一．一元一次方程的定義
（1）一元一次方程的定義
只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b＝0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．
（2）一元一次方程定義的應(yīng)用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）
這類(lèi)題目要嚴(yán)格按照定義中的幾個(gè)關(guān)鍵詞去分析，考慮問(wèn)題需準(zhǔn)確，全面．求方程中字母系數(shù)的值一般采用把方程的解代入計(jì)算的方法．
二．二元一次方程組的解
（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．
（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問(wèn)題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．
三．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：
①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
四．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．
五．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
六．解一元二次方程-直接開(kāi)平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方．
七．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
八．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
九．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
十．換元法解一元二次方程
1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．
換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．
2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．
【考點(diǎn)剖析】
一．一元二次方程的定義（共3小題）
1．（2022春?泰興市校級(jí)月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x
C．5x2﹣4＝0D．a(chǎn)x2+bx+c＝0
2．（真題?宜興市月考）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，則m＝ ．
3．（真題?玉屏縣期中）向陽(yáng)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列問(wèn)題：
（1）是否存在m的值，使方程為一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程為一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
二．一元二次方程的一般形式（共4小題）
4．（真題?南京期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常數(shù)項(xiàng)是﹣1，一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
5．（真題?海州區(qū)校級(jí)期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（ ）
A．1、0B．1、3C．1、﹣3D．﹣1、﹣3
6．（真題?黃石期末）將方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化為一般形式是 ．
7．（真題?常州期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項(xiàng)為0．
（1）求m的值；
（2）求此時(shí)一元二次方程的解．
三．一元二次方程的解（共5小題）
8．（真題?金湖縣期末）若a為方程x2+2x﹣4＝0的解，則a2+2a﹣8的值為（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣12
9．（2022?常州模擬）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式a（2a﹣7）+5＝ ．
10．（2022?邗江區(qū)一模）關(guān)于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n為實(shí)數(shù)且m≠0），m恰好是該方程的根，則m+n的值為 ．
11．（2021?南海區(qū)二模）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解x＞0，y＞0．
（1）求a的取值范圍；
（2）若x是一個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)，y是其斜邊長(zhǎng)，此三角形另一條直角邊的長(zhǎng)為方程m2﹣8m+16＝0的解，求這個(gè)直角三角形的面積．
12．（真題?高港區(qū)期中）定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿(mǎn)足a﹣b+c＝0，那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“鳳凰方程”．
（1）判斷一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否為鳳凰方程，說(shuō)明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是關(guān)于x的鳳凰方程，若m是此鳳凰方程的一個(gè)根，求m得值．
四．解一元二次方程-直接開(kāi)平方法（共4小題）
13．（真題?鹽都區(qū)期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解為（ ）
A．x1＝x2＝5B．x1＝5，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣5D．x1＝x2＝25
14．（真題?東臺(tái)市期中）解方程：2x2＝6．
15．（真題?邗江區(qū)校級(jí)月考）求滿(mǎn)足條件的x值：
（1）3（x﹣1）2＝12； （2）x2﹣3＝5．
16．（2018秋?鼓樓區(qū)期末）求4x2﹣25＝0中x的值．
五．解一元二次方程-配方法（共3小題）
17．（真題?香洲區(qū)期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．
18．（2022?碑林區(qū)校級(jí)三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
19．（2019秋?榕城區(qū)期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．
六．解一元二次方程-公式法（共3小題）
20．（2019?合浦縣二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．
21．（2019?鼎城區(qū)模擬）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
22．（2019?常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）
23．（真題?廣陵區(qū)期末）解方程：
（1）x2+5x+4＝0． （2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
24．（真題?泗陽(yáng)縣期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．
八．換元法解一元二次方程（共3小題）
