1.有理數(shù)的概念及運(yùn)算，數(shù)軸，絕對值及科學(xué)記數(shù)法的相關(guān)內(nèi)容．
2.重點(diǎn)是有理數(shù)的四則運(yùn)算，
3.難點(diǎn)是絕對值的相關(guān)運(yùn)算以及有理數(shù)的混合運(yùn)算．
【基礎(chǔ)知識】
1．正數(shù)和負(fù)數(shù)
1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號叫做它的符號．
2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．
3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．
2．有理數(shù)
1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．
2、有理數(shù)的分類：
①按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：有理數(shù)；
②按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù)．
注意：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．
3．?dāng)?shù)軸
（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．
數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向．
（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较颍瑪?shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）
（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．
4．相反數(shù)
（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．
（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．
（3）多重符號的化簡：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號，結(jié)果為正．
（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號時(shí)，要用小括號．
5．絕對值
（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值．
①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等；
②絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．
③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)．
（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a 絕對值要由字母a本身的取值來確定：
①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它本身a；
②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；
③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
6．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．
根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．
7．倒數(shù)
（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．
一般地，a?＝1 （a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是．
（2）方法指引：
①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．
②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0 沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．
【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法
注意：0沒有倒數(shù)．
8．有理數(shù)的加法
（1）有理數(shù)加法法則：
①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．
②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．
③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．
（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）
（2）相關(guān)運(yùn)算律
交換律：a+b＝b+a； 結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
9．有理數(shù)的減法
（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號；
②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號：一是運(yùn)算符號（減號變加號）； 二是減數(shù)的性質(zhì)符號（減數(shù)變相反數(shù)）；
【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．
減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．
10．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算
（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．
（2）方法指引：
①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號的和的形式．
②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡化．
11．有理數(shù)的乘法
（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．
（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．
（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．
（4）方法指引：
①運(yùn)用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．
②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單．
12．有理數(shù)的除法
（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a? （b≠0）
（2）方法指引：
（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．
（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．
13．有理數(shù)的乘方
（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．
乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）
（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．
（3）方法指引：
①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值；
②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．
14．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方
偶次方具有非負(fù)性．
任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．
15．有理數(shù)的混合運(yùn)算
（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．
（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．
【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧
1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．
2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．
3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．
4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡便．
16．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)
（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】
（2）規(guī)律方法總結(jié)：
①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．
②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號．
