?1.5 全稱量詞與存在量詞

一、單選題
1．命題“，．”的否定是（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，直接判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱存在量詞命題，
所以命題“，．”的否定是“，”.
故選：B
2．命題“，”的否定為（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題判斷即可.
【詳解】根據(jù)全稱命題的否定可得，命題“，”的否定為
“，”.
故選：C
3．命題“”的否定為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全稱命題的否定：任意改存在并否定結(jié)論，即可得答案.
【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題知：原命題的否定為.
故選：A
4．命題“，”的否定形式是（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得到答案.
【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，
命題“，”的否定形式是，.
故選：A.
5．命題，，則命題的否定是（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷.
【詳解】解：因?yàn)槊}，是全稱量詞命題，
所以其否定是存在量詞命題，即 ，，
故選：B
6．已知命題，則為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得到答案.
【詳解】命題，則為.
故選：C
7．若命題“，都有”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱命題的否命題為真，即方程有解的條件求實(shí)數(shù)m的范圍即可．
【詳解】解：由題意得，使得，
當(dāng)，符合題意；
當(dāng)，只要即可，
解得，
綜上：．
故選：C．
8．已知，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)特稱命題為真命題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程有實(shí)數(shù)解的條件即可求解.
【詳解】因?yàn)槭钦婷}，
所以方程有實(shí)數(shù)根，
所以，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
9．已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知該命題的否定是真命題，再根據(jù)一元二次不等式恒成立即可求解.
【詳解】由題意可知，命題“”是假命題
則該命題的否定“”是真命題，
所以，解得；
故選：D.
10．已知命題“存在，使得等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合原命題和否命題真假的關(guān)系即可求解.
【詳解】由已知命題“存在，使得等式成立”是假命題，等價(jià)于“任意的，使得等式成立”是真命題，又因?yàn)椋裕?，則需或.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
11．命題“”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先將命題“，”為假命題轉(zhuǎn)化“，”為真命題，求出其充要條件，再利用數(shù)集間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.
【詳解】命題“，”為假命題，
即命題“，”為真命題，
則，解得，
對于A：是命題“”為假命題的充要條件，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對于B：是的真子集，所以是“”為假命題的一個(gè)充分不必要條件，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于C：是的真子集，所以是 “”為假命題的一個(gè)必要不充分條件，故選項(xiàng)C正確；
對于D：與無包含關(guān)系，所以是“”為假命題的一個(gè)既不充分也不必要條件，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C.
12．若，是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用參變量分離法可得出，當(dāng)時(shí)，求出的取值范圍，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】對任意的，，則，
因?yàn)椋瑒t，則，.
故選：C.