25．（2022春?射陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，則x2+y2的值為（ ）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
26．（真題?山亭區(qū)期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，則a2+b2＝ ．
27．（2020春?開(kāi)江縣期末）基本事實(shí)：“若ab＝0，則a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通過(guò)因式分解化為（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事實(shí)得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解為x＝3或x＝﹣2．
（1）試?yán)蒙鲜龌臼聦?shí)，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共5小題）
1．（2019?懷集縣一模）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一個(gè)根是0，則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．
2．（2019秋?競(jìng)秀區(qū)期末）將方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可變形為（ ）
A．（x+4）2＝7B．（x+4）2＝25C．（x+4）2＝﹣9D．（x+8）2＝7
3．（真題?順德區(qū)月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，則a，b，c的值分別是（ ）
A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10
4．（2019秋?蘇州期末）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（ ）
A．x+2＝3B．x+y＝1C．x2﹣2x﹣3＝0D．x21
5．（2021?吳中區(qū)開(kāi)學(xué)）方程（x+1）2＝1的根為（ ）
A．0或﹣2B．﹣2C．0D．1或﹣1
二．填空題（共3小題）
6．（2018春?商南縣期末）若（x﹣1）2＝4，則x＝ ．
7．（2018春?西城區(qū)期末）將一元二次方程x2+8x+13＝0通過(guò)配方轉(zhuǎn)化成（x+n）2＝p的形式（n，p為常數(shù)），則n＝ ，p＝ ．
8．（2016?江陰市校級(jí)開(kāi)學(xué)）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，則a2+b2＝ ．
三．解答題（共9小題）
9．（真題?沭陽(yáng)縣期末）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0． （2）8（x+1）3＝27．
10．（真題?新北區(qū)校級(jí)期中）用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）（x﹣3）2﹣9＝0； （2）x2+4x﹣1＝0；
（3）x2﹣3x﹣2＝0； （4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
11．（真題?南京期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）100（x﹣1）2＝121．
12．（2022?常州模擬）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0； （2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．
13．（2016秋?鹽都區(qū)期末）
（1）解方程：（x+1）2＝9； （2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
14．（2021?吳中區(qū)開(kāi)學(xué)）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）（x+1）2＝2（x+1）．
15．（2018秋?武進(jìn)區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：
解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：
設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用 法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6＝0．
16．（2018秋?京口區(qū)校級(jí)月考）（閱讀理解題）閱讀材料，解答問(wèn)題：
為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1看作一個(gè)整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，那么原方程可化為y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y1＝1時(shí)，x2﹣1＝1．所以x2＝2．所以x＝±；當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣1＝4．所以x2＝5．所以x＝±，故原方程的解為x1，x2，x3，x4；上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
（1）已知方程x2﹣2x﹣3，若設(shè)x2﹣2x＝a，那么原方程可化為 （結(jié)果化成一般式）
（2）請(qǐng)利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
17．（真題?饒平縣校級(jí)期中）解方程時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)新的未知數(shù)去代替它，從而使方程得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．先閱讀下面的解題過(guò)程，再解出右面的兩個(gè)方程：
例：解方程：．
解：設(shè)（t≥0）
∴原方程化為2t﹣3＝0
∴
而
∴
∴
請(qǐng)利用上面的方法，解出下面兩個(gè)方程：
（1）（2）
蘇科版數(shù)學(xué)暑假新九年級(jí)講義
第01講一元二次方程的定義與解法（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．一元一次方程的定義
（1）一元一次方程的定義
只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b＝0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．
（2）一元一次方程定義的應(yīng)用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）
這類(lèi)題目要嚴(yán)格按照定義中的幾個(gè)關(guān)鍵詞去分析，考慮問(wèn)題需準(zhǔn)確，全面．求方程中字母系數(shù)的值一般采用把方程的解代入計(jì)算的方法．
二．二元一次方程組的解
（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．
（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問(wèn)題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．
三．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：
①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
四．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．
五．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
