蘇教版八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假第15講軸對(duì)稱圖形全章復(fù)習(xí)與測(cè)試練習(xí)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形，探索軸對(duì)稱的基本性質(zhì)。
2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)。
3.線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)與判定方法。
4了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。
5了解等邊三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象
（1）軸對(duì)稱的概念：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱軸對(duì)稱；這條直線叫做對(duì)稱軸．
（2）軸對(duì)稱包含兩層含義：
①有兩個(gè)圖形，且這兩個(gè)圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；
②對(duì)重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對(duì)折后能夠重合．
二．軸對(duì)稱的性質(zhì)
（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：
①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；
②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．
（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．
三．軸對(duì)稱圖形
（1）軸對(duì)稱圖形的概念：
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．
（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)數(shù)條．
（3）常見的軸對(duì)稱圖形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
四．鏡面對(duì)稱
1、鏡面對(duì)稱：
有時(shí)我們把軸對(duì)稱也稱為鏡面（鏡子、鏡像）對(duì)稱，如果沿著圖形的對(duì)稱軸上放一面鏡子，那么在鏡子里所放映出來(lái)的一半正好把圖補(bǔ)成完整的（和原來(lái)的圖形一樣）．
2、鏡面實(shí)質(zhì)上是無(wú)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡面上有每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱軸．
3、關(guān)于鏡面問題動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是最好的辦法，如手頭沒有鏡面，可以寫在透明紙上，從反面看到的結(jié)果就是鏡面反射的結(jié)果．
五．作圖-軸對(duì)稱變換
幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋嬕粋€(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：
①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；
②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；
③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．
六．利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案
利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對(duì)稱的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的作圖方法來(lái)作圖，通過(guò)變換對(duì)稱軸來(lái)得到不同的圖案．
七．剪紙問題
一張紙經(jīng)過(guò)折和剪的過(guò)程，會(huì)形成一個(gè)軸對(duì)稱圖案．解決這類問題要熟知軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的找到對(duì)稱軸．一般方法是動(dòng)手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案．
八．翻折變換（折疊問題）
1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．
2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．
首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．
九角平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
十線段垂直平分線的性質(zhì)
（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．
（2）性質(zhì)：
①垂直平分線垂直且平分其所在線段．
②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
十一等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質(zhì)
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．
十二等腰三角形的判定
判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】
說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；
④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．
十三等腰三角形的判定與性質(zhì)
1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．
3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．
十四等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．
（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．
十五等邊三角形的判定
（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．
十六等邊三角形的判定與性質(zhì)
（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．
（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．
（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．
【考點(diǎn)剖析】
一．角平分線的性質(zhì)（共1小題）
1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，則AC的長(zhǎng)為（）
A．3B．C．4D．
二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）
2．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若△ABC的周長(zhǎng)為19cm，AE＝3cm，則△ACD的周長(zhǎng)為（）
A．22cmB．19cmC．13cmD．7cm
三．等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）
3．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm、9cm，則它的周長(zhǎng)為．
四．等腰三角形的判定（共2小題）
4．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成等腰三角形的是（）
A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，4
5．如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，求證：AH⊥AD．
五．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
6．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．