二、多選題
13．下列說法正確的是（????）
A．
B．“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要條件
D．“”是“”的必要不充分條件
【答案】ACD
【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系判斷A；根據(jù)全稱量詞命題的否定可判斷B；根據(jù)充分條件以及必要條件的判斷可判斷C，D.
【詳解】對于A，的元素是，故，正確；
對于B，“，”為全稱量詞命題，它的否定是“，”，B錯(cuò)誤；
對于C，由，可得，則成立，
當(dāng)時(shí)，比如取，推不出成立，
故“”是“”的充分不必要條件，C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，若，則不成立，
當(dāng)成立時(shí)，則，則，故，
故“”是“”的必要不充分條件，D正確，
故選：ACD
14．下列命題中，是真命題的有（????）
A．命題“”是“”的充分不必要條件
B．命題，則
C．命題“”是“”的充分不必要條件
D．“”是“”的充分不必要條件
【答案】ABD
【分析】根據(jù)判斷充分不必要條件的邏輯關(guān)系分別判斷A，C，D；根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B.
【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，成立，
反之，當(dāng)時(shí)，解得或，不一定是，
故“”是“”的充分不必要條件，A正確；
對于B，命題為全稱命題，其否定為特稱命題，
即，B正確；
對于C，推不出，因?yàn)闀r(shí)，，
當(dāng)時(shí)，一定有且，
故命題“”是“”的必要不充分條件，C錯(cuò)誤；
對于D，解可得或，
故時(shí)，一定有成立，
當(dāng)時(shí)，也可能是，不一定是，
故“”是“”的充分不必要條件，D正確，
故選：ABD
15．下列說法正確的是（????）
A．命題，則命題的否定是
B．全稱命題“”是真命題.
C．命題“”是假命題
D．集合.集合，若，則的取值范圍是
【答案】AC
【分析】A選項(xiàng)，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定；B選項(xiàng)，舉出反例；C選項(xiàng)，由根的判別式得到恒成立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)交集結(jié)果得到，分和兩種情況，分類討論，得到的取值范圍.
【詳解】A選項(xiàng)，命題的否定是，A正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，對于，，故對任意的，，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又?br /> 當(dāng)時(shí)，若，則，解得，此時(shí)，滿足，
若，則，解得，此時(shí)，不滿足，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上，的取值范圍為或，D錯(cuò)誤.
故選：AC
16．下列命題為真命題的是（????）
A．若，則；
B．若，則；
C．使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是或
D．若是全不為0的實(shí)數(shù)，則“”是“不等式和解集相等”的充分不必要條件
【答案】BC
【分析】A選項(xiàng)：特稱命題的否定是將存在詞變?yōu)槿Q量詞后否定結(jié)論；
B選項(xiàng)：由不等式的同向可乘性可以判斷；
C選項(xiàng)：通過檢驗(yàn)就可以判斷；
D選項(xiàng)：通過分析不等式以及充分不必要條件就可以判斷.
【詳解】A選項(xiàng)：特稱命題的否定是將存在詞變?yōu)槿Q量詞后否定結(jié)論，所以命題:,.則:,，A是假命題；
B選項(xiàng)：，
，，，B是真命題；
C選項(xiàng)：若或，則成立，故滿足充分性；當(dāng)時(shí)，或，不滿足必要性，C是真命題；
D選項(xiàng)：設(shè)，則
所以不等式等價(jià)于.
若，此時(shí)等價(jià)于，此時(shí)兩者解集相等；
若，此時(shí)等價(jià)于，此時(shí)兩者解集不相等；
若不等式和解集為，則兩個(gè)不等式的系數(shù)沒有關(guān)系.
所以“”是“不等式和解集相等”的既不充分也不必要條件，D是假命題.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題，一是理解命題，二是要怎么樣處理充分性以及必要性，三是要推理正確.
17．下列命題是真命題的是（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【分析】利用絕對值的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；取，可判斷B選項(xiàng)的正誤；取，可判斷C選項(xiàng)的正誤；取，可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
綜上所述：，，故A正確；
對于B：當(dāng)時(shí)，滿足，故B正確；
對于C：當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
對于D：當(dāng)時(shí)，，故D正確；
故選：ABD．
18．已知全集為，，是的非空子集且，則下列關(guān)系一定正確的是（????）
A．，且 B．，
C．，或 D．，且
【答案】AB
【分析】根據(jù)給定條件畫出韋恩圖，再借助韋恩圖逐一分析各選項(xiàng)判斷作答.
【詳解】全集為，，是的非空子集且，則，，的關(guān)系用韋恩圖表示如圖，

觀察圖形知，，且，A正確；
因，必有，，B正確；
若ü，則，此時(shí)，，即且，C不正確；
因，則不存在滿足且，D不正確.
故選：AB
19．下列條件中，為 “關(guān)于的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】對討論：；，；，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，解不等式可得的取值范圍，再由充要條件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式對恒成立，
當(dāng)時(shí)，原不等式即為恒成立；
當(dāng)時(shí)，不等式對恒成立，
可得，即，解得：.
當(dāng)時(shí)，的圖象開口向下，原不等式不恒成立，
綜上：的取值范圍為：.
所以“關(guān)于的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有
或.
故選：BC.
20．下列說法正確的是（????）
A．“，使得成立”的否定是“，有不成立”
B．“，使得成立”的否定是“，有成立”
C．命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是
D．已知a，，則“”是“”成立的充要條件
【答案】BC
【分析】對四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：對于A、B：利用存在命題的否定直接判斷；對于C：先求出，即可判斷；對于D：由時(shí)，無意義.故D錯(cuò)誤即可判斷.
【詳解】對于A、B：因?yàn)椤埃沟贸闪ⅰ钡姆穸ㄊ恰?，有成立”，所以A錯(cuò)誤，B正確；
對于C：命題“，”為真命題，則，所以是一個(gè)充分不必要條件.故C正確；
對于D：當(dāng)時(shí)，無意義.故D錯(cuò)誤.
故選：BC

