠2 ．
（2）一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣1＝0有一個(gè)根為0，則m＝ 1 ．
【分析】（1）直接根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解答即可；
（2）將x＝0代入方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，解得m≠2．
故答案為：m≠2；
（2）將x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝1或m＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是將x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，本題屬于基礎(chǔ)題型．
12．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接開平方法求解，則m的取值范圍是 m≤0 ．
【分析】根據(jù)直接開平方法求解可得．
【解答】解：∵（x+1）2+m＝0，
∴（x+1）2＝﹣m，
∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接開平方法求解
∴﹣m≥0，
∴m≤0．
故答案為m≤0．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，正確化簡方程是解題關(guān)鍵．
13．（3分）若x1是二次方程x2+ax+1＝0的一個(gè)根，則a＝ 4 ，該方程的另一個(gè)根x2＝ 2 ．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)兩根之積，即可得到方程的另一根，再由兩根之和即可得出一個(gè)關(guān)于a的方程，從而求得a的值．
【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x2，
∵x1是二次方程x2+ax+1＝0的一個(gè)根，
∴x1?x2＝1，即（）x2＝1，
∴x2，
∴x1+x2＝﹣a，即a，解得a＝4，
故答案為4，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，注意在解題時(shí)要重視解題思路的逆向分析．
14．（3分）已知方程x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根是x1，x2，則x1+x2＝ 3 ，x1?x2＝ ﹣1 ，（x1﹣1）（x2﹣1）＝ ﹣3 ，x1﹣x2＝ ± ．
【分析】可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算兩根之積和兩根之和，進(jìn)而即可求得（x1﹣1）（x2﹣1）和x1﹣x2的值．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根是x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣3+1＝﹣3，
x1﹣x2＝±±±．
故答案為：3，﹣1，﹣3，±．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的解，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2，x1x2得出是解題關(guān)鍵．
15．（3分）某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30米，寬20米的長方形空地建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532平方米，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為 1 米．（注：所有小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）
【分析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為x米，則種植花草部分的面積與長為（30﹣2x）米、寬為（20﹣x）米的矩形的面積相等，根據(jù)種植花草的面積為532平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，取其符合題意的值即可得出小道進(jìn)出口的寬度．
【解答】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為x米，則種植花草部分的面積與長為（30﹣2x）米、寬為（20﹣x）米的矩形的面積相等，
依題意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
整理得：x2﹣35x+34＝0，
解得：x1＝1，x2＝34．
當(dāng)x＝1時(shí)，30﹣2x＝30﹣2×1＝30﹣2＝28＞0，符合題意；
當(dāng)x＝34時(shí)，30﹣2x＝30﹣2×34＝30﹣68＝﹣38＜0，不合題意，舍去．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）已知多項(xiàng)式A＝x2﹣x+（3），若無論x取何實(shí)數(shù)，A的值都不是負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是 k ．
【分析】先把原式配方，再根據(jù)A的值都不是負(fù)數(shù)，得到（3）≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x（3）＝（x）2（3），
若x取任何實(shí)數(shù)，A的值都不是負(fù)數(shù)，
∴（3）≥0，
解得：k；
故答案為：k．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法，關(guān)鍵把原式進(jìn)行配方．
17．（3分）已知等腰三角形三邊分別為a、b、4，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩個(gè)根，則m的值是 34 ．
【分析】討論：當(dāng)a＝4時(shí)，則4+b＝12，解得b＝8，此時(shí)不符合三角形三邊的關(guān)系；同理可得當(dāng)b＝4時(shí)，不符合三角形三邊的關(guān)系；當(dāng)a＝b時(shí)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到12＝a+b，解得a＝b＝6，則m+2＝36，從而得到m的值．
【解答】解：當(dāng)a＝4時(shí)，
∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合題意；
當(dāng)b＝4時(shí)，
∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合題意；
當(dāng)a＝b時(shí)，
∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34，
故m的值為34，
故答案為34．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系．
18．（3分）設(shè)x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的兩根，則x12+x22＝， 5 ．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2，x1x2，再經(jīng)過代數(shù)式的變形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2，x1x2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2；
5．
故答案為，5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2．
19．（3分）一元二次方程x2﹣mx+m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，則代數(shù)式x1+x1x2+x2＝ 2m ．（用含m的代數(shù)式表示）
【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝m，x1x2＝m，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．
【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝m，x1x2＝m，
所以x1+x1x2+x2＝m+m＝2m．
故答案為2m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2．
三．解答題（共6小題，滿分43分）
20．（6分）解方程
（1）x2﹣4x＝0；
（2）4x2﹣25＝0；
（3）2x（x﹣3）+x＝3．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）先變形為2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x（x﹣4）＝0；
x＝0或x﹣4＝0；
所以x1＝0，x2＝4；
（2）（2x+5）（2x﹣5）＝0，
2x+5＝0或2x﹣5＝0，
所以x1＝﹣2.5，x2＝2.5；
（3）將方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0；
（x﹣3）?（2x+1）＝0；