求證：MN＝BM+CN．
六．等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）
7．如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．
七．等邊三角形的判定（共1小題）
8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，求證：△ADE是等邊三角形．
八．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
9．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求∠F的度數(shù)；
（2）求證：DC＝CF．
九．含30度角的直角三角形（共1小題）
10．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，連接BD，若AC＝12．
（1）求證：BD⊥BC．
（2）求DB的長(zhǎng)．
一十．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）
11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AC＝CD＝1，求直角邊BC的長(zhǎng)．
一十一．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共1小題）
12．觀察下圖中各組圖形，其中成軸對(duì)稱的為（只寫序號(hào)1，2等）．
一十二．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共1小題）
13．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，P為這兩條直線外一點(diǎn)，連接OP．點(diǎn)P關(guān)于直線AB、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1、P2．若OP＝4，則點(diǎn)P1、P2之間的距離可能是（）
A．0B．7C．9D．10
一十三．軸對(duì)稱圖形（共1小題）
14．下列4個(gè)圖形：角、等腰三角形、平行四邊形、圓，其中是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
一十四．鏡面對(duì)稱（共1小題）
15．在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是．
一十五．作圖-軸對(duì)稱變換（共1小題）
16．如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的7×12的網(wǎng)格中，A，B均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．
（1）作線段A′B′，使A′B′與線段AB關(guān)于直線l對(duì)稱；
（2）連接BB′，僅用無(wú)刻度的直尺在BB′上找一點(diǎn)C，使得AC+B′C＝BB′．
一十六．利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案（共1小題）
17．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)小正方形被涂黑，再將圖中其余小正方形任意一個(gè)涂黑，使得整個(gè)圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，那么涂法共有種．
一十七．剪紙問題（共1小題）
18．如圖，從△ABC的紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE．若∠1+∠2＝230°，則∠C＝（）
A．230°B．130°C．50°D．110°
一十八．翻折變換（折疊問題）（共1小題）
19．如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處．設(shè)∠BED＝x°，則能使△BED和△CDF同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值為（）
A．10B．25C．30D．70
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）在下列四個(gè)交通標(biāo)志圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）如圖，△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
3．（3分）如圖，如果M點(diǎn)在∠ANB的角平分線上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和AM相等的線段一定是（）
A．BMB．BNC．MND．AN
4．（3分）下列圖形中，點(diǎn)P與點(diǎn)G關(guān)于直線對(duì)稱的是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，連接CE，∠B＝70°．則∠BCE的度數(shù)為（）
A．55°B．50°C．40°D．35°
6．（3分）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為16，且一邊長(zhǎng)為3，則腰長(zhǎng)為（）
A．3B．10C．6.5D．3或6.5
7．（3分）到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三條中垂線的交點(diǎn)（）
A．正確B．錯(cuò)誤
8．（3分）如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，則下列結(jié)論中：①AE∥BC；②∠DEB＝60°；③∠ADE＝∠BDC；④∠AED＝∠ABD，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②④
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
9．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，當(dāng)∠B＝時(shí)，△ABC是等腰三角形．
10．（3分）在Rt△ABC中，斜邊上的中線長(zhǎng)為5cm，則斜邊長(zhǎng)為．
11．（3分）在上學(xué)的路上，小剛從電瓶車的后視鏡里看到一輛汽車，車頂字牌上的字在平面鏡中的像是IXAT，則這輛車車頂字牌上的字實(shí)際是．
12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，則∠C＝ °．
13．（3分）將以長(zhǎng)方形紙片如圖折疊，若∠1＝140°，則∠2＝．
14．（3分）如圖，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF＝90°，從而∠ACB＝90°．設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，取AB的中點(diǎn)M，連接CM．則CM＝，理由是：．
15．（3分）如圖所示，已知O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，MN與PA，PB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知MN＝5cm，則△OEF的周長(zhǎng) cm．
16．（3分）一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，三角形頂角度數(shù) ．
17．（3分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有個(gè)．
18．（3分）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為40°，該三角形的一個(gè)底角是．
三．解答題（共6小題，滿分46分）
19．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠DBC＝∠DCB．
20．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．
21．（8分）現(xiàn)有9個(gè)相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑．如圖（1），（2）所示．
觀察圖（1），圖（2）中涂黑部分構(gòu)成的圖案．它們具有如下特征：①都是軸對(duì)稱圖形；②涂黑部分都是三個(gè)小正三角形．
請(qǐng)?jiān)趫D（3），圖（4）內(nèi)分別設(shè)計(jì)一個(gè)新圖案，使圖案具有上述兩個(gè)特征．
22．（8分）如圖：已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC＝PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等．