17．計(jì)算器—有理數(shù)
計(jì)算器包括標(biāo)準(zhǔn)型和科學(xué)型兩種，其中科學(xué)型使用方法如下： （1）鍵入數(shù)字時(shí)，按下相應(yīng)的數(shù)字鍵，如果按錯(cuò)可用（DEL）鍵消去一次數(shù)值，再重新輸入正確的數(shù)字． （2）直接輸入數(shù)字后，按下對應(yīng)的功能鍵，進(jìn)行第一功能相應(yīng)的計(jì)算．
（3）按下（﹣）鍵可輸入負(fù)數(shù)，即先輸入（﹣）號再輸入數(shù)值．
（4）開方運(yùn)算按用到乘方運(yùn)算鍵x2的第二功能鍵”和的第二功能鍵“”．
（5）對于開平方運(yùn)算的按鍵順序是：2ndfx2被開方數(shù)ENTE或直接按鍵，再輸入數(shù)字后按“＝”即可．
（6）對于開立方運(yùn)算的按鍵順序是：32ndf∧被開方數(shù)ENTE或直接按x3，再輸入數(shù)字后按“＝”即可
注意：由于計(jì)算器的類型不一樣操作方式也不盡相同，可以參考說明書進(jìn)行操作．
18．無理數(shù)
（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．
說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)． 如圓周率、2的平方根等．
（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：
①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．
②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．
（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o理數(shù)．
無理數(shù)常見的三種類型
（1）開不盡的方根，如等．
（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，
如0.303 003 000 300 003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．
（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．
注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．
【考點(diǎn)剖析】
一．正數(shù)和負(fù)數(shù)（共1小題）
1．（真題?海滄區(qū)期末）如果向西走3km，記作+3km，那么﹣6km表示（ ）
A．向東走6kmB．向南走6kmC．向西走6kmD．向北走6km
二．有理數(shù)（共1小題）
2．（真題?靖江市月考）下列各數(shù)：﹣，1.010010001，0，﹣π，﹣2.626626662…（每兩個(gè)2之間多一個(gè)6），0.1222…，其中有理數(shù)有 個(gè)．
三．?dāng)?shù)軸（共1小題）
3．（真題?鎮(zhèn)江期末）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4，將點(diǎn)A在數(shù)軸上平移5個(gè)單位長度得到點(diǎn)B．則點(diǎn)B表示的數(shù)是 ．
四．相反數(shù)（共1小題）
4．（2022?寶山區(qū)模擬）2022的相反數(shù)是 ．
五．絕對值（共1小題）
5．（真題?無錫期末）﹣3.6的絕對值是 ．
六．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值（共1小題）
6．（2022春?東臺市期中）|x﹣2|+9有最小值為 ．
七．倒數(shù)（共1小題）
7．（2022?南京一模）的倒數(shù)是 ；的相反數(shù)是 ．
八．有理數(shù)的加法（共1小題）
8．（2022?鎮(zhèn)江一模）（﹣7）+7＝ ．
九．有理數(shù)的減法（共1小題）
9．（真題?射陽縣校級期末）比0小4的數(shù)是 ．
一十．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（共1小題）
10．（真題?文山市期末）檢修工乘汽車沿東西方向檢修電路，規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，某天檢修工從A地出發(fā)，到收工時(shí)行程記錄為（單位：千米）
+8，﹣9，+4，﹣7，﹣2，﹣10，+11，﹣3，+7，﹣5；
（1）收工時(shí)，檢修工在A地的哪邊？距A地多遠(yuǎn)？
（2）若每千米耗油0.3升，從A地出發(fā)到收工時(shí)，共耗油多少升？
一十一．有理數(shù)的乘法（共1小題）
11．（真題?東城區(qū)校級期中）（﹣+）×（﹣36）
一十二．有理數(shù)的除法（共1小題）
12．（2018秋?仁壽縣校級期中）（﹣81）÷×÷（﹣16）
一十三．有理數(shù)的乘方（共1小題）
13．（2022春?姜堰區(qū)期中）計(jì)算：42n?（﹣）2n+1＝ （n為正整數(shù)）．
一十四．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共1小題）
14．（真題?射陽縣校級期末）已知|a﹣3|+（b+2）2＝0，則a+b＝ ．
一十五．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共1小題）
15．（2022?通州區(qū)校級開學(xué)）計(jì)算題：
（1）24+（﹣14）+（﹣16）+8； （2）0.25×（﹣2）3﹣[4÷（﹣）2+1]．
一十六．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共1小題）
16．（2022?江陰市模擬）2021年3月23日下午，“天宮課堂”時(shí)隔3個(gè)月后再度開課，中國航天員再次進(jìn)行太空授課，此時(shí)空間站距離地球約370000米，數(shù)據(jù)370000用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
一十七．計(jì)算器—有理數(shù)（共1小題）
17．（2018秋?海安市期末）小江利用計(jì)算器計(jì)算15×15，25×25，…，95×95，有如下發(fā)現(xiàn)：
15×15＝225＝1×2×100+25，
25×25＝625＝2×3×100+25
35×35＝1225＝3×4×100+25，
小江觀察后猜測：如果用字母a代表一個(gè)正整數(shù)，則有如下規(guī)律：
（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．
但這樣的猜測是需要證明之后才能保證它的正確性．
請給出證明．
一十八．無理數(shù)（共1小題）
18．（真題?阜寧縣期末）在，2π，﹣1，0.181181118…四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)有 個(gè)．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）化簡﹣（﹣8）的結(jié)果是（ ）
A．8B．﹣8C．D．﹣
2．（3分）中國奇書《易經(jīng)》中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)數(shù)，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進(jìn)1，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）
A．10B．89C．165D．294
3．（3分）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，其對應(yīng)的數(shù)分別是a和b，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．b+a＞0B．a(chǎn)﹣b＜0C．|a|＞|b|D．＜0
4．（3分）下列各式運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)的是（ ）
A．﹣23×5B．（2﹣3）2×5C．（1﹣22）×5D．1﹣（2×3）2
5．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（﹣4）×÷×2＝﹣2÷（﹣1）＝2
B．﹣32+（7﹣10）2﹣4×（﹣2）2＝9+9﹣16＝2
C．（﹣6.25）×（﹣4）﹣120÷（﹣15）＝25﹣8＝17
D．0﹣（﹣3）2÷3×（﹣2）3＝0﹣9÷3×（﹣2）3＝0﹣3×（﹣8）＝24
6．（3分）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值是20時(shí)，根據(jù)程序計(jì)算，第一次輸出的結(jié)果為10，第二次輸出的結(jié)果為5……這樣下去第2020次輸出的結(jié)果為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．﹣8D．﹣4
7．（3分）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①兩個(gè)有理數(shù)相加，和一定大于每一個(gè)加數(shù)；②兩個(gè)正數(shù)相加，和為正數(shù)；③正數(shù)加負(fù)數(shù)，其和一定等于0；④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相減得0；⑤減去一個(gè)負(fù)數(shù)，差一定大于被減數(shù)．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
8．（3分）“△”表示一種運(yùn)算符號，其意義是：a△b＝2a﹣b，那么（﹣5）△（1△3）的值等于（ ）
A．﹣9B．﹣11C．﹣15D．﹣12