三、填空題
21．請把命題“勾股定理”寫成含有量詞的命題：_____________.
【答案】對任意的直角三角形，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
【分析】根據(jù)勾股定理的內(nèi)容，結(jié)合任意性的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】在任意的直角三角形中，都有兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，
故答案為：對任意的直角三角形，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
22．命題“有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根是正整數(shù)”的否定是_______．
【答案】所有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根不是正整數(shù)
【分析】根據(jù)特稱命題的否定即可得.
【詳解】解：命題“有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根是正整數(shù)”的否定是：“所有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根不是正整數(shù)”.
故答案為：所有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根不是正整數(shù).
23．“所有的自然數(shù)都大于零”的否定是_______．
【答案】存在一個(gè)自然數(shù)小于或等于零
【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式為對應(yīng)的特稱命題進(jìn)行改寫.
【詳解】替換量詞并否定結(jié)論，“所有的自然數(shù)都大于零”的否定是“存在一個(gè)自然數(shù)小于或等于零”．
故答案為：存在一個(gè)自然數(shù)小于或等于零
24．將“方程無實(shí)根”改寫成含有一個(gè)量詞的命題的形式，可以寫成________．
【答案】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的形式改寫即可．
【詳解】由已知，“方程無實(shí)根”是全稱量詞命題，
故可改寫為：，
故答案為：．
25．命題“，”的否定是______．
【答案】，
【分析】由全稱量詞命題的否定形式即可得答案.
【詳解】命題“，”的否定是“，”.
故答案為：，

四、解答題
26．已知命題，命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值集合為．
(1)求集合；
(2)設(shè)集合，若是的真子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】(1)命題為真命題，即方程有根，則，解出即可.
(2)因?yàn)槭堑恼孀蛹胁坏仁浇M解出即可.
【詳解】（1）由命題為真命題，得，得

（2）是的真子集．
，解得．
27．寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假:
(1)有些實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù);
(2)三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積能被6整除;
(3)三角形不都是中心對稱圖形;
(4)至少有一個(gè)整數(shù)是4的倍數(shù).
【答案】(1)所有實(shí)數(shù)都不是無限不循環(huán)小數(shù)，假命題
(2)存在三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積不能被6整除，假命題
(3)任意一個(gè)三角形都是中心對稱圖形，假命題
(4)任意整數(shù)不是4的倍數(shù)，真命題

【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題，以及命題的形式直接寫出命題的否定，并判斷真假即可.
【詳解】（1）命題的否定為：“所有實(shí)數(shù)都不是無限不循環(huán)小數(shù)”，
因?yàn)閷?shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以其為假命題；
（2）命題的否定為：“存在三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積不能被6整除”，
因?yàn)槿齻€(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)能被2整除，一個(gè)能被3整除，則三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積一定能被6整除，所以其為假命題；
（3）命題的否定為：“任意一個(gè)三角形都是中心對稱圖形”，
因?yàn)榈冗吶切尾皇侵行膶ΨQ圖形，所以其為假命題；
（4）命題的否定為：“任意整數(shù)不是4的倍數(shù)”，
當(dāng)時(shí)，不是4的倍數(shù)；當(dāng)時(shí)，不是4的倍數(shù)，所以其為真命題.
28．寫出下列命題的否定，并判斷真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)，使；
(3)，有.
【答案】(1)答案見解析;
(2)答案見解析;
(3)答案見解析.

【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定寫出命題的否定,
對(1)可根據(jù)正方形與菱形的關(guān)系判斷真假;
對(2)舉例說明不成立;
對(3)舉例說明成立.
【詳解】（1）命題的否定：正方形不都是菱形，是假命題．
（2）命題的否定：，有．因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，所以“，有”是假命題．
（3）命題的否定：，使．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以“，使”是真命題．
29．寫出下列命題的否定，并判斷真假.
(1)所有的矩形都是平行四邊形；
(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；
(3)有些實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)；
(4)某些平行四邊形是菱形.
【答案】(1)命題的否定：存在一個(gè)矩形不是平行四邊形，為假命題.
(2)命題的否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)，為真命題
(3)命題的否定：所有實(shí)數(shù)的絕對值都不是正數(shù)，為假命題
(4)命題的否定：每一個(gè)平行四邊形都不是菱形，為假命題.