23．（9分）如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BD⊥CD，求∠C的度數(shù)．
24．（9分）如圖①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．試回答：
（1）圖中等腰三角形是．猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是．理由：
（2）如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是．在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？
（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由．
第15講軸對(duì)稱圖形全章復(fù)習(xí)與測(cè)試
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形，探索軸對(duì)稱的基本性質(zhì)。
2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)。
3.線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)與判定方法。
4了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。
5了解等邊三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象
（1）軸對(duì)稱的概念：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱軸對(duì)稱；這條直線叫做對(duì)稱軸．
（2）軸對(duì)稱包含兩層含義：
①有兩個(gè)圖形，且這兩個(gè)圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；
②對(duì)重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對(duì)折后能夠重合．
二．軸對(duì)稱的性質(zhì)
（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：
①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；
②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．
（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．
三．軸對(duì)稱圖形
（1）軸對(duì)稱圖形的概念：
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．
（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)數(shù)條．
（3）常見的軸對(duì)稱圖形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
四．鏡面對(duì)稱
1、鏡面對(duì)稱：
有時(shí)我們把軸對(duì)稱也稱為鏡面（鏡子、鏡像）對(duì)稱，如果沿著圖形的對(duì)稱軸上放一面鏡子，那么在鏡子里所放映出來(lái)的一半正好把圖補(bǔ)成完整的（和原來(lái)的圖形一樣）．
2、鏡面實(shí)質(zhì)上是無(wú)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡面上有每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱軸．
3、關(guān)于鏡面問題動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是最好的辦法，如手頭沒有鏡面，可以寫在透明紙上，從反面看到的結(jié)果就是鏡面反射的結(jié)果．
五．作圖-軸對(duì)稱變換
幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋嬕粋€(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：
①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；
②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；
③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．
六．利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案
利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對(duì)稱的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的作圖方法來(lái)作圖，通過(guò)變換對(duì)稱軸來(lái)得到不同的圖案．
七．剪紙問題
一張紙經(jīng)過(guò)折和剪的過(guò)程，會(huì)形成一個(gè)軸對(duì)稱圖案．解決這類問題要熟知軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的找到對(duì)稱軸．一般方法是動(dòng)手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案．
八．翻折變換（折疊問題）
1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．
2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．
首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．
九角平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
十線段垂直平分線的性質(zhì)
（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．
（2）性質(zhì)：
①垂直平分線垂直且平分其所在線段．
②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
十一等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質(zhì)
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．
十二等腰三角形的判定
判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】
說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；
④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．
十三等腰三角形的判定與性質(zhì)
1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．
3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．
十四等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．
（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．
十五等邊三角形的判定
（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．
十六等邊三角形的判定與性質(zhì)
（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．
（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．
（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．
【考點(diǎn)剖析】
一．角平分線的性質(zhì)（共1小題）
1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，則AC的長(zhǎng)為（）
A．3B．C．4D．
【分析】由角平分線的定義得到∠ACB＝2∠ACD，再證明∠ACD＝∠B，CD＝BD＝3，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，接著利用面積法證明AC：BC＝2：3，則設(shè)AC＝2x，BC＝3x，CF＝x，然后證明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE＝CF＝x，所以AE＝x，利用勾股定理得到22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，從而得到AC的長(zhǎng)．
