探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；
【基礎(chǔ)知識】
1．全等圖形
（1）全等形的概念
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．
（2）全等三角形
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符號
“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)位置上．
（4）對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角
把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角．
2．全等三角形的性質(zhì)
（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等
性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等
說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等
②全等三角形的周長相等，面積相等
③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等
（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意
①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．
②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．
3．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．
4．直角三角形全等的判定
1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．
5．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
6．全等三角形的應(yīng)用
（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用
用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．
（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形
常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．
（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用
一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．
【考點(diǎn)剖析】
一．全等圖形（共1小題）
1．（真題?太康縣期末）下列說法中正確的是
A．兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形
B．兩個等邊三角形是全等圖形
C．兩個全等圖形的面積一定相等
D．若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形
二．全等三角形的性質(zhì)（共2小題）
2．（真題?儀征市期末）若，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出的值為
A．30B．27C．35D．40
3．（2019秋?孝義市期末）已知：如圖，，、分別是、的對應(yīng)邊上的高．求證：．
三．全等三角形的判定（共1小題）
4．（真題?新吳區(qū)期末）如圖的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形，則在此網(wǎng)格中與全等的格點(diǎn)三角形（不含共有
A．5個B．6個C．7個D．8個
四．直角三角形全等的判定（共1小題）
5．（真題?如皋市期中）如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是
A．B．C．D．
五．全等三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）
6．（真題?如皋市期末）如圖，是上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在兩側(cè)，，且，．
（1）求證；
（2）連接，若，，求的長．
7．（2022?宿城區(qū)校級開學(xué)）如圖，、相交于點(diǎn)，，．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
8．（真題?丹陽市期末）在中，，，邊、上的高、交點(diǎn)．若，則的長為
A．1B．C．D．
9．（真題?沭陽縣校級期末）如圖，已知，．求證：．
六．全等三角形的應(yīng)用（共1小題）
10．（真題?邗江區(qū)期末）如圖，小虎用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板，點(diǎn)在上，點(diǎn)和分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為 ．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2004?濰坊）如圖，已知的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和全等的圖形是
A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．乙
2．（3分）（真題?封開縣期末）已知△，，，那么的度數(shù)為
A．B．C．D．
3．（3分）（2011春?滕州市期末）如圖，，．下列條件中，能使的是
A．B．C．D．
4．（3分）（2013?賀州）如圖，在中，，，是高和的交點(diǎn)，則的長是
A．B．C．D．
5．（3分）（2014秋?南陵縣校級期末）如圖，，，欲證，可補(bǔ)充條件
A．B．C．D．
6．（3分）（真題?撫順縣期末）下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是
A．B．
C．D．
7．（3分）（2021?柳南區(qū)校級模擬）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的：
已知：．
求作：，使．
作法：（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；
（2）畫一條射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)；
（3）以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)；
（4）過點(diǎn)畫射線，則．
小聰作法正確的理由是
A．由可得△，進(jìn)而可證
B．由可得△，進(jìn)而可證
C．由可得△，進(jìn)而可證
D．由“等邊對等角”可得
8．（3分）如圖所示，在等腰中，，，直線過點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為、，若，，則的長為
A．5B．6C．7D．8
9．（3分）（真題?福田區(qū)期末）已知，如圖，為線段上一動點(diǎn)（不與，重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，，以下四個結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④平分．其中正確的結(jié)論是