【分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題的否定定義求解即可.
【詳解】（1）命題的否定：存在一個(gè)矩形不是平行四邊形，為假命題.
（2）命題的否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)，為真命題.
（3）命題的否定：所有實(shí)數(shù)的絕對值都不是正數(shù)，為假命題.
（4）命題的否定：每一個(gè)平行四邊形都不是菱形，為假命題.
30．已知全集，集合，集合．
(1)若，求實(shí)數(shù)的范圍；
(2)若，，使得，求實(shí)數(shù)的范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）可先求出，即時(shí)的范圍，即可求解；
（2）先得到，再列出不等式，即可求解
【詳解】（1）若，則，
當(dāng)時(shí)，則，，
當(dāng)時(shí)，則，則不存在，
綜上，，，實(shí)數(shù)的范圍為．
（2），，使得，
，且，
則，，
實(shí)數(shù)的范圍為．
31．已知集合，，且.
(1)若命題p：“，”是真命題，求m的取值范圍；
(2)若命題q：“，”是真命題，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)命題p為真命題，得到，從而得到不等式組，求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)命題q為真命題，得到，從而得到不等式組，求出m的取值范圍.
【詳解】（1）命題p：“，”是真命題，故，
所以，解得，
故m的取值范圍是.
（2）由于命題q為真命題，則，
因?yàn)?，所以，所?
當(dāng)時(shí)，一定有，
要想滿足，則要滿足，解得，
故時(shí)，，
故m的取值范圍為.
32．已知命題“滿足，使”，
(1)命題“”，若命題中至少一個(gè)為真，求實(shí)數(shù)的范圍.
(2)命題，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的范圍.
【答案】(1)或；
(2)

【分析】（1）先求出命題為真和假時(shí)的取值范圍，由此可得命題都為假命題時(shí)的取值范圍，進(jìn)而即可求解；
（2）記，由題意可得ü，由集合的包含關(guān)系，分類討論即可求解；
【詳解】（1）命題“滿足，使”，為真命題時(shí)，
，令，則，
所以，
所以命題為假時(shí)，則或，
命題“”，為真命題時(shí)，
，解得或，
所以命題為假時(shí)，則，
又因?yàn)槊}都為假命題時(shí)，，
即，
所以命題中至少一個(gè)為真時(shí)，實(shí)數(shù)的范圍是或；
（2）由（1）可知：命題為真命題時(shí)，，
記
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，
所以ü，
當(dāng)即，也即時(shí)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，
，解得；
綜上可知：實(shí)數(shù)的范圍是
33．已知命題，為假命題．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值集合A；
(2)設(shè)集合，若“”是“”的必要不充分條件，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程無解的條件即求解即可；
（2）根據(jù)題意先求得ü，再分情況求得的范圍即可．
【詳解】（1）解：命題的否命題為，為真，
且，
解得．
∴．
（2）解：由解得
，
若“”是“”的必要不充分條件，
則ü，
∴當(dāng)時(shí)，即，
解得；
當(dāng)時(shí)，，
解得，
綜上：或．
34．已知命題p：“，使不等式成立”是假命題．
(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合A；
(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）把特稱命題轉(zhuǎn)化為全稱命題，即可根據(jù)一元二次不等式恒成立問題得出答案；
（2）利用充分條件和必要條件的關(guān)系以及不等式的解法求出結(jié)果.
【詳解】（1）命題p：“，使不等式成立”是假命題，
則“，使不等式恒成立”是真命題，
故，解得，
故，即.
（2）由于命題：，整理得：，
由小問1得：，
由于是的充分不必要條件，
所以，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
35．已知命題：“，使得”為真命題．
(1)求實(shí)數(shù)m的取值的集合A；
(2)設(shè)不等式的解集為B，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)或；
(2)．

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的判別式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)必要不充分條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）命題“，使得”為真命題，
所以，
即，
解之得或，
所以實(shí)數(shù)m的取值的集合或；；
（2）不等式的解集為，
因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以ü，
則或，
所以或，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．


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