9．（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C分別表示數(shù)a，b，c，有下列結(jié)論：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜＜0，則其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
10．（3分）在數(shù)軸上表示有理數(shù)a，b，c，d如圖所示，則正確的結(jié)論是（ ）
A．a(chǎn)+b＞c+dB．a(chǎn)b＜cd
C．（a+3）（b+1）＞0D．（a﹣d）（c﹣b）＞0
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
11．（3分）比較大?。憨? ﹣．
12．（3分）若|﹣a|＝1，則a＝ ．
13．（3分）比﹣4大而比5小的所有整數(shù)的和為 ．
14．（3分）當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，設(shè)+＝m，則m＝ ．
15．（3分）﹣2的相反數(shù)是 ．
16．（3分）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離為3，則點(diǎn)B表示的數(shù)是 ．
17．（3分）如圖所示是計(jì)算機(jī)某計(jì)算程序，若開始輸入x＝﹣2，則最后輸出的結(jié)果是 ．
18．（3分）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是﹣16、9，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對折，若點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)A′落在點(diǎn)B的右邊，并且A′B＝3，則C點(diǎn)表示的數(shù)是 ．
三．解答題（共6小題，滿分46分）
19．（10分）計(jì)算：
（1）（﹣﹣+﹣）×（﹣15×4）；（2）；
（3）（﹣18）÷2×÷（﹣16）； （4）；
（5）．
20．（4分）a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，求的值．
21．（6分）小王上周五在股市以收盤價(jià)（收市時(shí)的價(jià)格）每股25元買進(jìn)某公司股票1000股，在接下來的一周交易日內(nèi)，小王記下該股票每日收盤價(jià)格相比前一天的漲跌情況：（單位：元）
根據(jù)上表回答問題：
（1）星期二收盤時(shí)，該股票每股多少元？
（2）本周內(nèi)該股票收盤時(shí)的最高價(jià)，最低價(jià)分別是多少？
（3）已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的交易費(fèi)．若小王在本周五以收盤價(jià)將全部股票賣出，他的收益情況如何？
22．（8分）一只螞蟻從原點(diǎn)0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣9，+12，﹣10．
回答下列問題：
（1）螞蟻?zhàn)詈笫欠窕氐匠霭l(fā)點(diǎn)0；
（2）在爬行過程中，如果每爬一個(gè)單位長度獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻．
23．（8分）閱讀下列解題過程：
計(jì)算1+3+32+33+34+…+39+310的值．
解：設(shè)S＝1+3+32+33+34+…+39+310①，
則3S＝3×（1+3+32+33+…+39+310）
3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310
3S＝3+32+33+34+…+310+311②，
②﹣①得：
3S﹣S＝（3+32+33+34+…+39+310+311）﹣（1+3+32+33+34+…+39+310）
2S＝311﹣1，S＝，即1+3+32+33+34+…+39+310＝
通過閱讀，你一定學(xué)到了一種解決問題的方法．
請用你學(xué)到的方法計(jì)算：1+5+52+53+54+…+524+525．
24．（10分）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖（1），當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖（2），點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如圖（3），點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（a）＝|a﹣b|；③如圖（4），點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的兩邊，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a﹣b|．
回答下列問題：
（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 ；
（2）數(shù)軸上表示﹣1和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是 ；
（3）數(shù)軸上表示1和﹣4的兩點(diǎn)之間的距離是 ；
（4）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A之和B之間的距離是 ，如果|AB|＝2，那么x的值是 ．求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)
求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可
求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)
求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一
求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置
星期
一
二
三
四
五
每股漲跌（元）
+2
﹣0.5
+1.5
﹣1.8
+0.8
第11講 有理數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.有理數(shù)的概念及運(yùn)算，數(shù)軸，絕對值及科學(xué)記數(shù)法的相關(guān)內(nèi)容．
2.重點(diǎn)是有理數(shù)的四則運(yùn)算，
3.難點(diǎn)是絕對值的相關(guān)運(yùn)算以及有理數(shù)的混合運(yùn)算．
【基礎(chǔ)知識】
1．正數(shù)和負(fù)數(shù)
1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號叫做它的符號．
2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．
3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．
2．有理數(shù)
1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．
2、有理數(shù)的分類：
①按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：有理數(shù)；
②按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù)．
注意：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．
3．?dāng)?shù)軸
（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．
數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向．
（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）
（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．
4．相反數(shù)
（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．
（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．
（3）多重符號的化簡：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號，結(jié)果為正．
（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號時(shí)，要用小括號．
5．絕對值
（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值．
①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等；
②絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．
③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)．
（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a 絕對值要由字母a本身的取值來確定：
①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它本身a；
②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；
③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
6．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．
根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．
7．倒數(shù)