【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AC于E點(diǎn)，DF⊥BC于F點(diǎn)，如圖，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠B，
∴CD＝BD＝3，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF
∵S△CAD：S△CBD＝AD：BD＝2：3，
∴DE?AC：DF?BC＝2：3，
∴AC：BC＝2：3，
設(shè)AC＝2x，BC＝3x，
∵DB＝DC，
∴CF＝BF＝BC＝x，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE＝CF＝x，
∴AE＝x，
∵DE2＝DA2﹣AE2＝CD2﹣CE2，
∴22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，
∴AC＝．
另一種解法：∵∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，∠BCD＝∠ACB，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2∠B，
∴∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，
∴，
解得：AC＝．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，解答的關(guān)鍵是熟記角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，并靈活運(yùn)用．
二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）
2．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若△ABC的周長(zhǎng)為19cm，AE＝3cm，則△ACD的周長(zhǎng)為（）
A．22cmB．19cmC．13cmD．7cm
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，AB＝2AE＝6（cm），根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC的周長(zhǎng)為19cm，
∴AB+AC+BC＝19cm，
∵DE是AB的垂直平分線，AE＝3cm，
∴DA＝DB，AB＝2AE＝6（cm），
∴AC+BC＝19﹣6＝13（cm），
∴△ACD的周長(zhǎng)＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝13（cm），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
三．等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）
3．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm、9cm，則它的周長(zhǎng)為 22cm ．
【分析】根據(jù)題意，分兩種情況：①腰是4cm，②底是4cm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，即可確定三角形的周長(zhǎng)．
【解答】解：根據(jù)題意，分兩種情況：
①腰是4cm，
∵4+4＜9，
∴腰是4cm不能構(gòu)成三角形，
②底是4cm，
∵9+9＞4，
∴底是4cm滿足條件，
則周長(zhǎng)為：9+9+4＝22（cm），
故答案為：22cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，涉及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
四．等腰三角形的判定（共2小題）
4．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成等腰三角形的是（）
A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，4
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義解答．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、∵3+4＞5，
∴能組成三角形，但不是等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、∵2+2＞3，
∴能組成三角形，且是等腰三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、∵2+2＝4，
∴不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形的任意兩邊之和大于第三邊．
5．如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，求證：AH⊥AD．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可得出∠ABC＝∠ACB，從而得證；
（2）由（1）中得證△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一，可知AH⊥BC，由于AD∥BC，即可得證．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠B，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（2）∵AB＝AC，
又∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，
∴AH⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AH⊥AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形，角平分線和平行線，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．
五．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
6．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．
求證：MN＝BM+CN．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，然后根據(jù)等角對(duì)等邊得到BM＝MO，ON＝CN，再根據(jù)角的和差即可證明．
【解答】證明：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴MN＝MO+ON＝BM+CN．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握．此題關(guān)鍵是證明△BMO和△CNO是等腰三角形．
六．等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）
7．如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC＝∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到DB＝DE．
【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角對(duì)等邊）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運(yùn)用；利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CDE＝30°是正確解答本題的關(guān)鍵．
七．等邊三角形的判定（共1小題）
8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，求證：△ADE是等邊三角形．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和是180°，可以求得∠CAE的度數(shù)；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，可以得到結(jié)論成立．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：證明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等邊三角形．
方法二：證明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝CE，
∴∠DEA＝60°，
∵點(diǎn)D為EC的中點(diǎn)，
∴AD＝CE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等邊三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