x﹣3＝0或2x+1＝0；
所以x1＝3，x2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
21．（6分）已知關(guān)于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有兩個(gè)有理數(shù)根，求整數(shù)k的值
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程根的情況．
【分析】（1）方程有兩根，則根據(jù)跟的判別式求出k的取值范圍，然后根據(jù)兩根都是有理數(shù)，進(jìn)而判斷出整數(shù)k的值，
（2）分類討論，當(dāng)k＝0時(shí)，方程是一元一次方程，方程的根只有一個(gè)，當(dāng)k≠0，結(jié)合不等式16k+3＞0和跟的判別式等條件討論出方程根的情況．
【解答】解：（1）若方程有兩個(gè)有理數(shù)根，
則△＝4（k+1）2+12k≥0，
解得k或k，
若一元二次方程有有理根，
則△＝4（k+1）2+12k是一個(gè)有理數(shù)的平方，
解得k＝3或﹣5或﹣8，
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，
即k，
①若k＝0，方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0只有一個(gè)根，
②當(dāng)k≠0時(shí)，方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0為一元二次方程，
令△＝4（k+1）2+12k＝4k2+20k+4＝0，
解得k，
又知，
∴當(dāng)16k+3＞0時(shí)，Δ＞0，
∴方程有兩個(gè)根，
故當(dāng)k＝0時(shí)，方程有一個(gè)根，
當(dāng)k≠0，16k+3＞0，時(shí)，方程有兩個(gè)根．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的整數(shù)根與有理根的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和跟的判別式的知識(shí)，此題有點(diǎn)難度．
22．（6分）某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在一段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具．若商場要獲得10000元銷售利潤，該玩具銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？售出玩具多少件？
【分析】設(shè)該玩具銷售單價(jià)應(yīng)定為x元，則售出玩具[600﹣10（x﹣40）]件，根據(jù)單件利潤×銷售數(shù)量＝總利潤即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)該玩具銷售單價(jià)應(yīng)定為x元，則售出玩具[600﹣10（x﹣40）]件，
根據(jù)題意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，
整理得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
當(dāng)x＝50時(shí)，600﹣10（x﹣40）＝500；
當(dāng)x＝80時(shí)，600﹣10（x﹣40）＝200．
答：該玩具銷售單價(jià)應(yīng)定為50元或80元，售出玩具為500件或200件．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)單件利潤×銷售數(shù)量＝總利潤列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
23．（6分）如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形雞舍，為了節(jié)省材料雞舍的一邊利用長為12米的墻，另外三邊用長為25米的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直墻的一邊留下一個(gè)寬1米的門，所圍成矩形雞舍的長、寬分別是多少時(shí)，雞舍面積為80平方米？
【分析】設(shè)BC的長為xm，則AB的長為（25+1﹣x）m．根據(jù)矩形的面積公式建立方程求出其解即可；
【解答】解：設(shè)BC的長為xm，則AB的長為（25+1﹣x）m．
依題意得：（25+1﹣x）x＝80，
化簡，得x2﹣26x+160＝0，
解得：x1＝10，x2＝16（舍去），
（25+1﹣x）＝8米，
答：若矩形豬舍的面積為80平方米，長和寬分別為10米和8米；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用及一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)尋找題目的等量關(guān)系是關(guān)鍵．
24．（9分）在國家政策的調(diào)控下，某市的商品房成交均價(jià)由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．
（1）求6、7兩月平均每月降價(jià)的百分率；
（2）如果房價(jià)繼續(xù)回落，按此降價(jià)的百分率，請(qǐng)你預(yù)測到9月份該市的商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破每平方米6500元？請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)每次的均價(jià)等于上一次的價(jià)格乘以（1﹣x）（x為平均每次下調(diào)的百分率），可列出一個(gè)一元二次方程，解此方程可得平均每次下調(diào)的百分率；
（2）求出9月份該市的商品房成交均價(jià)，即可判斷．
【解答】（1）設(shè)6、7兩月平均每月降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得10000（1﹣x）2＝8100，
即（1﹣x）2＝0.81，解得x＝10%或1.9（舍去）．
（2）∵8100（1﹣0.1）2＝6561＞6500（元）．
∴不會(huì)跌破6500元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程在實(shí)際中的應(yīng)用：列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．
25．（10分）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．
（2）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？
【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，根據(jù)面積之間的等量關(guān)系和判別式即可求解；
（2）分三種情況：①點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上（0＜t≤4）；②點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上（4＜t≤6）；③點(diǎn)P在射線AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（t＞6）；進(jìn)行討論即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，線段PQ能將△ABC分成面積相等的兩部分
由題意知：AP＝x，BQ＝2x，則BP＝6﹣x，
∴（6﹣x）?2x6×8，
∴x2﹣6x+12＝0，
∵b2﹣4ac＜0，
此方程無解，
∴線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分；
（2）設(shè)t秒后，△PBQ的面積為1
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上時(shí)
此時(shí)0＜t≤4
由題意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5（不合題意，應(yīng)舍去），t2＝5，
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB的延長線上時(shí)
此時(shí)4＜t≤6，
由題意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+25＝0，
解得：t1＝t2＝5，
③當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上，點(diǎn)Q在線段CB的延長線上時(shí)
此時(shí)t＞6，
由題意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5，t2＝5，（不合題意，應(yīng)舍去），
綜上所述，經(jīng)過5秒、5秒或5秒后，△PBQ的面積為1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．注意分類思想的運(yùn)用．
x
0.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+px+q
﹣2.75
﹣1
﹣0.59
﹣0.16
0.29
0.76

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