A．①、②B．③、④C．①、②、③D．①、②、④
10．（3分）如圖，在的兩邊上截取，．連接，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
11．（3分）（2019春?工業(yè)園區(qū)期末）連接正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，得到如圖所示的圖形，則
．
12．（3分）（2019秋?東臺市月考）如圖①，已知的六個元素，則圖②中甲、乙、丙三個三角形中與圖①中全等的圖形是 ．
13．（3分）（真題?梅里斯區(qū)期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第 塊．
14．（3分）如圖，和中，，，在下列條件中：①，②，③，選擇添加一個條件，使的是 ．
15．（3分）（2009?河北）如圖，等邊的邊長為，、分別是、上的點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且點(diǎn)在外部，則陰影部分圖形的周長為 ．
16．（3分）（2019秋?海州區(qū)期中）如圖，，的延長線經(jīng)過點(diǎn)，交于，，，，則 ．
17．（3分）（2019春?海淀區(qū)校級期末）如圖，已知，增加下列條件：①；②；③；④；能判定的是 ．（填序號）
18．（3分）（2019秋?辛集市期末）如圖，，．，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，若使得與全等，則的值為 ．
三．解答題（共7小題，滿分46分）
19．（6分）（2019秋?裕安區(qū)期末）如圖，，，，求的長．
20．（6分）（真題?鄞州區(qū)期末）如圖，中，是延長線上一點(diǎn)，滿足，過點(diǎn)作且，連接并延長，分別交、于點(diǎn)、．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
21．（6分）（2018秋?無錫期末）如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，且，，，相交于點(diǎn)，且，求證：
（1）；
（2）．
22．（6分）（真題?饒平縣校級期末）如圖，在中，，是過點(diǎn)的直線，于，于點(diǎn)；
（1）若、在的同側(cè)（如圖所示）且．求證：；
（2）若、在的兩側(cè)（如圖所示），且，其他條件不變，與仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．
23．（6分）（真題?龍口市期末）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，作，交邊于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時， ， ．
（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，，請說明理由；
（3）在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．
24．（8分）（真題?增城區(qū)期中）如圖，，，，、交于點(diǎn)，連．
（1）求證：；
（2）求證：平分；
（3）求的度數(shù)．（用含的式子表示）
25．（8分）（2020?黃州區(qū)校級模擬）如圖，，，，，垂足為．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）求證：．
第14講全等三角形全章復(fù)習(xí)與測試
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；
【基礎(chǔ)知識】
1．全等圖形
（1）全等形的概念
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．
（2）全等三角形
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符號
“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)位置上．
（4）對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角
把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角．
2．全等三角形的性質(zhì)
（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等
性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等
說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等
②全等三角形的周長相等，面積相等
③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等
（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意
①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．
②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．
3．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．
4．直角三角形全等的判定
1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．
5．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
6．全等三角形的應(yīng)用
（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用
用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．
（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形
常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．
（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用
一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．
【考點(diǎn)剖析】
一．全等圖形（共1小題）
1．（真題?太康縣期末）下列說法中正確的是
A．兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形
B．兩個等邊三角形是全等圖形
C．兩個全等圖形的面積一定相等
D．若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形
【分析】依據(jù)全等圖形的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：全等的兩個圖形的面積、周長均相等，但是周長、面積相等的兩個圖形不一定全等．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是全等圖形的性質(zhì)，掌握全等圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二．全等三角形的性質(zhì)（共2小題）
2．（真題?儀征市期末）若，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出的值為
A．30B．27C．35D．40
【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等進(jìn)而得出答案．
