1．重要不等式
?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．
2．基本不等式
(1)有關(guān)概念：當(dāng)a，b均為正數(shù)時，把eq \f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把eq \r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
(2)不等式：當(dāng)a，b是任意正實數(shù)時，a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．
1．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是( )
A．a(chǎn)＝±1 B．a(chǎn)＝1
C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a(chǎn)2＋b2 B．2eq \r(ab)
C．2ab D．a(chǎn)＋b
3．已知ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．當(dāng)a，b∈R時，下列不等關(guān)系成立的是________．
①eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)；②a－b≥2eq \r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
對基本不等式的理解
【例1】 給出下面四個推導(dǎo)過程：
①∵a、b為正實數(shù)，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2.
其中正確的推導(dǎo)為( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (a＞0，b＞0)反映了兩個正數(shù)的和與積之間的關(guān)系．
2．對基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下兩個方面：(1)定理成立的條件是a、b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；僅當(dāng)a＝b時，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等號成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)?a＝b.
1．下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是________．
①若x＞1，則x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2.
②若x＜0，則x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?－x?＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x)))))≤－2eq \r(?－x?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x))))＝－4.
③若a，b∈R，則eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.
利用基本不等式比較大小
【例2】 (1)已知a，b∈R＋，則下列各式中不一定成立的是( )
A．a(chǎn)＋b≥2eq \r(ab) B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D.eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)
(2)已知a，b，c是兩兩不等的實數(shù)，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關(guān)系是________．
1．在理解基本不等式時，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件．
2．運用基本不等式比較大小時應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝eq \f(a＋b,2)，Q＝eq \r(ab)，M＝eq \r(a＋b)，那么P，Q，M的大小順序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
利用基本不等式證明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
本例條件不變，求證：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))>8.
1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系．
2．先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用基本不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．
3．已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
4．已知a＞1，b＞0，eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，求證：a＋2b≥2eq \r(6)＋7.
1．應(yīng)用基本不等式時要時刻注意其成立的條件，只有當(dāng)a>0，b>0時，才會有eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，‘＝’成立…”這句話要從兩個方面理解：一方面，當(dāng)a＝b時，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面：當(dāng)eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)時，也有a＝b.
2．應(yīng)用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵在于進(jìn)行“拼”、“湊”、“拆”、“合”、“放縮”等變形，構(gòu)造出符合基本不等式的條件結(jié)構(gòu)..
1．思考辨析
(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立．( )
(2)若a≠0，則a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2.( )
(3)若a>0，b>0，則ab≤(eq \f(a＋b,2))2.( )
2．設(shè)a>b>0，則下列不等式中一定成立的是( )
A．a(chǎn)－b0，則x＋eq \f(2,x)的最小值是________．
3．設(shè)x，y∈N*滿足x＋y＝20，則xy的最大值為________．
利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x1時，函數(shù)y＝x＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(\f(x,x－1))，所以函數(shù)y的最小值是2eq \r(\f(x,x－1)).( )
2．若實數(shù)a、b滿足a＋b＝2，則ab的最大值為( )
A．1 B．2eq \r(2) C．2 D．4
3．已知02)中等號成立的條件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
2．若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中恒成立的是( )
A．a(chǎn)2＋b2＞2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq \r(ab)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
3．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則下列各式恒成立的是( )
A.eq \f(1,ab)≥8 B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥4
C.eq \r(ab)≥eq \f(1,2) D.eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,2)
4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8, 則x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2)
5．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)eq \f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為( )
A．0 B.eq \f(9,8) C．2 D.eq \f(9,4)
二、填空題
6．已知a＞b＞c，則eq \r(?a－b??b－c?)與eq \f(a－c,2)的大小關(guān)系是________．
7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，則eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值為________．
8．如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(O為圓心)鐵皮上取一塊矩形材料ABCD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為________(單位：cm2)．
三、解答題
9．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，求證：eq \r(x)＋eq \r(y)＋eq \r(z)≤ eq \r(3).
10．某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元，其使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同學(xué)，老師打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車費均為40元．若使每名同學(xué)游8次，每人最少應(yīng)交多少元錢？
B級：“四能”提升訓(xùn)練
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：
(1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
2．某產(chǎn)品原來的成本為1000元/件，售價為1200元/件，年銷售量為1萬件，由于市場飽和，顧客要求提高，公司計劃投入資金進(jìn)行產(chǎn)品升級．據(jù)市場調(diào)查，若投入x萬元，每件產(chǎn)品的成本將降低eq \f(3x,4)元，在售價不變的情況下，年銷售量將減少eq \f(2,x)萬件，按上述方式進(jìn)行產(chǎn)品升級和銷售，扣除產(chǎn)品升級資金后的純利潤記為z(單位：萬元)．(純利潤＝每件的利潤×年銷售量－投入的成本)
(1)求z的函數(shù)解析式；
(2)求z的最大值，以及z取得最大值時x的值．
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.了解基本不等式的證明過程．(重點)
2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小.
1.通過不等式的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．
2．借助基本不等式形式求簡單的最值問題，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問題．(重點)
2．會用基本不等式求解實際應(yīng)用題．(難點)
1.通過基本不等式求最值，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
2．借助基本不等式在實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

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