六．解一元二次方程-直接開(kāi)平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方．
七．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
八．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
九．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
十．換元法解一元二次方程
1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．
換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．
2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．
【考點(diǎn)剖析】
一．一元二次方程的定義（共3小題）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x
C．5x2﹣4＝0D．a(chǎn)x2+bx+c＝0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且最高次項(xiàng)的次數(shù)是2次，并且得是整式方程，即可判斷．
【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
∴A選項(xiàng)不是整式方程，不符合題意；
B選項(xiàng)化簡(jiǎn)，得x﹣1＝0，不含有2次項(xiàng)，
∴B選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)符合題意；
D選項(xiàng)當(dāng)a＝0時(shí)，不含有2次項(xiàng)，
∴D選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程，對(duì)一元二次方程的定義的準(zhǔn)確理解是解決本題的關(guān)鍵．
2．已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，則m＝ ﹣1 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：|m|+1＝2，m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，掌握只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
3．向陽(yáng)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列問(wèn)題：
（1）是否存在m的值，使方程為一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程為一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義可得，可求得m的值，進(jìn)一步可求出方程的解；
（2）當(dāng)m2+1＝1或m+1＝0時(shí)方程為一元一次方程，求出m的值，進(jìn)一步解方程即可．
【解答】解：（1）根據(jù)一元二次方程的定義可得，解得m＝1，此時(shí)方程為2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2；
（2）由題可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0時(shí)方程可能為一元一次方程
當(dāng)m2+1＝1時(shí)，解得m＝0，此時(shí)方程為﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
當(dāng)m+1＝0時(shí)，解得m＝﹣1，此時(shí)方程為﹣3x﹣1＝0，解得x．
當(dāng)m2+1＝0時(shí)，方程無(wú)解．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次和一元一次方程的定義，對(duì)（2）中容易漏掉m2+1＝1的情況．
二．一元二次方程的一般形式（共4小題）
4．一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常數(shù)項(xiàng)是﹣1，一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次項(xiàng)系數(shù)即可．
【解答】解：2x2﹣1＝4x，
移項(xiàng)得：2x2﹣4x﹣1＝0，
即一次項(xiàng)系數(shù)是﹣4，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，多項(xiàng)式的項(xiàng)和單項(xiàng)式的系數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），②找項(xiàng)的系數(shù)帶著前面的符號(hào)．
5．一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（ ）
A．1、0B．1、3C．1、﹣3D．﹣1、﹣3
【分析】根據(jù)方程的特點(diǎn)和二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)的意義找出即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為1，﹣3．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c都是常數(shù)，且a≠0），說(shuō)系數(shù)時(shí)要帶著前面的符號(hào)．
6．將方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化為一般形式是 2x2+x﹣1＝0 ．
【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，最后得出答案即可．
【解答】解：2（x﹣1）2＝3﹣5x，
2x2﹣4x+2＝3﹣5x，
2x2﹣4x+2﹣3+5x＝0，
2x2+x﹣1＝0，
即方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化為一般形式是2x2+x﹣1＝0，
故答案為：2x2+x﹣1＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）．
7．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項(xiàng)為0．
（1）求m的值；
（2）求此時(shí)一元二次方程的解．
【分析】（1）直接利用常數(shù)項(xiàng)為0，進(jìn)而得出關(guān)于m的等式進(jìn)而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由題意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正確解方程是解題關(guān)鍵．
三．一元二次方程的解（共5小題）
8．若a為方程x2+2x﹣4＝0的解，則a2+2a﹣8的值為（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣12
【分析】將x＝a代入方程x2+2x﹣4＝0，求出a2+2a＝4，再代入所求代入式即可．
【解答】解：∵a為方程x2+2x﹣4＝0的解，
∴a2+2a﹣4＝0，
∴a2+2a＝4，
∴a2+2a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
9．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式a（2a﹣7）+5＝ 6 ．
【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到2a2﹣7a＝1，再去括號(hào)得到a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
10．關(guān)于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n為實(shí)數(shù)且m≠0），m恰好是該方程的根，則m+n的值為 5 ．