（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．
一般地，a?＝1 （a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是．
（2）方法指引：
①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．
②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0 沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．
【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法
注意：0沒有倒數(shù)．
8．有理數(shù)的加法
（1）有理數(shù)加法法則：
①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．
②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．
③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．
（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）
（2）相關(guān)運(yùn)算律
交換律：a+b＝b+a； 結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
9．有理數(shù)的減法
（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號；
②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號：一是運(yùn)算符號（減號變加號）； 二是減數(shù)的性質(zhì)符號（減數(shù)變相反數(shù)）；
【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．
減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．
10．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算
（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．
（2）方法指引：
①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號的和的形式．
②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡化．
11．有理數(shù)的乘法
（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．
（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．
（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．
（4）方法指引：
①運(yùn)用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．
②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單．
12．有理數(shù)的除法
（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a? （b≠0）
（2）方法指引：
（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．
（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．
13．有理數(shù)的乘方
（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．
乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）
（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．
（3）方法指引：
①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值；
②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．
14．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方
偶次方具有非負(fù)性．
任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．
15．有理數(shù)的混合運(yùn)算
（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．
（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．
【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧
1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．
2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．
3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．
4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡便．
16．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)
（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】
（2）規(guī)律方法總結(jié)：
①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．
②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號．
17．計(jì)算器—有理數(shù)
計(jì)算器包括標(biāo)準(zhǔn)型和科學(xué)型兩種，其中科學(xué)型使用方法如下： （1）鍵入數(shù)字時(shí)，按下相應(yīng)的數(shù)字鍵，如果按錯(cuò)可用（DEL）鍵消去一次數(shù)值，再重新輸入正確的數(shù)字． （2）直接輸入數(shù)字后，按下對應(yīng)的功能鍵，進(jìn)行第一功能相應(yīng)的計(jì)算．
（3）按下（﹣）鍵可輸入負(fù)數(shù)，即先輸入（﹣）號再輸入數(shù)值．
（4）開方運(yùn)算按用到乘方運(yùn)算鍵x2的第二功能鍵”和的第二功能鍵“”．
（5）對于開平方運(yùn)算的按鍵順序是：2ndfx2被開方數(shù)ENTE或直接按鍵，再輸入數(shù)字后按“＝”即可．
（6）對于開立方運(yùn)算的按鍵順序是：32ndf∧被開方數(shù)ENTE或直接按x3，再輸入數(shù)字后按“＝”即可
注意：由于計(jì)算器的類型不一樣操作方式也不盡相同，可以參考說明書進(jìn)行操作．
18．無理數(shù)
（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．
說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)． 如圓周率、2的平方根等．
（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：
①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．
②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．
（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o理數(shù)．
無理數(shù)常見的三種類型
（1）開不盡的方根，如等．
（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，
如0.303 003 000 300 003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．
（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．
注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．
【考點(diǎn)剖析】
一．正數(shù)和負(fù)數(shù)（共1小題）
1．（真題?海滄區(qū)期末）如果向西走3km，記作+3km，那么﹣6km表示（ ）
A．向東走6kmB．向南走6kmC．向西走6kmD．向北走6km
【分析】根據(jù)向西與向東是一對具有相反意義的量即可作出判斷．
【解答】解：如果向西走3km，記作+3km，那么﹣6km表示向東走6km．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示
二．有理數(shù)（共1小題）
2．（真題?靖江市月考）下列各數(shù)：﹣，1.010010001，0，﹣π，﹣2.626626662…（每兩個(gè)2之間多一個(gè)6），0.1222…，其中有理數(shù)有 4 個(gè)．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義逐一判斷即可．
【解答】解：下列各數(shù)：﹣，1.010010001，0，﹣π，﹣2.626626662…（每兩個(gè)2之間多一個(gè)6），0.1222…，其中有理數(shù)有﹣，1.010010001，0，0.1222…，共4個(gè)．
故答案為：4．
【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的分類．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．
