一．確定圓的條件
不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．
二．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．
【考點(diǎn)剖析】
一．確定圓的條件（共5小題）
1．（2022?石家莊模擬）下列條件中不能確定一個(gè)圓的是（ ）
A．圓心與半徑B．直徑
C．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)D．平面上的三個(gè)已知點(diǎn)
2．（真題?東光縣期中）經(jīng)過兩點(diǎn)可以做 個(gè)圓，不在同一直線的 個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．
3．（真題?龍鳳區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（ ）
A．第一塊B．第二塊C．第三塊D．第四塊
4．（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）
5．（真題?潛山市期末）在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點(diǎn)，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個(gè)圓同時(shí)經(jīng)過這三點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)為 ．
二．三角形的外接圓與外心（共7小題）
6．（2022?富陽區(qū)一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點(diǎn)O是△ABC的（ ）
A．三條高線的交點(diǎn)
B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
C．三條中線的交點(diǎn)
D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)
7．（真題?興化市期末）已知正三角形的邊長為12，則這個(gè)正三角形外接圓的半徑是（ ）
A．2B．C．3D．4
8．（2022?邯山區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）
9．（真題?無錫期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為r，求這個(gè)正三角形的周長和面積．
10．（2022?沈河區(qū)校級模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝45°，AB＝6，則⊙O的半徑長為（ ）
A．B．2C．3D．4
11．（2022?福州模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O；∠A＝30°，過圓心O作OD⊥BC，垂足為D．若⊙O的半徑為6，求OD的長．
12．（真題?海淀區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共5小題）
1．（真題?西林縣期末）經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．無數(shù)
2．（真題?閔行區(qū)校級期中）下列說法正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①平分弦的直徑，平分這條弦所對的?。?br>②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；
③等弧所對的圓心角相等；
④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓．
A．1B．2C．3D．4
3．（真題?泗陽縣期末）下列說法正確的是（ ）
A．一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓
B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓
C．長度相等的弧是等弧
D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等
4．（真題?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
5．（真題?江北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圓⊙O，交AC于點(diǎn)G、H．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GH長度的變化情況為（ ）
A．一直不變B．一直變大
C．先變小再變大D．先變大再變小
二．填空題（共2小題）
6．（2022春?重慶期中）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是 ．
7．（真題?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個(gè)點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為 ．
三．解答題（共4小題）
8．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI的延長線交BC于點(diǎn)D，交⊙O于E，連接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB＝EI．
（I）求證：AE平分∠BAC；
（2）若BD，OI⊥AD于I，求CD的長．
9．（2022春?諸暨市校級月考）（1）請借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點(diǎn)O；
（2）設(shè)每個(gè)小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．
10．（真題?曹縣期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于點(diǎn)D，圓心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半徑．
11．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知：銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD、AE交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若⊙O直徑為17，AC＝15，求BF的長；
（2）如圖2，連接OA，若OA＝FA，AC＝BF，求∠OAD的大?。?br>第05講 確定圓的條件（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識】
一．確定圓的條件
不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．
二．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．
【考點(diǎn)剖析】
一．確定圓的條件（共5小題）
1．（2022?石家莊模擬）下列條件中不能確定一個(gè)圓的是（ ）
A．圓心與半徑B．直徑
C．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)D．平面上的三個(gè)已知點(diǎn)
【分析】根據(jù)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，直接進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、已知圓心和半徑能確定一個(gè)圓；
B、已知直徑能確定一個(gè)圓；
C、已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，可以確定一個(gè)圓；
D、平面上的三個(gè)已知點(diǎn)不能確定一個(gè)圓．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了確定圓的條件，屬于基礎(chǔ)題型．注意分類討論的思想的運(yùn)用．
2．（真題?東光縣期中）經(jīng)過兩點(diǎn)可以做 無數(shù)個(gè) 個(gè)圓，不在同一直線的 三 個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．
【分析】經(jīng)過兩點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)個(gè)圓，不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．
【解答】解：經(jīng)過兩點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)個(gè)圓，不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．
故答案為：無數(shù)個(gè)，三．
【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件及確定直線的條件，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．
3．（真題?龍鳳區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（ ）
A．第一塊B．第二塊C．第三塊D．第四塊
【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。?br>【解答】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．
4．（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）
【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y），根據(jù)PA＝PC列出關(guān)于y的方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由題意得，
，
解得，y，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是理解經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓，圓心是過任意兩點(diǎn)的線段的垂直平分線的交點(diǎn)．
5．（真題?潛山市期末）在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點(diǎn)，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個(gè)圓同時(shí)經(jīng)過這三點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)為 （2，0） ．