【分析】把x＝m代人整理后即可求得答案．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n為實(shí)數(shù)且m≠0），m恰好是該方程的根，
∴m2+mn﹣5m＝0，
∴m（m+n）＝5m，
∴m+n＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的解的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是代人后正確的變形，難度不大．
11．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解x＞0，y＞0．
（1）求a的取值范圍；
（2）若x是一個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)，y是其斜邊長(zhǎng)，此三角形另一條直角邊的長(zhǎng)為方程m2﹣8m+16＝0的解，求這個(gè)直角三角形的面積．
【分析】（1）通過(guò)解方程組得到，然后解不等式組即可；
（2）利用勾股定理得到（a+1）2+16＝（3a﹣1）2，解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，從而得到x的值，然后計(jì)算三角形的面積．
【解答】解：（1）解方程組得，
∴，
解得a；
（2）解方程m2﹣8m+16＝0得m1＝m2＝4，
根據(jù)題意得x2+42＝y(tǒng)2，
即（a+1）2+16＝（3a﹣1）2，
整理得a2﹣a﹣2＝0，解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，
∴a＝2，
∴x＝a+1＝3，
∴這個(gè)直角三角形的面積3×4＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了解二元一次方程組和不等式組．
12．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿(mǎn)足a﹣b+c＝0，那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“鳳凰方程”．
（1）判斷一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否為鳳凰方程，說(shuō)明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是關(guān)于x的鳳凰方程，若m是此鳳凰方程的一個(gè)根，求m得值．
【分析】（1）利用有一個(gè)根為﹣1的一元二次方程為“鳳凰方程”對(duì)一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否為鳳凰方程進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)“鳳凰方程“的定義得到2+m﹣n＝0①，再把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解關(guān)于m的方程即可．
【解答】解：（1）是．
理由如下：
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，3x2﹣4x﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0為鳳凰方程；
（2）根據(jù)題意得2+m﹣n＝0①，
把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，
②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，
即m的值為2或﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
四．解一元二次方程-直接開(kāi)平方法（共4小題）
13．（真題?鹽都區(qū)期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解為（ ）
A．x1＝x2＝5B．x1＝5，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣5D．x1＝x2＝25
【分析】利用直接開(kāi)平方法解方程得出答案．
【解答】解：x2﹣25＝0，
則x2＝25，
解得：x1＝5，x2＝﹣5．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直接開(kāi)平方法解方程，正確開(kāi)平方是解題關(guān)鍵．
14．（真題?東臺(tái)市期中）解方程：2x2＝6．
【分析】利用直接開(kāi)平方法求解即可．
【解答】解：2x2＝6，
x2＝3，
∴x，
∴x1，x2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．
15．（真題?邗江區(qū)校級(jí)月考）求滿(mǎn)足條件的x值：
（1）3（x﹣1）2＝12；
（2）x2﹣3＝5．
【分析】利用直接開(kāi)平方法求解即可．
【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12，
∴（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣3＝5，
∴x2＝8，
∴x，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
16．（2018秋?鼓樓區(qū)期末）求4x2﹣25＝0中x的值．
【分析】先移項(xiàng)，把方程化為x2＝a的形式再直接開(kāi)平方．
【解答】解：移項(xiàng)，得4x2＝25，
系數(shù)化為1，得x2，
開(kāi)平方，得x＝±．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)方法，法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．
五．解一元二次方程-配方法（共3小題）
17．（真題?香洲區(qū)期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．
【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．
【解答】解：方程變形得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
開(kāi)方得：x﹣2＝±，
則x1＝2，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，利用配方法解方程時(shí)，首先將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．
18．（2022?碑林區(qū)校級(jí)三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
【分析】解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．然后利用直接開(kāi)平方法即可求解．
【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣2x0
x2﹣2x+11
（x﹣1）2
∴x1＝1，x2＝1．
【點(diǎn)評(píng)】用配方法解一元二次方程的步驟：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫(xiě)成完全平方式；第四步，直接開(kāi)方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
19．（2019秋?榕城區(qū)期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．
【分析】利用配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．
【解答】解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2﹣2x，
配方得x2﹣2x+11，
即（x﹣1）2，
開(kāi)方得：x﹣1＝±，
∴x1＝1，x2＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫(xiě)成完全平方式；第四步，直接開(kāi)方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