三．?dāng)?shù)軸（共1小題）
3．（真題?鎮(zhèn)江期末）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4，將點(diǎn)A在數(shù)軸上平移5個(gè)單位長度得到點(diǎn)B．則點(diǎn)B表示的數(shù)是 1或﹣9 ．
【分析】數(shù)軸上點(diǎn)的平移，根據(jù)左減右加的方法，即可得出答案．
【解答】解：如果向右平移5個(gè)單位長度，則﹣4+5＝1，
如果向左平移5個(gè)單位長度，則﹣4﹣5＝﹣9，
故答案為：1或﹣9．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)平移法則，理解左減右加是解題關(guān)鍵．
四．相反數(shù)（共1小題）
4．（2022?寶山區(qū)模擬）2022的相反數(shù)是 ﹣2022 ．
【分析】直接利用只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，即可得出答案．
【解答】解：2022的相反數(shù)是：﹣2022．
故答案為：﹣2022．
【點(diǎn)評】此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
五．絕對值（共1小題）
5．（真題?無錫期末）﹣3.6的絕對值是 3.6 ．
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：﹣3.6的絕對值是3.6，
故答案為：3.6．
【點(diǎn)評】本題考查了絕對值，掌握負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
六．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值（共1小題）
6．（2022春?東臺市期中）|x﹣2|+9有最小值為 9 ．
【分析】根據(jù)絕對值的非負(fù)性即可得出答案．
【解答】解：∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|+9≥9，
∴|x﹣2|+9有最小值為9．
故答案為：9．
【點(diǎn)評】本題考查了絕對值的非負(fù)性，掌握|a|≥0是解題的關(guān)鍵．
七．倒數(shù)（共1小題）
7．（2022?南京一模）的倒數(shù)是 3 ；的相反數(shù)是 ﹣ ．
【分析】乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)；只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，根據(jù)定義直接得出答案．
【解答】解：的倒數(shù)是3；的相反數(shù)是﹣．
故答案為：3；﹣．
【點(diǎn)評】此題考查了倒數(shù)、相反數(shù)，掌握倒數(shù)、相反數(shù)的定義是本題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．
八．有理數(shù)的加法（共1小題）
8．（2022?鎮(zhèn)江一模）（﹣7）+7＝ 0 ．
【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0即可得出答案．
【解答】解：（﹣7）+7＝0，
故答案為：0．
【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0是解題的關(guān)鍵．
九．有理數(shù)的減法（共1小題）
9．（真題?射陽縣校級期末）比0小4的數(shù)是 ﹣4 ．
【分析】根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．
【解答】解：比0小4的數(shù)是：0﹣4＝﹣4．
故答案為：﹣4．
【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的減法，掌握有理數(shù)的減法法則是解答本題的關(guān)鍵．
一十．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（共1小題）
10．（真題?文山市期末）檢修工乘汽車沿東西方向檢修電路，規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，某天檢修工從A地出發(fā)，到收工時(shí)行程記錄為（單位：千米）
+8，﹣9，+4，﹣7，﹣2，﹣10，+11，﹣3，+7，﹣5；
（1）收工時(shí)，檢修工在A地的哪邊？距A地多遠(yuǎn)？
（2）若每千米耗油0.3升，從A地出發(fā)到收工時(shí)，共耗油多少升？
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，將各個(gè)數(shù)據(jù)相加看最后的結(jié)果，即可解答本題；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)將它們的絕對值相加，然后乘以0.3即可解答本題．
【解答】解：（1）（+8）+（﹣9）+（+4）+（﹣7）+（﹣2）+（﹣10）+（+11）+（﹣3）+（+7）+（﹣5）
＝8﹣9+4﹣7﹣2﹣10+11﹣3+7﹣5＝8+4+11+7﹣9﹣7﹣2﹣10﹣3﹣5＝30﹣36＝﹣6（千米），
答：收工時(shí)，檢修工在A地的西邊，距A地6千米；
（2）|+8|+|﹣9|+|+4|+|﹣7|+|﹣2|+|﹣10|+|+11|+|﹣3|+|+7|+|﹣5|
＝8+9+4+7+2+10+11+3+7+5＝66（千米）
66×0.3＝19.8（升）
答：從A地出發(fā)到收工時(shí)，共耗油19.8升．
【點(diǎn)評】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確正數(shù)和負(fù)數(shù)在題目中的實(shí)際含義．
一十一．有理數(shù)的乘法（共1小題）
11．（真題?東城區(qū)校級期中）（﹣+）×（﹣36）
【分析】運(yùn)用乘法分配律計(jì)算．
【解答】解：（﹣+）×（﹣36），
＝﹣8+9﹣2，
＝﹣1．
【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用乘法分配律計(jì)算．
一十二．有理數(shù)的除法（共1小題）
12．（2018秋?仁壽縣校級期中）（﹣81）÷×÷（﹣16）
【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合計(jì)算解答即可．
【解答】解：（﹣81）÷×÷（﹣16）
＝
＝1
【點(diǎn)評】此題考查有理數(shù)的混合計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)的混合計(jì)算順序解答．
一十三．有理數(shù)的乘方（共1小題）
13．（2022春?姜堰區(qū)期中）計(jì)算：42n?（﹣）2n+1＝ ﹣ （n為正整數(shù)）．
【分析】利用冪的乘方公式、同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：42n?（﹣）2n+1
＝42n?（﹣）
＝﹣
＝﹣42n﹣（2n+1）
＝﹣4﹣1
＝﹣．
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評】本題考查的是冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，關(guān)鍵是熟練掌握兩種法則．
一十四．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共1小題）
14．（真題?射陽縣校級期末）已知|a﹣3|+（b+2）2＝0，則a+b＝ 1 ．
【分析】根據(jù)絕對值和偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，而|a﹣3|≥0，（b+2）2≥0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
解得a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3﹣2＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．
一十五．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共1小題）
15．（2022?通州區(qū)校級開學(xué)）計(jì)算題：
（1）24+（﹣14）+（﹣16）+8；
（2）0.25×（﹣2）3﹣[4÷（﹣）2+1]．
【分析】（1）根據(jù)交換律和結(jié)合律可以解答本題；
（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加減法即可．
【解答】解：（1）24+（﹣14）+（﹣16）+8
＝（24+8）+[（﹣14）+（﹣16）]
＝32+（﹣30）
＝2；
（2）0.25×（﹣2）3﹣[4÷（﹣）2+1]
＝0.25×（﹣8）﹣（4÷+1）
＝（﹣2）﹣（4×+1）
＝（﹣2）﹣（9+1）
＝（﹣2）﹣10
＝﹣12．
【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
一十六．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共1小題）
16．（2022?江陰市模擬）2021年3月23日下午，“天宮課堂”時(shí)隔3個(gè)月后再度開課，中國航天員再次進(jìn)行太空授課，此時(shí)空間站距離地球約370000米，數(shù)據(jù)370000用科學(xué)記數(shù)法表示為 3.7×105 ．
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：370000＝3.7×105．
故答案為：3.7×105．
【點(diǎn)評】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．
一十七．計(jì)算器—有理數(shù)（共1小題）
17．（2018秋?海安市期末）小江利用計(jì)算器計(jì)算15×15，25×25，…，95×95，有如下發(fā)現(xiàn)：