【解答】解：，
，
故選：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．
3．（2019秋?孝義市期末）已知：如圖，，、分別是、的對應(yīng)邊上的高．求證：．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，利用證明與全等，進(jìn)而證明即可．
【解答】方法一：
證明：，
，，
，分別是，的對應(yīng)邊上的高，
即，，
，
在和中，
，
．
方法二：
，
，
、分別是、的對應(yīng)邊上的高，
，
．
【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，．
三．全等三角形的判定（共1小題）
4．（真題?新吳區(qū)期末）如圖的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形，則在此網(wǎng)格中與全等的格點(diǎn)三角形（不含共有
A．5個B．6個C．7個D．8個
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理畫出符合的三角形，再得出選項(xiàng)即可．
【解答】解：如圖所示：與全等的三角形有、、、、、、，共7個，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有等．
四．直角三角形全等的判定（共1小題）
5．（真題?如皋市期中）如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解決此題．
【解答】解：由圖得：遮擋住的三角形中露出兩個角及其夾邊．
根據(jù)三角形的判定方法可解決此題．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．
五．全等三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）
6．（真題?如皋市期末）如圖，是上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在兩側(cè)，，且，．
（1）求證；
（2）連接，若，，求的長．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明，即可得出；
（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）證明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
是等邊三角形，
．
【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
7．（2022?宿城區(qū)校級開學(xué)）如圖，、相交于點(diǎn)，，．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
【分析】（1）由可知和都是直角三角形，因?yàn)椋?，所以根?jù)“”可以判定；
（2）先根據(jù)“直角三角形的兩個銳角互余”求出的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等求出的度數(shù)，則由即可求出的度數(shù)．
【解答】（1）證明：如圖，，
在和中，
，
，
即；
（2）解：，，
，
，
，
的度數(shù)為．
【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識，根據(jù)“有斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”證明是解題的關(guān)鍵．
8．（真題?丹陽市期末）在中，，，邊、上的高、交點(diǎn)．若，則的長為
A．1B．C．D．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】解：，，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解此題的關(guān)鍵是推出，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對應(yīng)邊相等．
9．（真題?沭陽縣校級期末）如圖，已知，．求證：．
【分析】已知兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等，由即可判定兩三角形全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答．
【解答】證明：在與中，
，
，
．
【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定方法．證明全等尋找條件時，要善于觀察題目中的公共角，公共邊．
六．全等三角形的應(yīng)用（共1小題）
10．（真題?邗江區(qū)期末）如圖，小虎用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板，點(diǎn)在上，點(diǎn)和分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為 30 ．
【分析】根據(jù)題意可得，，，，進(jìn)而得到，再根據(jù)等角的余角相等可得，再證明即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．
【解答】解：由題意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由題意得：，，
，
答：兩堵木墻之間的距離為．
故答案為：30．
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2004?濰坊）如圖，已知的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和全等的圖形是
A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．乙
【分析】甲不符合三角形全等的判斷方法，乙可運(yùn)用判定全等，丙可運(yùn)用證明兩個三角形全等．
【解答】解：由圖形可知，甲有一邊一角，不能判斷兩三角形全等，
乙有兩邊及其夾角，能判斷兩三角形全等，
丙得出兩角及其一角對邊，能判斷兩三角形全等，
根據(jù)全等三角形的判定得，乙丙正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
2．（3分）（真題?封開縣期末）已知△，，，那么的度數(shù)為
A．B．C．D．
【分析】在中由三角形內(nèi)角和定理可求得，再由全等三角形的性質(zhì)可知，可求得答案．
【解答】解：
在中，，，
，
△，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）（2011春?滕州市期末）如圖，，．下列條件中，能使的是
A．B．C．D．
【分析】和中，已知了兩組對應(yīng)角相等，如果使兩三角形全等，必須再有一組對應(yīng)邊相等．可據(jù)此進(jìn)行判斷．
【解答】解：選項(xiàng)，要使兩三角形全等，就必須有邊的參與，因此選項(xiàng)是錯誤的；
選項(xiàng)，雖然，有相等邊的參與，但不是對應(yīng)相等，因此選項(xiàng)是錯誤的；
選項(xiàng)同，也是錯誤的；
選項(xiàng)，由，得，又，，即可根據(jù)，判定．
故選：．
【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，無法證明三角形全等．
4．（3分）（2013?賀州）如圖，在中，，，是高和的交點(diǎn)，則的長是
A．B．C．D．
【分析】求出，，證，推出，代入求出即可．
【解答】解：是高和的交點(diǎn)，
，
，，
，
，
，，
，
，