六．解一元二次方程-公式法（共3小題）
20．（2019?合浦縣二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣2）＝17，
∴x，
∴x1，x2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．
21．（2019?鼎城區(qū)模擬）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】利用公式法解方程即可求解．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝9+8＝17＞0，
∴x，
x1，x2．
【點(diǎn)評(píng)】此題這樣考查了利用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵 是熟練掌握求根公式即可解決問(wèn)題．
22．（2019?常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】公式法的步驟：①化方程為一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0；
∴x
，
∴x1，x2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程的解法．要會(huì)熟練運(yùn)用公式法求得一元二次方程的解．此法適用于任何一元二次方程．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）
23．（真題?廣陵區(qū)期末）解方程：
（1）x2+5x+4＝0．
（2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可；
（2）利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+5x+4＝0，
∴（x+1）（x+4）＝0，
則x+1＝0或x+4＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣1；
（2）∵4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（4x﹣1）＝0，
則x﹣2＝0或4x﹣1＝0，
解得x1＝2，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．
24．（真題?泗陽(yáng)縣期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．
【分析】（1）將左邊利用十字相乘法因式分解，繼而可得兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，分別求解即可得出答案；
（2）先移項(xiàng)，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，分別求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴（x﹣6）（x+2）＝0，
則x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2；
（2）∵x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），
∴x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，
則（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
八．換元法解一元二次方程（共3小題）
25．（2022春?射陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，則x2+y2的值為（ ）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
【分析】設(shè) x2+y2＝z，則原方程換元為 z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，即可求解．
【解答】解：設(shè) x2+y2＝z，則原方程換元為 z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z1＝4，z2＝﹣2，
即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合題意，舍去），
∴x2+y2＝4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．
26．（真題?山亭區(qū)期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，則a2+b2＝ 3 ．
【分析】設(shè) a2+b2＝y(tǒng)，則原方程換元為 y2﹣2y﹣3＝0，可得y1＝3，y2＝﹣1，即可求解．
【解答】解：設(shè) a2+b2＝y(tǒng)，則原方程換元為 y2﹣2y﹣3＝0，
∴（y﹣3）（y+1）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1，
即 a2+b2＝3或 a2+b2＝﹣1（不合題意，舍去），
∴a2+b2＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程及換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．
27．（2020春?開(kāi)江縣期末）基本事實(shí)：“若ab＝0，則a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通過(guò)因式分解化為（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事實(shí)得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解為x＝3或x＝﹣2．
（1）試?yán)蒙鲜龌臼聦?shí)，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【分析】（1）利用材料中的因式分解法解該方程；
（2）設(shè)t＝m2+n2（t≥0），將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，通過(guò)解該方程求得t的值即可．
【解答】解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0
∴x＝0或3x﹣1＝0
解得：x1＝0，x2；
（2）t＝m2+n2（t≥0），則由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．
整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．
所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解法和換元法解一元二次方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共5小題）
1．（2019?懷集縣一模）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一個(gè)根是0，則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．
【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝0代入方程，即可得到關(guān)于a的方程，再根據(jù)一元二次方程的定義即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0．
2．（2019秋?競(jìng)秀區(qū)期末）將方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可變形為（ ）
A．（x+4）2＝7B．（x+4）2＝25C．（x+4）2＝﹣9D．（x+8）2＝7
【分析】先移項(xiàng)得到x2+8x＝﹣9，然后把方程作邊利用完全平方公式變形得到（x+4）2＝7即可．
【解答】解：x2+8x＝﹣9，
x2+8x+16＝7，