15×15＝225＝1×2×100+25，
25×25＝625＝2×3×100+25
35×35＝1225＝3×4×100+25，
小江觀察后猜測：如果用字母a代表一個(gè)正整數(shù)，則有如下規(guī)律：
（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．
但這樣的猜測是需要證明之后才能保證它的正確性．
請給出證明．
【分析】根據(jù)完全平方公式將左邊展開，再將前兩項(xiàng)分解因式即可得證．
【解答】解：左邊＝（10a+5）2
＝100a2+100a+25
＝a（a+1）×100+25＝右邊，
∴（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．
【點(diǎn)評】本題主要考查有理數(shù)和整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式和因式分解的能力．
一十八．無理數(shù)（共1小題）
18．（真題?阜寧縣期末）在，2π，﹣1，0.181181118…四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)有 2 個(gè)．
【分析】理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．
【解答】解：，是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；
無理數(shù)有2π，0.181181118…，共2個(gè)．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題主要考查了無理數(shù)．解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）化簡﹣（﹣8）的結(jié)果是（ ）
A．8B．﹣8C．D．﹣
【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．
【解答】解：∵﹣（﹣8）即為﹣8的相反數(shù)，
∵﹣8＜0，
∴﹣8的相反數(shù)是8，即﹣（﹣8）＝8．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是相反數(shù)的定義，即只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．
2．（3分）中國奇書《易經(jīng)》中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)數(shù)，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進(jìn)1，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）
A．10B．89C．165D．294
【分析】根據(jù)計(jì)數(shù)規(guī)則可知，從右邊第1位的計(jì)數(shù)單位為50，右邊第2位的計(jì)數(shù)單位為51，右邊第3位的計(jì)數(shù)單位為52，右邊第4位的計(jì)數(shù)單位為53……依此類推，可求出結(jié)果．
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查用數(shù)字表示事件，理解“逢五進(jìn)一”的計(jì)數(shù)規(guī)則是正確計(jì)算的前提．
3．（3分）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，其對應(yīng)的數(shù)分別是a和b，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．b+a＞0B．a(chǎn)﹣b＜0C．|a|＞|b|D．＜0
【分析】根據(jù)圖示，可得：0＜a＜3，b＜﹣3，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：A、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴b+a＜0，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴a﹣b＞0，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴|a|＜|b|，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴＜0，故選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，以及數(shù)軸的特征和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．
4．（3分）下列各式運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)的是（ ）
A．﹣23×5B．（2﹣3）2×5C．（1﹣22）×5D．1﹣（2×3）2
【分析】各式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式＝﹣8×5＝﹣40＜0，不符合題意；
B、原式＝（﹣1）2×5＝1×5＝5＞0，符合題意；
C、原式＝（1﹣4）×5＝（﹣3）×5＝﹣15＜0，不符合題意；
D、原式＝1﹣62＝1﹣36＝﹣35＜0，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正數(shù)與負(fù)數(shù)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
5．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（﹣4）×÷×2＝﹣2÷（﹣1）＝2
B．﹣32+（7﹣10）2﹣4×（﹣2）2＝9+9﹣16＝2
C．（﹣6.25）×（﹣4）﹣120÷（﹣15）＝25﹣8＝17
D．0﹣（﹣3）2÷3×（﹣2）3＝0﹣9÷3×（﹣2）3＝0﹣3×（﹣8）＝24
【分析】利用有理數(shù)的相應(yīng)的運(yùn)算法則，對各項(xiàng)的式子進(jìn)行運(yùn)算即可得出結(jié)果．
【解答】解：A、（﹣4）×÷×2
＝﹣2×2×2
＝﹣8，
故A不符合題意；
B、﹣32+（7﹣10）2﹣4×（﹣2）2
＝﹣9+9﹣16
＝﹣16，
故B不符合題意；
C、（﹣6.25）×（﹣4）﹣120÷（﹣15）
＝25+8
＝33，
故C不符合題意；
D、0﹣（﹣3）2÷3×（﹣2）3
＝0﹣9÷3×（﹣2）3
＝0﹣3×（﹣8）
＝24，
故D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對運(yùn)算法則的掌握．
6．（3分）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值是20時(shí)，根據(jù)程序計(jì)算，第一次輸出的結(jié)果為10，第二次輸出的結(jié)果為5……這樣下去第2020次輸出的結(jié)果為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．﹣8D．﹣4
【分析】先根據(jù)程序框圖計(jì)算出前9個(gè)數(shù)，從而得出這列數(shù)除前2個(gè)數(shù)外，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，據(jù)此求解可得．
【解答】解：由題意知，第1次輸出的結(jié)果為10，
第2次輸出的結(jié)果為5，
第3次輸出的結(jié)果為﹣2，
第4次輸出的結(jié)果為﹣1，
第5次輸出的結(jié)果為﹣8，
第6次輸出的結(jié)果為﹣4，
第7次輸出的結(jié)果為﹣2，
第8次輸出的結(jié)果為﹣1，
第9次輸出的結(jié)果為﹣8，
……
這列數(shù)除前2個(gè)數(shù)外，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，
∵（2020﹣2）÷4＝504……2，
∴第2020次計(jì)算輸出的結(jié)果是﹣1，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)程序框圖計(jì)算出前9個(gè)數(shù)，從而得出這列數(shù)除前2個(gè)數(shù)外，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)周期的規(guī)律．
7．（3分）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①兩個(gè)有理數(shù)相加，和一定大于每一個(gè)加數(shù)；②兩個(gè)正數(shù)相加，和為正數(shù)；③正數(shù)加負(fù)數(shù)，其和一定等于0；④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相減得0；⑤減去一個(gè)負(fù)數(shù)，差一定大于被減數(shù)．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】利用加減法法則，對每個(gè)選擇支進(jìn)行判斷，得到正確的結(jié)論．
【解答】解：兩個(gè)有理數(shù)相加，和不一定大于每一個(gè)加數(shù)，故①不正確；
兩個(gè)正數(shù)相加，和一定是正數(shù)，故②正確；
正數(shù)加負(fù)數(shù)和可能是正數(shù)也可能是負(fù)數(shù)，若兩數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，其和為0，故③不正確；
互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相減不一定為0，只有特殊的0符合條件，故④不正確；
由于減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)，所以其差一定大于被減數(shù)，故⑤正確．
綜上正確的有②⑤共2個(gè)