八．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
9．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求∠F的度數(shù)；
（2）求證：DC＝CF．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)求出∠EDC，再由三角形的內(nèi)角和定理解決問題即可．
（2）證△DEC是等邊三角形，得CE＝CD，再證∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等邊三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
九．含30度角的直角三角形（共1小題）
10．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，連接BD，若AC＝12．
（1）求證：BD⊥BC．
（2）求DB的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠A＝∠C＝30°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，求出∠DBA＝30°，再求出答案即可；
（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BD＝CD，求出AD＝AC，再求出答案即可．
【解答】（1）證明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵AB的垂直平分線是DE，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BD＝CD，
∵AD＝BD，
∴AD＝CD＝AC，
∵AC＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AC＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
一十．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）
11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AC＝CD＝1，求直角邊BC的長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，
∴AB＝2CD＝2，
由勾股定理得，BC＝＝＝，
故直角邊BC的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
一十一．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共1小題）
12．觀察下圖中各組圖形，其中成軸對(duì)稱的為 ①②④ （只寫序號(hào)1，2等）．
【分析】認(rèn)真觀察所給的圖形，按照直線兩旁的部分是否能夠互相重合來(lái)判斷是否符合要求．
【解答】解：3中的傘把不對(duì)稱，故填①②④
故填①②④
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了生活中的軸對(duì)稱問題；軸對(duì)稱的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，觀察直線兩邊圖象折疊后可重合是正確解答本題的關(guān)鍵．
一十二．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共1小題）
13．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，P為這兩條直線外一點(diǎn)，連接OP．點(diǎn)P關(guān)于直線AB、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1、P2．若OP＝4，則點(diǎn)P1、P2之間的距離可能是（）
A．0B．7C．9D．10
【分析】由對(duì)稱得OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，即可得出結(jié)果．
【解答】解：連接OP1，OP2，P1P2，如圖：
∵點(diǎn)P關(guān)于直線AB，CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，
∴OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，
∵OP1+OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜8，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵熟練掌握對(duì)稱性和三角形三邊的關(guān)系．
一十三．軸對(duì)稱圖形（共1小題）
14．下列4個(gè)圖形：角、等腰三角形、平行四邊形、圓，其中是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：角、等腰三角形、平行四邊形、圓，其中是軸對(duì)稱圖形是角、等腰三角形、圓共3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．
一十四．鏡面對(duì)稱（共1小題）
15．在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是 21：05 ．
【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．
【解答】解：由圖分析可得題中所給的“20：15”與“21：05”成軸對(duì)稱，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是21：05．
故答案為：21：05．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．
一十五．作圖-軸對(duì)稱變換（共1小題）
16．如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的7×12的網(wǎng)格中，A，B均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．
（1）作線段A′B′，使A′B′與線段AB關(guān)于直線l對(duì)稱；
（2）連接BB′，僅用無(wú)刻度的直尺在BB′上找一點(diǎn)C，使得AC+B′C＝BB′．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作線段A′B′，使A′B′與線段AB關(guān)于直線l對(duì)稱；
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可在BB′上找一點(diǎn)C，使得AC+B′C＝BB′．
【解答】解：（1）如圖，線段A′B′即為所求；
（2）如圖，點(diǎn)C即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．
一十六．利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案（共1小題）
17．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)小正方形被涂黑，再將圖中其余小正方形任意一個(gè)涂黑，使得整個(gè)圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，那么涂法共有 5 種．
【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析得出答案．
【解答】解：如圖所示：所標(biāo)數(shù)字之處都可以構(gòu)成軸對(duì)稱圖形，共有5種情形，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，正確掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
一十七．剪紙問題（共1小題）
18．如圖，從△ABC的紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE．若∠1+∠2＝230°，則∠C＝（）
A．230°B．130°C．50°D．110°
【分析】根據(jù)∠1+∠2的度數(shù)，再利用四邊形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B的度數(shù)，即可得出∠C的度數(shù)
【解答】解：∵四邊形ABDE的內(nèi)角和為360°，且∠1+∠2＝230°．
∴∠A+∠B＝360°﹣230°＝130°．
∵△ABC的內(nèi)角和為180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）
＝180°﹣130°＝50°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，利用四邊形的內(nèi)角和是360度的實(shí)際運(yùn)用與三角形內(nèi)角和180度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