（x+4）2＝7．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
3．（真題?順德區(qū)月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，則a，b，c的值分別是（ ）
A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10
【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），可得出答案．
【解答】解：將一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式有：x2﹣3x+10＝0，
故a＝1，b＝﹣3，c＝10．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，屬于基礎(chǔ)題，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
4．（2019秋?蘇州期末）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（ ）
A．x+2＝3B．x+y＝1C．x2﹣2x﹣3＝0D．x21
【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．
【解答】解：A、原方程為一元一次方程，不符合題意；
B、原方程為二元一次方程，不符合題意；
C、原方程為一元二次方程，符合題意；
D、原方程為分式方程，不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．
5．（2021?吳中區(qū)開(kāi)學(xué)）方程（x+1）2＝1的根為（ ）
A．0或﹣2B．﹣2C．0D．1或﹣1
【分析】?jī)蛇呴_(kāi)方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x+1）2＝1，
開(kāi)方，得x+1＝±1，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開(kāi)平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
二．填空題（共3小題）
6．（2018春?商南縣期末）若（x﹣1）2＝4，則x＝ 3或﹣1 ．
【分析】把x﹣1看作整體直接開(kāi)方后再計(jì)算即可求解．
【解答】解：x﹣1＝±2
x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2
x＝3或x＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查直接開(kāi)平方法解方程．要注意整體思想的運(yùn)用．
（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類(lèi)型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．
法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．
（2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把被開(kāi)方數(shù)看成整體．
（3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．
7．（2018春?西城區(qū)期末）將一元二次方程x2+8x+13＝0通過(guò)配方轉(zhuǎn)化成（x+n）2＝p的形式（n，p為常數(shù)），則n＝ 4 ，p＝ 3 ．
【分析】依據(jù)配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方求解可得．
【解答】解：∵x2+8x+13＝0，
∴x2+8x＝﹣13，
則x2+8x+16＝﹣13+16，即（x+4）2＝3，
∴n＝4、p＝3，
故答案為：4、3．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
8．（2016?江陰市校級(jí)開(kāi)學(xué)）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，則a2+b2＝ 2 ．
【分析】設(shè)y＝a2+b2，將已知方程整理為關(guān)于y的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解得到y(tǒng)的值，即可確定出a2+b2的值．
【解答】設(shè)y＝a2+b2，原方程化為y2﹣y﹣2＝0，
分解因式得：（y﹣2）（y+1）＝0，
可得y﹣2＝0或y+1＝0，
解得：y＝2或y＝﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2的值為2．
故答案是：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法解一元二次方程．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．
三．解答題（共9小題）
9．（真題?沭陽(yáng)縣期末）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0．
（2）8（x+1）3＝27．
【分析】（1）先變形得到（x﹣1）2＝9，然后利用直接開(kāi)平方法解方程；
（2）先變形得到（x+1）3，根據(jù)立方根的定義得到x+1，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
所以x1＝4，x2＝﹣2；
（2）（x+1）3，
x+1，
所以x．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．也考查了立方根．
10．（真題?新北區(qū)校級(jí)期中）用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）x2+4x﹣1＝0；
（3）x2﹣3x﹣2＝0；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）利用公式法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣9＝0，
（x﹣3+3）（x﹣3﹣3）＝0，
x﹣3+3＝0或x﹣3﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝6；
（2）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
所以x12，x22；
（3）x2﹣3x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∵Δ＝9﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1），
（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+3﹣5）＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x+3﹣5＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元二次方程，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?br>11．（真題?南京期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）100（x﹣1）2＝121．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先求出（x﹣1）2的值，然后利用直接開(kāi)平方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x﹣+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2或x﹣2，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）（x﹣1）2＝1.21，
開(kāi)平方得，x﹣1＝±1.1，
∴x﹣1＝1.1或x﹣1＝﹣1.1，