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加法和減法及相反數(shù)的定義．掌握有理數(shù)的加減法法則是解決本題的關(guān)鍵．
8．（3分）“△”表示一種運(yùn)算符號，其意義是：a△b＝2a﹣b，那么（﹣5）△（1△3）的值等于（ ）
A．﹣9B．﹣11C．﹣15D．﹣12
【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算，代入相應(yīng)的值計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得：
（﹣5）△（1△3）
＝（﹣5）△（2×1﹣3）
＝（﹣5）△（﹣1）
＝2×（﹣5）﹣（﹣1）
＝﹣10+1
＝﹣9．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C分別表示數(shù)a，b，c，有下列結(jié)論：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜＜0，則其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【分析】根據(jù)數(shù)軸，可得b＜0＜a＜c，|a|＜|b|，據(jù)此逐項(xiàng)判定即可．
【解答】解：①∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
∴①錯(cuò)誤；
②∵b＜0＜a＜c，
∴abc＜0，
∴②正確；
③∵b＜0＜a＜c，
∴a﹣c＜0，
∴③正確；
④∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴﹣1＜＜0，
∴④正確．
∴正確的有②③④．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸．解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸的特征和運(yùn)用，以及有理數(shù)的運(yùn)算．
10．（3分）在數(shù)軸上表示有理數(shù)a，b，c，d如圖所示，則正確的結(jié)論是（ ）
A．a(chǎn)+b＞c+dB．a(chǎn)b＜cd
C．（a+3）（b+1）＞0D．（a﹣d）（c﹣b）＞0
【分析】由數(shù)值上的各個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，可以得出a、b、c、d的符號和取值范圍，進(jìn)而逐個(gè)分析判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確與否．
【解答】解：由數(shù)軸上表示有理數(shù)a，b，c，d可得，
﹣4＜a＜﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，1＜d＜2，
∴a+b＜0，c+d＞0，因此A選項(xiàng)不正確，
ab＞cd因此選項(xiàng)B不正確，
（a+3）＜0，（b+1）＜0，
∴（a+3）（b+1）＞0，因此C選項(xiàng)正確，
∵（a﹣d）＜0，（c﹣b）＞0，
∴（a﹣d）（c﹣b）＜0，因此D選項(xiàng)不正確，
故選：C．
【點(diǎn)評】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，理解數(shù)的符號和絕對值是正確判斷的前提，掌握有理數(shù)的加減法的法則是關(guān)鍵．
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
11．（3分）比較大?。憨?＜ ﹣．
【分析】根據(jù)負(fù)有理數(shù)比較大小的方法比較（絕對值大的反而?。?br>【解答】解：根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小的規(guī)律得出：﹣＜﹣．
【點(diǎn)評】同號有理數(shù)比較大小的方法（正有理數(shù)）：絕對值大的數(shù)大．
（1）作差，差大于0，前者大，差小于0，后者大；
（2）作商，商大于1，前者大，商小于1，后者大．
如果都是負(fù)有理數(shù)的話，結(jié)果剛好相反，且絕對值大的反而?。?br>如過是異號的話，就只要判斷哪個(gè)是正哪個(gè)是負(fù)就行，都是字母的話，就要分情況討論；如果是代數(shù)式的話要先求出各個(gè)式的值，再比較．
12．（3分）若|﹣a|＝1，則a＝ ．
【分析】根據(jù)絕對值意義即可求解．
【解答】∵|﹣a|＝1，
∴a＝±，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了絕對值意義，熟練掌握絕對值是解決問題的關(guān)鍵．
13．（3分）比﹣4大而比5小的所有整數(shù)的和為 4 ．
【分析】根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法可得到比﹣4大而比5小的整數(shù)有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4；再相加即可求解．
【解答】解：大于﹣3而小于4的整數(shù)有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加法以及有理數(shù)的大小比較：負(fù)數(shù)小于0和正數(shù)，0小于正數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。?br>14．（3分）當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，設(shè)+＝m，則m＝ 0或﹣2或2 ．
【分析】根據(jù)題意，利用絕對值的代數(shù)意義計(jì)算即可．
【解答】解：∵a≠0，b≠0，且+＝m，
當(dāng)a與b異號，即ab＜0，
∴m＝0，
當(dāng)a與b同號，
當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，m＝2；
當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，m＝﹣2．
故答案為：0或﹣2或2．
【點(diǎn)評】此題考查了對值，分類討論是解本題的關(guān)鍵．
15．（3分）﹣2的相反數(shù)是 2 ．
【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反數(shù)是：﹣（﹣2）＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號，一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．不要把相反數(shù)的意義與倒數(shù)的意義混淆．
16．（3分）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離為3，則點(diǎn)B表示的數(shù)是 ﹣5或1 ．
【分析】在數(shù)軸上表示出點(diǎn)A的位置，在數(shù)軸上找到點(diǎn)A的距離為3的點(diǎn)，即是滿足條件的點(diǎn)．
【解答】解：
根據(jù)數(shù)軸可以得到：點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣5或1．
【點(diǎn)評】此題綜合考查了數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容，把一個(gè)點(diǎn)向右移動(dòng)即是加上一個(gè)數(shù)，表示﹣2的點(diǎn)向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，即可得到﹣2+3＝1，向左移動(dòng)移動(dòng)3個(gè)單位長度，即可得到：﹣2﹣3＝﹣5．
17．（3分）如圖所示是計(jì)算機(jī)某計(jì)算程序，若開始輸入x＝﹣2，則最后輸出的結(jié)果是 ﹣10 ．
【分析】把﹣2按照如圖中的程序計(jì)算后，若＜﹣5則結(jié)束，若不是則把此時(shí)的結(jié)果再進(jìn)行計(jì)算，直到結(jié)果＜﹣5為止．
【解答】解：根據(jù)題意可知，（﹣2）×3﹣（﹣2）＝﹣6+2＝﹣4＞﹣5，
所以再把﹣4代入計(jì)算：（﹣4）×3﹣（﹣2）＝﹣12+2＝﹣10＜﹣5，
即﹣10為最后結(jié)果．
故本題答案為：﹣10．
【點(diǎn)評】此題是定義新運(yùn)算題型．直接把對應(yīng)的數(shù)字代入所給的式子可求出所要的結(jié)果．解題關(guān)鍵是對號入座不要找錯(cuò)對應(yīng)關(guān)系．
18．（3分）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是﹣16、9，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對折，若點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)A′落在點(diǎn)B的右邊，并且A′B＝3，則C點(diǎn)表示的數(shù)是 ﹣2 ．
【分析】設(shè)出點(diǎn)C所表示的數(shù)，根據(jù)點(diǎn)A、B所表示的數(shù)，可以表示出AC的距離，在根據(jù)A′B＝3，表示出A′C，由折疊得，AC＝A′C，列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為x，則AC＝x+16，BC＝9﹣x，
∵A′B＝3，B點(diǎn)表示的數(shù)為9，
∴點(diǎn)A′表示的數(shù)為9+3＝12，
根據(jù)折疊得，AC＝A′C
∴x+16＝12﹣x，
解得，x＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)評】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式是解決問題的關(guān)鍵，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)為a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離為AB＝|a﹣b|．
