（人教A版）2024年高中數(shù)學(xué)高一暑假講義+練習(xí)05《全稱量詞與存在量詞》(原卷版+教師版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．全稱量詞與全稱量詞命題
(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．
(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．
2．存在量詞與存在量詞命題
(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．
(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實(shí)數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？請改寫成相應(yīng)命題的形式．
提示：是存在量詞命題，可改寫為“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3．含有一個量詞的命題的否定﹁
一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：
全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
1．下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是( )
①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)；
②有的菱形是正方形；
③三角形的內(nèi)角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列全稱量詞命題為真命題的是( )
A．所有的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)
B．?x∈R，x2＋1≥1
C．對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)
D．所有的能被5整除的整數(shù)，其末位數(shù)字都是5
3．下列命題中的假命題是( )
A．?x∈R，|x|≥0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x∈R，x＋20190.
含有一個量詞的命題的否定
【例2】 (1)設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則命題p的否定為( )
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
(2)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
含有一個量詞的命題的否定的方法
(1)一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結(jié)論．
(2)對于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定．
2．寫出下列命題的否定并判斷其真假：
(1)p：?x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(4)s：至少有一個實(shí)數(shù)x，使x3＋1＝0.
全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用
【例3】對于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)y＝x2＋4x－1的函數(shù)值恒大于實(shí)數(shù)m，求m的取值范圍．
求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略
?1? 對于全稱量詞命題“?x∈M，a＞y?或a＜y?”為真的問題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最大值?或最小值?，即a＞ymax?或a＜ymin?.
?2?對于存在量詞命題“?x∈M，a＞y?或a＜y?”為真的問題，實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值?或最大值?，即a＞ymin?或a＜ymax?.
3．若命題“p：?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．m≥1 B．m＞1
C．m＜1 D．m≤1
1．判定一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的主要方法是看命題中含有哪種量詞，判定時要特別注意省略量詞的全稱量詞命題．
2．要判定一個全稱量詞命題為真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗(yàn)證p(x)成立，要判定其為假命題，只要舉出一個反例即可；對存在量詞命題真假的判定方法正好與之相反．
3．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，其模式是固定的，即把相應(yīng)的全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞，并把命題的結(jié)論加以否定．
1．思考辨析
(1)命題“正方形都是長方形”是全稱量詞命題．( )
(2)命題“有些菱形是正方形”是全稱量詞命題．( )
(3)命題：?x∈R，x2－3x＋3>0的否定是?x?R，x2－3x＋3≤0.( )
2．下列存在量詞命題中，是假命題的是( )
A．?x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除
C．有的三角形沒有外接圓
D．某些四邊形不存在外接圓
3．命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是( )
A．任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)
B．任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)
C．存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)
D．存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)
4．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假．
(1)對某些實(shí)數(shù)x，有2x＋1>0；
(2)?x∈{3,5,7},3x＋1是偶數(shù)；
(3)?x∈Q，x2＝3.
A級：“四基”鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1．命題“?x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x