在和中
，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出．
5．（3分）（2014秋?南陵縣校級期末）如圖，，，欲證，可補(bǔ)充條件
A．B．C．D．
【分析】，，欲證，只需找到兩邊的夾角即可．
【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
6．（3分）（真題?撫順縣期末）下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是
A．B．
C．D．
【分析】利用全等圖形的概念可得答案．
【解答】解：、兩個圖形不能完全重合，故本選項(xiàng)錯誤；
、兩個圖形能夠完全重合，故本選項(xiàng)正確；
、兩個圖形不能完全重合，故本選項(xiàng)錯誤；
、兩個圖形不能完全重合，故本選項(xiàng)錯誤；
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題．
7．（3分）（2021?柳南區(qū)校級模擬）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的：
已知：．
求作：，使．
作法：（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；
（2）畫一條射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)；
（3）以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)；
（4）過點(diǎn)畫射線，則．
小聰作法正確的理由是
A．由可得△，進(jìn)而可證
B．由可得△，進(jìn)而可證
C．由可得△，進(jìn)而可證
D．由“等邊對等角”可得
【分析】先利用作法得到，，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：由作圖得，，
則根據(jù)“”可判斷△．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖基本作圖：基本作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了全等三角形的判定．
8．（3分）如圖所示，在等腰中，，，直線過點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為、，若，，則的長為
A．5B．6C．7D．8
【分析】由“”可證，可得．
【解答】解：直線過點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作直線的垂線，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）（真題?福田區(qū)期末）已知，如圖，為線段上一動點(diǎn)（不與，重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，，以下四個結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④平分．其中正確的結(jié)論是
A．①、②B．③、④C．①、②、③D．①、②、④
【分析】先由判定，證得①正確；再由證，得到，②正確，同理證得，得到④正確；易得③不正確．
【解答】解：和均是等邊三角形，
，，，
，，
，
，
，故①正確；
，
，，
，
，
又，
是等邊三角形，故②正確；
過作于，于，
，
，
，，
，
，
，，
平分，故④正確；
當(dāng)時，平分，
則，此時，
則，故③不正確；
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
10．（3分）如圖，在的兩邊上截取，．連接，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
【分析】根據(jù)題目中的條件，可以證明題目中的各個小題中的三角形是否全等，從而可以解答本題．
【解答】解：在和中，
，
，故①正確；
，
，，
，
在和中，
，
，故②正確；
，
在和中，
，
，故③正確；
，
，
在和中，
，
，故④正確；
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
11．（3分）（2019春?工業(yè)園區(qū)期末）連接正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，得到如圖所示的圖形，則 180 ．
【分析】直接利用網(wǎng)格結(jié)合全等三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：由網(wǎng)格可得：，
則，
，，
是直角三角形，
故，
，
，
．
故答案為：180．
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等圖形，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12．（3分）（2019秋?東臺市月考）如圖①，已知的六個元素，則圖②中甲、乙、丙三個三角形中與圖①中全等的圖形是 丙 ．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，，，逐個判斷即可．
【解答】解：已知圖①的中，，，，，，，
圖②中，甲：只有一個角和相等，沒有其它條件，不符合三角形全等的判定定理，即和不全等；
乙：只有一個角和相等，還有一條邊，沒有其它條件，不符合三角形全等的判定定理，即和不全等；
丙：符合定理，能推出兩三角形全等；
故答案為：丙．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
13．（3分）（真題?梅里斯區(qū)期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第 2 塊．
【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證．
【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)ィ?br>只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．
14．（3分）如圖，和中，，，在下列條件中：①，②，③，選擇添加一個條件，使的是 ② ．
【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以判斷哪個小題中條件符合題意，本題得以解決．
【解答】解：在，和中，，，
添加，則不能判斷，故①不符合題意；
添加，則，故②符合題意；
添加，則不能判斷，故③不符合題意；
故答案為：②．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．
15．（3分）（2009?河北）如圖，等邊的邊長為，、分別是、上的點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且點(diǎn)在外部，則陰影部分圖形的周長為 3 ．
【分析】由題意得，，故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為三角形的周長．
【解答】解：將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，
所以，．
則陰影部分圖形的周長等于，
，
，
．
故答案為：3．
【點(diǎn)評】折疊問題的實(shí)質(zhì)是“軸對稱”，解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對稱變換所得的等量關(guān)系．
