3.1.1 函數(shù)的概念
1．函數(shù)的概念
思考1：(1)有人認為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對嗎？
(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？
提示：(1)這種看法不對．
符號y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是關(guān)系所施加的對象；f是對應(yīng)關(guān)系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當x允許取某一具體值時，相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值．y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號，不表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數(shù)時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù)．
(2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當x＝a時，函數(shù)f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當x＝8時，f(8)＝3×8＋4＝28是一個常數(shù)．
2．區(qū)間及有關(guān)概念
(1)一般區(qū)間的表示
設(shè)a，b∈R，且a0得x>－1.所以函數(shù)的定義域為(－1，＋∞)．]
2．若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，則f(3)＝________.
－eq \f(1,8) [f(3)＝eq \f(1,1－9)＝－eq \f(1,8).]
3．用區(qū)間表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為________；
(2){x|x>1}用區(qū)間表示為________．
(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [結(jié)合區(qū)間的定義可知(1)為[10,100]，(2)為(1，＋∞)．]
函數(shù)的概念
【例1】 (1)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是( )
①f(x)＝eq \r(－2x3)與g(x)＝xeq \r(－2x)；
②f(x)＝x與g(x)＝eq \r(x2)；
③f(x)＝x0與g(x)＝eq \f(1,x0)；
④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
(2)判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．
①A＝N，B＝N*，對應(yīng)法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng)；
②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應(yīng)法則f：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)．
(1)C [①f(x)＝eq \r(－2x3)＝|x|eq \r(－2x)與g(x)＝xeq \r(－2x)的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)．
②g(x)＝eq \r(x2)＝|x|與f(x)＝x的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)．
③f(x)＝x0與g(x)＝eq \f(1,x0)都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一函數(shù)．
④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對應(yīng)法則也相同，而與用什么字母表示無關(guān)，故是同一函數(shù)．由上可知是同一函數(shù)的是③④.故選C.]
(2)[解] ①對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)．
②對于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對應(yīng)，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù)．
③對于A中的任一元素，在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如±1對應(yīng)1，±2對應(yīng)4，所以是函數(shù)．
④集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)．]
1．判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件
(1)A，B必須是非空實數(shù)集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應(yīng)．
對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對多”的不是函數(shù)關(guān)系．
2．判斷函數(shù)相等的方法
(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；
(2)若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同．
1．下列四個圖象中，不是函數(shù)圖象的是( )
A B C D
B [根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個值，y就隨之確定一個值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個交點，對照選項，可知只有B不符合此條件．故選B.]
2．下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是( )
A．y＝x＋1與y＝eq \f(x2－1,x－1) B．y＝x2＋1與s＝t2＋1
C．y＝2x與y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2與y＝x2
B [A，C選項中兩函數(shù)的定義域不同，D選項中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故A，C，D錯誤，選B.]
求函數(shù)值
【例2】 設(shè)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq \f(1,x＋2)，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
[思路點撥] (1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可；
(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．
[解] (1)因為f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因為g(x)＝eq \f(1,x＋2)，
所以g(a)＋g(0)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,0＋2)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,2)(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝eq \f(1,10＋2)＝eq \f(1,12).
(2)g(f(x))＝eq \f(1,f?x?＋2)＝eq \f(1,2x2＋2＋2)＝eq \f(1,2x2＋4).
函數(shù)求值的方法
?1?已知f?x?的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f?a?的值.
?2?求f?g?a??的值應(yīng)遵循由里往外的原則.
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
求函數(shù)的定義域
[探究問題]
1．已知函數(shù)的解析式，求其定義域時，能否可以對其先化簡再求定義域？
提示：不可以．如f(x)＝eq \f(x＋1,x2－1).倘若先化簡，則f(x)＝eq \f(1,x－1)，從而定義域與原函數(shù)不等價．
2．若函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍？函數(shù)y＝f(x)的定義域是什么？
提示：[1,2]是自變量x的取值范圍．
函數(shù)y＝f(x)的定義域是x＋1的范圍[2,3]．
【例3】 求下列函數(shù)的定義域：
(1)f(x)＝2＋eq \f(3,x－2)； (2)f(x)＝(x－1)0＋eq \r(\f(2,x＋1))；
(3)f(x)＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1)； (4)f(x)＝eq \f(?x＋1?2,x＋1)－eq \r(1－x).
[思路點撥] 要求函數(shù)的定義域，只需分母不為0，偶次方根中被開方數(shù)大于等于0即可．
[解] (1)當且僅當x－2≠0，即x≠2時，函數(shù)f(x)＝2＋eq \f(3,x－2)有意義，
所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}．
(2)函數(shù)有意義，當且僅當eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))解得x>－1且x≠1，
所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>－1且x≠1}．
(3)函數(shù)有意義，當且僅當eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}．
(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，
即函數(shù)定義域為{x|x≤1且x≠－1}．
(變結(jié)論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域．
[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域為[0,2]．
求函數(shù)定義域的常用方法
?1?若f?x?是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.
?2?若f?x?是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.
?3?若f?x?是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運算有意義的實數(shù)集合.
?4?若f?x?是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集.
?5?若f?x?是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義.
1．對于用關(guān)系式表示的函數(shù)．如果沒有給出定義域，那么就認為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達式有意義的自變量取值的集合．這也是求某函數(shù)定義域的依據(jù)．
2．函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對應(yīng)法則，因此，判定兩個函數(shù)是否相同時，就看定義域和對應(yīng)法則是否完全一致，完全一致的兩個函數(shù)才算相同．
3．函數(shù)符號y＝f(x)是學習的難點，它是抽象符號之一．首先明確符號“y＝f(x)”為y是x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積”.
1．思考辨析
(1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示．( )
(2)數(shù)集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2，＋∞]．( )
(3)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了．( )
(4)函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定只有一個數(shù)與之對應(yīng)．( )
(5)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相等的是( )
A．y＝(eq \r(x))2 B．y＝eq \r(x2)
C．y＝|x| D．y＝eq \r(3,x3)
D [函數(shù)y＝x的定義域為R；y＝(eq \r(x))2的定義域為[0，＋∞)；y＝eq \r(x2)＝|x|，對應(yīng)關(guān)系不同；y＝|x|對應(yīng)關(guān)系不同；y＝eq \r(3,x3)＝x，且定義域為R.故選D.]
3．將函數(shù)y＝eq \f(3,1－\r(1－x))的定義域用區(qū)間表示為________．
(－∞，0)∪(0,1] [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得x≤1且x≠0，用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0,1]．]
4．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq \f(1,x)，
(1)求f(x)的定義域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)當a≠－1時，求f(a＋1)的值．
[解] (1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0，∴f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
(3)當a≠－1時，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).
3.1.2 函數(shù)的表示法
第1課時 函數(shù)的表示法
函數(shù)的表示法
思考：任何一個函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖表法三種形式表示嗎？
提示：不一定．
并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示，不僅如此，圖象法也不適用于所有函數(shù)，如D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x∈Q，,1，x∈?RQ.))列表法雖在理論上適用于所有函數(shù)，但對于自變量有無數(shù)個取值的情況，列表法只能表示函數(shù)的一個概況或片段．
1．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于( )
A.1 B．2 C．3 D．不存在
C [∵當2

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