【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，該圓圓心在三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，據(jù)此及勾股定理可列式求解．
【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直線上
∴經(jīng)過點(diǎn)A，B，C可以確定一個(gè)圓
∴該圓圓心必在線段AB的垂直平分線上
∴設(shè)圓心坐標(biāo)為M（2，m）
則點(diǎn)M在線段BC的垂直平分線上
∴MB＝MC
由勾股定理得：
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圓心坐標(biāo)為M（2，0）
故答案為：（2，0）．
【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件，明確不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓及圓心在這三條線段的垂直平分線的交點(diǎn)上，是解題的關(guān)鍵．
二．三角形的外接圓與外心（共7小題）
6．（2022?富陽區(qū)一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點(diǎn)O是△ABC的（ ）
A．三條高線的交點(diǎn)
B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
C．三條中線的交點(diǎn)
D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，
∴點(diǎn)O是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，正確把握外心的定義是解題關(guān)鍵．
7．（真題?興化市期末）已知正三角形的邊長為12，則這個(gè)正三角形外接圓的半徑是（ ）
A．2B．C．3D．4
【分析】設(shè)正△ABC的中心為O，過O點(diǎn)作OD⊥BC，垂足為D，連接OB，把問題轉(zhuǎn)化到Rt△OBD中求OB即可．
【解答】解：如圖，連接OB，作OD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BDBC12＝6，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠OBD＝30°，
∴OB．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓．關(guān)鍵是畫出正三角形及其中心，表示正三角形外接圓的半徑，把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解．
8．（2022?邯山區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）
【分析】設(shè)C（m，n），利用直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到﹣1，1，求出m、n得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，﹣2），由于AB⊥x軸，BC∥x軸，從而得到B點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵M(jìn)為Rt△ABC的外心，
∴M點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
設(shè)C（m，n），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），
∴﹣1，1，
解得m＝﹣5，n＝﹣2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，﹣2），
∵∠ABC＝90°，AB⊥x軸，
∴BC∥x軸，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣2）．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心；銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
9．（真題?無錫期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為r，求這個(gè)正三角形的周長和面積．
【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，△ABC的面積＝3S△OBC，即可得出結(jié)果．
【解答】解：如圖所示：
連接OB、OC，作OD⊥BC于D，
則∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，
∴ODOBr，
∴BDr，
∴BC＝2BDr，
即正三角形ABC邊長為r．
∴正三角形ABC周長為．
∴△ABC的面積＝3S△OBC＝3BC×OD＝3rr．
∴正三角形ABC面積為．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角形面積的計(jì)算；熟練掌握正三角形和圓的關(guān)系，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．
10．（2022?沈河區(qū)校級模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝45°，AB＝6，則⊙O的半徑長為（ ）
A．B．2C．3D．4
【分析】連接OA，OB，可得∠AOB＝90°，進(jìn)而利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：如圖，連接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
即⊙O的半徑是3，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查三角形外接圓與外心，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系得出∠AOB＝90°．
11．（2022?福州模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O；∠A＝30°，過圓心O作OD⊥BC，垂足為D．若⊙O的半徑為6，求OD的長．
【分析】先證△BOC是等邊三角形，可得OB＝OC＝BC＝6，由勾股定理可求解．
【解答】解：如圖，連接OB，OC，
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ODB中，OD3．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓和外心，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
12．（真題?海淀區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；
（2）連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)三角形 的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】（1）證明：∵OD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC；
（2）解：連接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DCBC8＝4，
在Rt△ODB中，OD3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC8×8＝32．
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共5小題）
1．（真題?西林縣期末）經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．無數(shù)
【分析】不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
【解答】解：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓的確定，過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．
2．（真題?閔行區(qū)校級期中）下列說法正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①平分弦的直徑，平分這條弦所對的?。?br>②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；
③等弧所對的圓心角相等；
④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及確定圓的條件進(jìn)行逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：①平分弦（弦不是直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法錯(cuò)誤；
②在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，說法錯(cuò)誤；
③等弧所對的圓心角相等，說法正確；
④過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，說法錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的說法有1個(gè)．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系及確定圓的條件，在解答此類問題時(shí)要注意只有在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角、弦、弦心距都分別相等．
3．（真題?泗陽縣期末）下列說法正確的是（ ）
A．一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓
B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓
C．長度相等的弧是等弧
D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等
【分析】根據(jù)三角形的外接圓、等弧的定義、三角形外心的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：A、任意三角形都有且只有一個(gè)外接圓，正確，本選項(xiàng)符合題意；
B、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，原說法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；