∴x1＝2.1，x2＝﹣0.1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．
12．（2022?常州模擬）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．
【分析】（1）將左邊利用十字相乘法因式分解，繼而可得兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，分別求解即可得出答案；
（2）先移項(xiàng)，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，分別求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣45＝0，
∴（x﹣9）（x+5）＝0，
則x﹣9＝0或x+5＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣5；
（2）∵x（x+4）＝﹣3（x+4），
∴x（x+4）+3（x+4）＝0，
則（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
13．（2016秋?鹽都區(qū)期末）（1）解方程：（x+1）2＝9；
（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）兩邊開(kāi)方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：（1）兩邊開(kāi)方得：x+1＝±3，
解得：x1＝2，x2＝﹣4；
（2）這里a＝1，b＝﹣4，c＝2，
b2﹣4ac＝8＞0，
x2±，
即x1＝2，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．
14．（2021?吳中區(qū)開(kāi)學(xué)）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）（x+1）2＝2（x+1）．
【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣4＝0，
∴（x﹣1）2＝4，
則x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣1）＝0，
則x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
15．（2018秋?武進(jìn)區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：
解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：
設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用 換元 法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6＝0．
【分析】（1）用一個(gè)字母表示一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式的方法叫換元法．
（2）用y代替x2+3x即可．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
故答案是：換元；
（2）設(shè)x2+3x＝y(tǒng)，原方程可化為y2+5y﹣6＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣6．
由x2+3x＝1，得x1，x2．
由x2+3x＝﹣6，得方程x2+3x+6＝0，
△＝9﹣4×6＝﹣15＜0，此方程無(wú)解．
所以原方程的解為x1，x2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．
16．（2018秋?京口區(qū)校級(jí)月考）（閱讀理解題）閱讀材料，解答問(wèn)題：
為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1看作一個(gè)整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，那么原方程可化為y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y1＝1時(shí)，x2﹣1＝1．所以x2＝2．所以x＝±；當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣1＝4．所以x2＝5．所以x＝±，故原方程的解為x1，x2，x3，x4；上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
（1）已知方程x2﹣2x﹣3，若設(shè)x2﹣2x＝a，那么原方程可化為 a2﹣3a﹣1＝0 （結(jié)果化成一般式）
（2）請(qǐng)利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
【分析】（1）將原方程中的x2﹣2x換為a，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一元二次方程的一般形式即可；
（2）設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，然后解關(guān)于y的方程；再根據(jù)y值解關(guān)于x的方程．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得
a﹣3，
∴1＝a2﹣3a，
即a2﹣3a﹣1＝0；
（2）設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，原方程化為y2﹣y﹣6＝0，
整理，得（y﹣3）（y+2）＝0，
解得y＝3或y＝﹣2
當(dāng)y＝3時(shí)，即x2+2x＝3，解得x＝1或x＝﹣3；
當(dāng)y＝﹣2時(shí)，即x2+2x＝﹣2，方程無(wú)解．
綜上所述，原方程的解為x1＝1，x2＝﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法解一元二次方程．換元法就是把一個(gè)復(fù)雜的不變整體用一個(gè)字母代替，這樣就把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題．如（1）題就是把一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程．
17．（真題?饒平縣校級(jí)期中）解方程時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)新的未知數(shù)去代替它，從而使方程得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．先閱讀下面的解題過(guò)程，再解出右面的兩個(gè)方程：
例：解方程：．
解：設(shè)（t≥0）
∴原方程化為2t﹣3＝0
∴
而
∴
∴
請(qǐng)利用上面的方法，解出下面兩個(gè)方程：
（1）（2）
【分析】（1）設(shè)t，將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程再解即可；
（2）設(shè)t（t≥0），原方程化為t2+t﹣2＝0，求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)t，
將原方程轉(zhuǎn)化為t2+2t﹣8＝0，
解得，t1＝2，t2＝﹣4，
而t＝2＞0，
∴2，
∴x＝4；
（2）設(shè)t（t≥0），
∴原方程化為t2+t﹣2＝0，
解得t1＝1，t2＝﹣2，
而t＝1＞0，
∴1，
∴x＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用．換元法是借助引進(jìn)輔助元素，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的一種解題方法．這種方法在解題過(guò)程中，把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代表它，實(shí)行等量替換．這樣做，常能使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，形象直觀．

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