一十八．翻折變換（折疊問題）（共1小題）
19．如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處．設(shè)∠BED＝x°，則能使△BED和△CDF同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值為（）
A．10B．25C．30D．70
【分析】由∠C＝100°，∠A＝∠B，得∠A＝∠B＝40°，根據(jù)將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，可得∠EDF＝∠A＝40°，當(dāng)△BED為“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，可解得x＝25°或x＝10°，①當(dāng)x＝25°時(shí)，即∠DEB＝25°，可得∠CFD＝55°，2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，故△CDF不是“準(zhǔn)直角三角形”；②當(dāng)x＝10°時(shí)，即∠DEB＝10°，可得∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，2∠CDF+∠CFD＝90°，△CDF是“準(zhǔn)直角三角形”，即可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝40°，
∵將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，
∴∠EDF＝∠A＝40°，
當(dāng)△BED為“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，
∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，
∴x＝25°或x＝10°，
①當(dāng)x＝25°時(shí)，即∠DEB＝25°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，
此時(shí)2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，
∴△CDF不是“準(zhǔn)直角三角形”；
②當(dāng)x＝10°時(shí)，即∠DEB＝10°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，
此時(shí)2∠CDF+∠CFD＝90°，
∴△CDF是“準(zhǔn)直角三角形”；
綜上所述，能使△BED和△CDF同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值為10，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的折疊問題，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂“準(zhǔn)直角三角形”的定義及分類討論思想的應(yīng)用．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）在下列四個(gè)交通標(biāo)志圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義解答．
【解答】解：“如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形”，符合這一要求的只有B．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，要知道“如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形”．
2．（3分）如圖，△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷解答即可．
【解答】解：△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是
△ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角新的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是求得各角的度數(shù)，掌握等角對(duì)等邊與等邊對(duì)等角定理的應(yīng)用．
3．（3分）如圖，如果M點(diǎn)在∠ANB的角平分線上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和AM相等的線段一定是（）
A．BMB．BNC．MND．AN
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即可判斷．
【解答】解：∵M(jìn)點(diǎn)在∠ANB的角平分線上，AM⊥AN，BM⊥BN，
∴AM＝BM．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，正確理解性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．（3分）下列圖形中，點(diǎn)P與點(diǎn)G關(guān)于直線對(duì)稱的是（）
A．B．
C．D．
【分析】直接根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得出結(jié)論．
【解答】解：A、B、C中，∵直線不是線段PG的垂直平分線，∴點(diǎn)P與點(diǎn)G不關(guān)于直線對(duì)稱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D中，直線是線段PG的垂直平分線，∴點(diǎn)P與點(diǎn)G關(guān)于直線對(duì)稱，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟知如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，連接CE，∠B＝70°．則∠BCE的度數(shù)為（）
A．55°B．50°C．40°D．35°
【分析】連接BE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EB＝EC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE＝BE，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠BAE＝∠EBA、∠BCE＝∠EBC，即可求出答案．
【解答】解：連接BE，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠ABC＝70°，AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝20°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝EB，
∴∠ABE＝∠BAE＝20°，
∴∠BCE＝∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣20°＝50°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠BAE＝∠EBA和∠BCE＝∠EBC是解此題的關(guān)鍵．
6．（3分）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為16，且一邊長(zhǎng)為3，則腰長(zhǎng)為（）
A．3B．10C．6.5D．3或6.5
【分析】因?yàn)檠L(zhǎng)沒有明確，所以分邊長(zhǎng)3是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況討論．
【解答】解：（1）當(dāng)3是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為16﹣3×2＝10，
此時(shí)3+3＝6＜10，不能組成三角形；
（2）當(dāng)3是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為×（16﹣3）＝6.5，
此時(shí)3，6.5，6.5三邊能夠組成三角形．
所以腰長(zhǎng)為6.5．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題要分情況討論，注意利用三角形的三邊關(guān)系判斷能否組成三角形，是學(xué)生容易出錯(cuò)的題．
7．（3分）到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三條中垂線的交點(diǎn)（）
A．正確B．錯(cuò)誤
【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可．
