1．充分條件與必要條件
思考1：(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件所表示的推出關(guān)系是否相同？
(2)以下五種表述形式：①p?q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價嗎？
提示：(1)相同，都是p?q.(2)等價．
2．充要條件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．
概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．
(2)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．
(3)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．
(4)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
思考2：(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？
(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？
提示：(1)正確．若p是q的充要條件，則p?q，即p等價于q.
(2)①p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論．
②p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論．
1．下列語句是命題的是( )
A．梯形是四邊形 B．作直線AB
C．x是整數(shù) D．今天會下雪嗎
A [D不是陳述句，B、C不能判斷真假．]
2．“同位角相等”是“兩直線平行”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．既是充分條件，也是必要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] C
3．使x>3成立的一個充分條件是( )
A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x4?x>3，其他選項(xiàng)均不可推出x>3.]
4．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
A [因?yàn)閤≥2且y≥2?x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件．]
充分條件、必要條件的判斷
【例1】 指出下列各題中p是q的什么條件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc.
[解] (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要條件．
(2)兩個三角形相似兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相似，故p是q的必要不充分條件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要條件．
定義法判斷充分條件、必要條件
?1?確定誰是條件，誰是結(jié)論
?2?嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件
?3?嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.
1．指出下列各組命題中，p是q的什么條件．
(1)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
[解] (1)因?yàn)樗倪呅蔚膶蔷€相等四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形四邊形的對角線相等，
所以p是q的既不充分也不必要條件．
(2)因?yàn)?x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要條件．
充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用
[探究問題]
1．記集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要條件，則集合A，B的關(guān)系是什么？若p是q的必要不充分條件呢？
提示：若p是q的充分不必要條件，則AB，若p是q的必要不充分條件，則BA.
2．記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，則p是q的什么條件？若N?M，M＝N呢？
提示：若M?N，則p是q的充分條件，若N?M，則p是q的必要條件，若M＝N，則p是q的充要條件．
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．
[思路點(diǎn)撥] eq \x(\a\al(p是q的充分,不必要條件))→eq \x(\a\al(p代表的集合是q代,表的集合的真子集))→ eq \x(\a\al(列不等式,組求解))
{m|m≥9} [因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以p?q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m0，,1＋m>10，))解得m≥9.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要條件”改為“p是q的必要不充分條件”，其他條件不變，試求m的取值范圍．
[解] 因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q?p，且pq.
則{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得0

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