三．解答題（共6小題，滿分46分）
19．（10分）計(jì)算：
（1）（﹣﹣+﹣）×（﹣15×4）；
（2）；
（3）（﹣18）÷2×÷（﹣16）；
（4）；
（5）．
【分析】（1）先算小括號里面的乘法，然后利用乘法分配律使得計(jì)算簡便；
（2）使用乘法分配律使得計(jì)算簡便；
（3）從左往右依次計(jì)算；
（4）先算小括號里面的，然后算乘除，最后算加減；
（5）先算小括號里面的，然后算乘方，乘除，最后算加減．
【解答】解：（1）原式＝（﹣）×（﹣60）
＝
＝10+9﹣48+35
＝6；
（2）原式＝﹣120×
＝﹣700+765﹣176
＝﹣111；
（3）原式＝18×
＝；
（4）原式＝
＝﹣2+（1﹣）×（﹣3）
＝﹣2﹣
＝﹣2﹣2
＝﹣4；
（5）原式＝﹣
＝﹣+﹣+
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序和計(jì)算法則以及理解乘方分配律（a+b）c＝ac+bc使得計(jì)算簡便是解題關(guān)鍵．
20．（4分）a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，求的值．
【分析】兩數(shù)互為相反數(shù)，和為0；兩數(shù)互為倒數(shù)，積為1．由此可得a+b＝0，cd＝1，代入代數(shù)式求值即可．
【解答】解：∵a，b互為相反數(shù)，
∴a+b＝0；
∵c，d互為倒數(shù)，
∴cd＝1．
∴＝＝﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查的是相反數(shù)和倒數(shù)的概念，兩數(shù)互為相反數(shù)，則它們的和為0；兩數(shù)互為倒數(shù)，它們的積為1．注意代數(shù)式求值的整體代入思想．
21．（6分）小王上周五在股市以收盤價(jià)（收市時(shí)的價(jià)格）每股25元買進(jìn)某公司股票1000股，在接下來的一周交易日內(nèi)，小王記下該股票每日收盤價(jià)格相比前一天的漲跌情況：（單位：元）
根據(jù)上表回答問題：
（1）星期二收盤時(shí)，該股票每股多少元？
（2）本周內(nèi)該股票收盤時(shí)的最高價(jià)，最低價(jià)分別是多少？
（3）已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的交易費(fèi)．若小王在本周五以收盤價(jià)將全部股票賣出，他的收益情況如何？
【分析】（1）由題意可知：星期一比上周的星期五漲了2元，星期二比星期一跌了0.5元，則星期二收盤價(jià)表示為25+2﹣0.5，然后計(jì)算；
（2）星期一的股價(jià)為25+2＝27；星期二為27﹣0.5＝26.5；星期三為26.5+1.5＝28；星期四為28﹣1.8＝26.2；星期五為26.2+0.8＝27；則星期三的收盤價(jià)為最高價(jià)，星期四的收盤價(jià)為最低價(jià)；
（3）計(jì)算上周五以25元買進(jìn)時(shí)的價(jià)錢，再計(jì)算本周五賣出時(shí)的價(jià)錢，用賣出時(shí)的價(jià)錢﹣買進(jìn)時(shí)的價(jià)錢即為小王的收益．
【解答】解：（1）星期二收盤價(jià)為25+2﹣0.5＝26.5（元/股）．
（2）收盤最高價(jià)為25+2﹣0.5+1.5＝28（元/股），收盤最低價(jià)為25+2﹣0.5+1.5﹣1.8＝26.2（元/股）．
（3）小王的收益為：27×1000（1﹣5‰）﹣25×1000（1+5‰）＝27000﹣135﹣25000﹣125＝1740（元）．
∴小王的本次收益為1740元．
【點(diǎn)評】本題考查的是有理數(shù)在解決實(shí)際生活問題的應(yīng)用和有理數(shù)的混合運(yùn)算能力．在運(yùn)算時(shí)一定要細(xì)心，認(rèn)真．
22．（8分）一只螞蟻從原點(diǎn)0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣9，+12，﹣10．
回答下列問題：
（1）螞蟻?zhàn)詈笫欠窕氐匠霭l(fā)點(diǎn)0；
（2）在爬行過程中，如果每爬一個(gè)單位長度獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻．
【分析】數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律是“左減右加；求走過的總路程需要算它們的絕對值的和．
【解答】解：（1）否，0+5﹣3+10﹣8﹣9+12﹣10＝﹣3，故沒有回到0；
（2）（|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣9|+|+12|+|﹣10|）×2＝114粒．
【點(diǎn)評】主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律是“左減右加”．把數(shù)和點(diǎn)對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
23．（8分）閱讀下列解題過程：
計(jì)算1+3+32+33+34+…+39+310的值．
解：設(shè)S＝1+3+32+33+34+…+39+310①，
則3S＝3×（1+3+32+33+…+39+310）
3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310
3S＝3+32+33+34+…+310+311②，
②﹣①得：
3S﹣S＝（3+32+33+34+…+39+310+311）﹣（1+3+32+33+34+…+39+310）
2S＝311﹣1，S＝，即1+3+32+33+34+…+39+310＝
通過閱讀，你一定學(xué)到了一種解決問題的方法．
請用你學(xué)到的方法計(jì)算：1+5+52+53+54+…+524+525．
【分析】根據(jù)題目信息，設(shè)S＝1+5+52+53+54+…+524+525，然后乘5再相減計(jì)算即可得解．
【解答】解：設(shè)S＝1+5+52+53+54+…+524+525，①
則5S＝5×1+5×5+5×52+5×53+5×54+…+5×524+5×525，
5S＝5+52+53+54+…+524+525+526，②
②﹣①得，5S﹣S＝（5+52+53+54+…+524+525+526）﹣（1+5+52+53+54+…+524+525），
4S＝526﹣1，
S＝，
即1+5+52+53+54+…+524+525＝．
【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的乘方，閱讀材料，理解并掌握求和的方法是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖（1），當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖（2），點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如圖（3），點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（a）＝|a﹣b|；③如圖（4），點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的兩邊，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a﹣b|．
回答下列問題：
（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 3 ；
（2）數(shù)軸上表示﹣1和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是 4 ；
（3）數(shù)軸上表示1和﹣4的兩點(diǎn)之間的距離是 5 ；
（4）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A之和B之間的距離是 |x+1| ，如果|AB|＝2，那么x的值是 ﹣3或1 ．
【分析】根據(jù)題意可知兩點(diǎn)之間的距離等于這兩個(gè)點(diǎn)表示數(shù)的差的絕對值．
【解答】解：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離＝|5﹣2|＝3；
（2）數(shù)軸上表示﹣1和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離＝|﹣5﹣（﹣1）|＝|﹣5+1|＝4；
（3）數(shù)軸上表示1和﹣4的兩點(diǎn)之間的距離＝|﹣4﹣1|＝|﹣5|＝5；
（4）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A之和B之間的距離＝|x+1|，
因?yàn)樵跀?shù)軸上到表示﹣1的點(diǎn)的距離為2的數(shù)有兩個(gè)它們是﹣3和1，所以x的值為﹣3或1．
故答案為：（1）3；（2）4；（3）5；（4）|x+1|；﹣3或1．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是絕對值的應(yīng)用和數(shù)軸的認(rèn)識，讀懂題意，掌握兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)
求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可
求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)
求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一
求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置
星期
一
二
三
四
五
每股漲跌（元）
+2
﹣0.5
+1.5
﹣1.8
+0.8

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