【解答】解：到三角形的三邊的距離相等的點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)，所以到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三條中垂線的交點(diǎn)是錯(cuò)誤的；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)，能熟記角平分線性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
8．（3分）如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，則下列結(jié)論中：①AE∥BC；②∠DEB＝60°；③∠ADE＝∠BDC；④∠AED＝∠ABD，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②④
【分析】由題意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判斷①②，根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和可判斷③④．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC
∵將△BCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60°
∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等邊三角形
∴AE∥BC
∵△BED是等邊三角形
∴∠DEB＝60°
故①②正確
∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED+∠BED，∠BDC＝∠BAC+∠ABD
∴∠AED＝∠ABD
故④正確
∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60°
∴∠BDC≠∠ADE
故③錯(cuò)誤．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
9．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，當(dāng)∠B＝ 80°、50°、20° 時(shí)，△ABC是等腰三角形．
【分析】此題要分三種情況進(jìn)行討論①∠B、∠A為底角；②∠A為頂角，∠B為底角；③∠B為頂角，∠A為底角．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴①當(dāng)∠B＝80°時(shí)，△ABC是等腰三角形；
②當(dāng)∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°時(shí)，△ABC是等腰三角形；
③當(dāng)∠B＝180°﹣80°×2＝20°時(shí)，△ABC是等腰三角形；
故答案為：80°、50°、20°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等角對(duì)等邊，注意考慮全面，不要漏解．
10．（3分）在Rt△ABC中，斜邊上的中線長(zhǎng)為5cm，則斜邊長(zhǎng)為 10 ．
【分析】已知CD的長(zhǎng)，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得AB的長(zhǎng)．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是AB斜邊上的中線，如果CD＝5cm，
∴AB＝10cm．
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
11．（3分）在上學(xué)的路上，小剛從電瓶車的后視鏡里看到一輛汽車，車頂字牌上的字在平面鏡中的像是IXAT，則這輛車車頂字牌上的字實(shí)際是 TAXI ．
【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．
【解答】解：IXAT是經(jīng)過(guò)鏡子反射后的字母，則這車車頂上字牌上的字實(shí)際是TAXI．
故答案為TAXI．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．
12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，則∠C＝ 40 °．
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出∠ADC的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，
∴∠B＝＝＝80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝＝＝40°．
【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬較簡(jiǎn)單題目．
13．（3分）將以長(zhǎng)方形紙片如圖折疊，若∠1＝140°，則∠2＝ 110° ．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠3＝140°，∠4+∠2＝180°，然后可得∠4的度數(shù)，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠3＝140°，∠4+∠2＝180°，
根據(jù)折疊可得：∠4＝3＝70°，
∴∠2＝180°﹣70°＝110°，
故答案為：110°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
14．（3分）如圖，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF＝90°，從而∠ACB＝90°．設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，取AB的中點(diǎn)M，連接CM．則CM＝ 5 ，理由是：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
【分析】先根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
【解答】解：由圖可知，AB＝10，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中點(diǎn)，
∴CM＝AB＝×10＝5（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
故答案為：5，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，讀懂題目信息并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖所示，已知O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，MN與PA，PB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知MN＝5cm，則△OEF的周長(zhǎng) 5 cm．
【分析】由O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得OE＝ME，OF＝NF，繼而可得△OEF的周長(zhǎng)＝MN，則可求得答案．
【解答】解：∵O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，
∴OE＝ME，OF＝NF，
∵M(jìn)N＝5cm，
∴△OEF的周長(zhǎng)為：OE+EF+OF＝ME+EF+NF＝MN＝5（cm）．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
16．（3分）一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，三角形頂角度數(shù) 45°或135° ．
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為45°．另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)為135°．
【解答】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝45°，
∴∠A＝45°，
即頂角的度數(shù)為45°．
②如圖，等腰三角形為鈍角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故答案為45°或135°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵在于正確的畫出圖形，結(jié)合圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．
17．（3分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有 8 個(gè)．
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．
