（人教A版）2024年高中數(shù)學(xué)高一暑假講義+練習(xí)06《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》(原卷版+教師版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第1課時(shí) 不等關(guān)系與不等式
1．不等關(guān)系
不等關(guān)系常用不等式來(lái)表示．
2．實(shí)數(shù)a，b的比較大小
3.重要不等式
一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
1．大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過(guò)該橋，應(yīng)使車(chē)貨總重量T不超過(guò)40噸，用不等式表示為( )
A．T40 C．T≤40 D．T≥40
C [限重就是不超過(guò)，可以直接建立不等式T≤40.]
2．某高速公路要求行駛的車(chē)輛的速度v的最大值為120 km/h，同一車(chē)道上的車(chē)間距d不得小于10 m，用不等式表示為( )
A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h D．d≥10 m
A [v的最大值為120 km/h，即v≤120 km/h，車(chē)間距d不得小于10 m，即d≥10 m，故選A.]
3．雷電的溫度大約是28 000 ℃，比太陽(yáng)表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽(yáng)表面溫度為t ℃，那么t應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式是________．
4．5t0.]
4．完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，試用不等式表示上述關(guān)系．
[解] 由題意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.
第2課時(shí) 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
1．等式的性質(zhì)
(1) 性質(zhì)1 如果a＝b，那么b＝a；
(2) 性質(zhì)2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3) 性質(zhì)3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4) 性質(zhì)4 如果a＝b，那么ac＝bc；
(5) 性質(zhì)5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的基本性質(zhì)
(1)對(duì)稱(chēng)性：a＞b?b＜a.
(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1．若a＞b，c＞d，則下列不等關(guān)系中不一定成立的是( )
A．a(chǎn)－b＞d－c B．a(chǎn)＋d＞b＋c
C．a(chǎn)－c＞b－c D．a(chǎn)－c＜a－d
B [根據(jù)不等式的性質(zhì)．]
2．與a>b等價(jià)的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a(chǎn)2>b2 C.eq \f(a,b)>1 D．a(chǎn)3>b3
D [可利用賦值法．令a＝－5，b＝0，則A、B正確而不滿(mǎn)足a>b.再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿(mǎn)足a>b，故選D.]
3．設(shè)x0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]
利用不等式性質(zhì)判斷命題真假
【例1】對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是( )
A．若a＞b，則ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，則eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，則eq \f(b,a)＞eq \f(a,b) D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，則a＞0，b＜0
[思路點(diǎn)撥] 本題可以利用不等式的性質(zhì)直接判斷命題的真假，也可以采用特殊值法判斷．
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0時(shí)，有ac2＝bc2，故A為假命題；
由a＞b＞0，有ab＞0?eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)?eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，故B為假命題；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＜b＜0?－a＞－b＞0?－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0?－a＞－b＞0))?eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，故C為假命題；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b?b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．
法二：特殊值排除法．取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯(cuò)．
取a＝2，b＝1，則eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1.有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B錯(cuò)．取a＝－2，b＝－1，
則eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C錯(cuò)．]
運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時(shí)，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).解有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿(mǎn)足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算.
1．下列命題正確的是( )
A．若a2＞b2，則a＞b B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，則a＜b
C．若ac＞bc，則a＞b D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，則a＜b
D [A錯(cuò)，例如(－3)2＞22；B錯(cuò)，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C錯(cuò)，例如當(dāng)c＝－2，a＝－3，b＝2時(shí)，有ac＞bc，但a＜b.]
利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式
【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq \f(e,?a－c?2)＞eq \f(e,?b－d?2).
[思路點(diǎn)撥] 可結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，分析所證不等式的結(jié)構(gòu)，有理有據(jù)地導(dǎo)出證明結(jié)果．
[證明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
兩邊同乘以eq \f(1,?a－c?2?b－d?2)，得eq \f(1,?a－c?2)＜eq \f(1,?b－d?2).又e＜0，∴eq \f(e,?a－c?2)＞eq \f(e,?b－d?2).
本例條件不變的情況下，求證：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
[證明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)
?1?利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類(lèi)問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.
?2?應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.
2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－acb，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，∴f－ac

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