C、長度相等的弧不一定是等弧，原說法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；
D、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，原說法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓、等弧的定義，熟練掌握圓的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
4．（真題?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以在平面直角坐標(biāo)系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為△ABC的外心．
【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)O′即為所求．
∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，1）．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
5．（真題?江北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圓⊙O，交AC于點(diǎn)G、H．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GH長度的變化情況為（ ）
A．一直不變B．一直變大
C．先變小再變大D．先變大再變小
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求ON＝1，F(xiàn)O＝OB＝GO＝OH＝2，則點(diǎn)O在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由勾股定理可求GH＝2，即可求解．
【解答】解：如圖，連接BO，EO，F(xiàn)O，GO，HO，過點(diǎn)O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∵OE＝OF，ON⊥EF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，EN＝FN，
∴OF＝2ON，F(xiàn)NON，
∴ON＝1，F(xiàn)O＝2，
∴OB＝GO＝OH＝2，
∴點(diǎn)O在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵OG＝OH，OP⊥GH，
∴GH＝2PH，
∵PH，
∴GH＝2，
∵動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP的長是先變小再變大，
∴GH的長度是先變大再變小，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共2小題）
6．（2022春?重慶期中）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是 4.8 ．
【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，再利用三角形的面積可列式計(jì)算求解MP的最小值．
【解答】解：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB?MP＝AM?BM，
即10MP＝6×8，
解得MP＝4.8．
故答案為：4.8．
【點(diǎn)評】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時(shí)的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．
7．（真題?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個(gè)點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為 （2，1） ．
【分析】根據(jù)圖形得出A、B、C的坐標(biāo)，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．
【解答】解：從圖形可知：A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，3），
連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），
故答案為：（2，1）．
【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理等知識點(diǎn)，能找出圓弧的圓心Q的位置是解此題的關(guān)鍵．
三．解答題（共4小題）
8．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI的延長線交BC于點(diǎn)D，交⊙O于E，連接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB＝EI．
（I）求證：AE平分∠BAC；
（2）若BD，OI⊥AD于I，求CD的長．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ABI＝∠CBI，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBI＝∠EIB，通過三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）由AB是⊙O的直徑，得到AE⊥BE，推出OI∥BE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AI＝IE＝BE，推出AE＝2BE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得BE＝2，DE＝1，AE＝4，AD＝3，由于△ACD∽△BDE，得到2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵IB平分∠ABC，
∴∠ABI＝∠CBI，
∵EB＝EI，
∴∠EBI＝∠EIB，
∵∠EBI＝∠BAI+∠IBA，∠EBI＝∠IBC+∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴AE⊥BE，
∵OI⊥AE，
∴OI∥BE，
∵AO＝BO，
∴AI＝IE＝BE，
∴AE＝2BE，
∵∠EBC＝∠BAE，
∴△BDE∽△ABE，
∴，
∵BD，
∴BE＝2，DE＝1，
∴AE＝4，∴AD＝3，
∵△ACD∽△BDE，
∴2，
∴CD2+AC2＝AD2，
即CD2+（2CD）2＝9，
∴CD．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能正確作出輔助線并求出AE＝2BE是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度．
9．（2022春?諸暨市校級月考）（1）請借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點(diǎn)O；
（2）設(shè)每個(gè)小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．
【分析】（1）根據(jù)三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)作出點(diǎn)O；
（2）根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：（1）如圖所示，點(diǎn)O即為所求；
（2）連接OB，
由勾股定理得：OB，
∴外接圓⊙O的面積為：π×（）2＝10π．
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外心的概念、熟記圓的面積公式是解題的關(guān)鍵．
10．（真題?曹縣期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于點(diǎn)D，圓心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半徑．
【分析】連接OB，根據(jù)垂徑定理首先求得BD的長，根據(jù)勾股定理求得AD的長，可以設(shè)出圓的半徑，在直角三角形OBD中，利用勾股定理即可列方程求得半徑．
【解答】解：如圖，連接OB．
∵AD是△ABC的高．
∴BDBC＝6，
在Rt△ABD中，AD8．
設(shè)圓的半徑是R．
則OD＝8﹣R．
在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理可以得到：R2＝36+（8﹣R）2，
解得：R．
∴⊙O的半徑為．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓和外心，垂徑定理以及勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理轉(zhuǎn)化成方程問題．
11．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知：銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD、AE交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若⊙O直徑為17，AC＝15，求BF的長；
（2）如圖2，連接OA，若OA＝FA，AC＝BF，求∠OAD的大?。?br>【分析】（1）如圖1中，作⊙O的直徑CM，連接AM，BM．利用勾股定理求出AM，證明四邊形AMBF是平行四邊形即可解決問題．
（2）如圖2中，作⊙O的直徑CM，連接AM，BM，設(shè)AD交CM于J．證明AO⊥CM．推出∠OAD＝∠BCM，解直角三角形求出∠BCM即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1中，作⊙O的直徑CM，連接AM，BM．
∵CM是直徑，
∴∠CAM＝∠CBM＝90°，
∵CM＝17，AC＝15，
∴AM8，
∵AD⊥CB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠MBC＝90°，∠BEC＝∠MAC＝90°，
∴AD∥BM，AM∥BE，
∴四邊形AMBF是平行四邊形，
∴BF＝AM＝8；
（2）如圖2中，作⊙O的直徑CM，連接AM，BM，設(shè)AD交CM于J．
由（1）可知四邊形AMBF是平行四邊形，
∴AM＝BF，AF＝BM
∵AC＝BF，
∴AC＝AM，
∵∠MAC＝90°，MO＝OC，
∴AO⊥CM，
∵AD⊥BC，
∴∠AOJ＝∠CDJ＝90°，
∵∠AJO＝∠CJD，
∴∠DCJ＝∠JAO，
∵AF＝OA，AF＝BM，
∴OA＝BM，
∴CM＝2BM，
∵∠CBM＝90°，
∴sin∠BCM，
∴∠BCM＝30°，
∴∠OAD＝∠BCM＝30°．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考?？碱}型．

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