16．（3分）（2019秋?海州區(qū)期中）如圖，，的延長線經(jīng)過點(diǎn)，交于，，，，則 60 ．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，代入，即可求出答案．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
，
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對角角相等．
17．（3分）（2019春?海淀區(qū)校級期末）如圖，已知，增加下列條件：①；②；③；④；能判定的是 ①③④ ．（填序號）
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法一一判斷即可．
【解答】解：因?yàn)?，?br>①，根據(jù)可以判定．
②，無法判斷．
③，根據(jù)可以判定．
④，根據(jù)可以判定．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
18．（3分）（2019秋?辛集市期末）如圖，，．，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，若使得與全等，則的值為 2或 ．
【分析】分兩種情形分別求解即可．
【解答】解：當(dāng)，
，
運(yùn)動時間相同，
，的運(yùn)動速度也相同，
．
當(dāng)時，
，，
，
故答案為2或．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，路程、速度、時間之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
三．解答題（共7小題，滿分46分）
19．（6分）（2019秋?裕安區(qū)期末）如圖，，，，求的長．
【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：，，，
，，
．
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊的值是解題關(guān)鍵．
20．（6分）（真題?鄞州區(qū)期末）如圖，中，是延長線上一點(diǎn)，滿足，過點(diǎn)作且，連接并延長，分別交、于點(diǎn)、．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)可得，由定理可得結(jié)論；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)定理可得，，由平行線的性質(zhì)定理易得，由三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)可得結(jié)果．
【解答】（1）證明：，
，
在與中，
，
；
（2）解：，，，
，，
，
，
，
．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定定理及性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)定理，外角的性質(zhì)等，熟記定理是解答此題的關(guān)鍵．
21．（6分）（2018秋?無錫期末）如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，且，，，相交于點(diǎn)，且，求證：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定解答即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】證明：（1），
，
即，
，
，
在與中
，
；
（2），
，
，
，
即．
【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是解答的關(guān)鍵．
22．（6分）（真題?饒平縣校級期末）如圖，在中，，是過點(diǎn)的直線，于，于點(diǎn)；
（1）若、在的同側(cè)（如圖所示）且．求證：；
（2）若、在的兩側(cè)（如圖所示），且，其他條件不變，與仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．
【分析】（1）由已知條件，證明，再利用角與角之間的關(guān)系求證，即可證明；
（2）同（1），先證，再利用角與角之間的關(guān)系求證，即可證明．
【解答】（1）證明：，，
，
在和中，
，
．
，．
，，
．
．
．
（2）．理由如下：
同（1）一樣可證得．
，，
，
，即，
．
【點(diǎn)評】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應(yīng)用．
23．（6分）（真題?龍口市期末）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，作，交邊于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時， 30 ， ．
（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，，請說明理由；
（3）在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1），，
，
，
，
故答案為：30，100；
（2）當(dāng)時，，理由如下：
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
；
（3）可以，理由如下：
，，
，
分三種情況討論：
①當(dāng)時，，
，，
，
，
，
②當(dāng)時，
，
又，
，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意．
③當(dāng)時，，
，
，
，
綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時，是等腰三角形．
【點(diǎn)評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)，平角的意義，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
24．（8分）（真題?增城區(qū)期中）如圖，，，，、交于點(diǎn)，連．
（1）求證：；
（2）求證：平分；
（3）求的度數(shù)．（用含的式子表示）
【分析】（1）由，，，利用，即可判定：；
（2）首先作于，于，由，可證，再證，（或證，可得，即可證得平分；
（3）由，可得，繼而求得，則可求得的度數(shù)．
【解答】（1）證明：，
，
在和中，
，
；
（2）證明：過點(diǎn)作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，
平分；
（3），
，
，
，
．
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
25．（8分）（2020?黃州區(qū)校級模擬）如圖，，，，，垂足為．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）求證：．
【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出的條件；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到的度數(shù)；
（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立．
【解答】證明：（1），
，，
，
在和中，
，
；
（2），，
，
由（1）知，
，
，
，
，
；
（3）延長到，使得，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

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