【解答】解：如圖：分情況討論．
①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．
18．（3分）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為40°，該三角形的一個(gè)底角是 25°或65° ．
【分析】本題已知沒有明確三角形的類型，所以應(yīng)分這個(gè)等腰三角形是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論．
【解答】解：當(dāng)這個(gè)三角形是銳角三角形時(shí)：高與另一腰的夾角為40，則頂角是50°，因而底角是65°；
如圖所示：當(dāng)這個(gè)三角形是鈍角三角形時(shí)：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝50°，
所以∠B＝∠C＝25°
因此這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為25°或65°．
故答案為：25°或65°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的高線，可能在三角形的內(nèi)部，邊上、外部幾種不同情況，因而，遇到與等腰三角形的高有關(guān)的計(jì)算時(shí)應(yīng)分類討論．
三．解答題（共6小題，滿分46分）
19．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠DBC＝∠DCB．
【分析】利用SAS證得△ACD≌△ABD，從而證得BD＝CD，利用等邊對(duì)等角證得結(jié)論即可．
【解答】證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，特別是在應(yīng)用SAS進(jìn)行判定三角形全等時(shí)，主要A為兩邊的夾角．
20．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．
【分析】（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等及E為AB中點(diǎn)得到一對(duì)邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代換得到∠GDF＝∠BFE，利用等角對(duì)等邊得到GF＝GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，
∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直DF，
理由為：連接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE為DF上的中線，
∴GE垂直DF．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
21．（8分）現(xiàn)有9個(gè)相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑．如圖（1），（2）所示．
觀察圖（1），圖（2）中涂黑部分構(gòu)成的圖案．它們具有如下特征：①都是軸對(duì)稱圖形；②涂黑部分都是三個(gè)小正三角形．
請(qǐng)?jiān)趫D（3），圖（4）內(nèi)分別設(shè)計(jì)一個(gè)新圖案，使圖案具有上述兩個(gè)特征．
【分析】因?yàn)檎切问禽S對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是從頂點(diǎn)向底邊所作垂線，故只要所涂得小正三角形關(guān)于大正三角形的中垂線對(duì)稱即可．
【解答】解：如圖．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題要明確：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱軸：折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸．
22．（8分）如圖：已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC＝PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等．
【分析】（1）作出∠AOB的平分線，（2）作出CD的中垂線，（3）找到交點(diǎn)P即為所求．
【解答】解：
作CD的中垂線和∠AOB的平分線，兩線的交點(diǎn)即為所作的點(diǎn)P．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題要明確兩點(diǎn)：（1）角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；（2）中垂線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
23．（9分）如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BD⊥CD，求∠C的度數(shù)．
【分析】由AB＝AD＝CD，可知∠ABD＝∠ADB，又AD∥BC，可推得BD為∠B的平分線，而由題可知梯形ABCD為等腰梯形，則∠B＝∠C，那么在RT△BDC中，∠C+∠C＝90°，可求得∠C＝60°．
【解答】解：∵AB＝AD＝CD
∴∠ABD＝∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC
∴∠ABD＝∠DBC
∴BD為∠B的平分線
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD
∴梯形ABCD為等腰梯形
∴∠B＝∠C
∵BD⊥CD
∴∠C+∠C＝90°
∴∠C＝60°
【點(diǎn)評(píng)】先根據(jù)已知條件可知四邊形為等腰梯形，然后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和已知條件求解．
24．（9分）如圖①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．試回答：
（1）圖中等腰三角形是 △AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC ．猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是 EF＝BE+CF ．理由：
（2）如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是 △EOB、△FOC ．在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？
（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由．
【分析】（1）由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO＝∠OBC＝∠FCO＝∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO＝∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO＝BE，OF＝FC，則EF＝BE+FC．
（2）由（1）的證明過(guò)程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過(guò)程中，與AB＝AC的條件沒有關(guān)系，故這兩個(gè)等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF＝BE+FC的結(jié)論仍成立．
（3）思路與（2）相同，只不過(guò)結(jié)果變成了EF＝BE﹣FC．
【解答】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的關(guān)系是EF＝BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO；
即EO＝EB，F(xiàn)O＝FC；
∴EF＝EO+OF＝BE+CF．
（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．（證明過(guò)程同（1））
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下：
同（1）可證得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC＝∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，
∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)．進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．

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