函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用
一、 奇偶性的定義、性質(zhì)及判定
1. 奇偶性的定義
偶函數(shù)
奇函數(shù)
定義域特征
設(shè)函數(shù)
的定義域?yàn)?，
，均有
對(duì)稱
，即關(guān)于
定義，都有，都有
等價(jià)定義若，則若，則
圖象對(duì)稱性關(guān)于對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱
示例
特殊性質(zhì)
若
，則
單調(diào)性在對(duì)稱區(qū)間有的單調(diào)性 在對(duì)稱區(qū)間有的單調(diào)性
2. 用定義法判定、證明奇偶性
定義域關(guān)于
原點(diǎn)對(duì)稱？
否
非奇非偶函數(shù)
是
與
奇函數(shù)
偶函數(shù)
的關(guān)系
與
無上述關(guān)系
非奇非
偶函數(shù)
3. 奇偶性的性質(zhì)
偶函數(shù)偶函數(shù)
偶函數(shù)奇函數(shù)
奇函數(shù)偶函數(shù)
奇函數(shù)奇函數(shù)
經(jīng)典例題
1. 下列圖象中能表示具有奇偶性的函數(shù)的是（ ）．
A.
C.
B.
D.
2. 解答下列各題：（ 1 ）設(shè)函數(shù)
和
分別是 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（ ）．
A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)
C.是偶函數(shù)D.是奇函數(shù)
（ 2 ）設(shè)函數(shù)， 的定義域?yàn)?，且是奇函數(shù)， 是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是
（ ）．
A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)
C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)
鞏固練習(xí)
3. 判斷函數(shù)奇偶性
．
4. 函數(shù)的奇偶性是（ ）．
A. 奇函數(shù)B. 偶函數(shù)
C. 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D. 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
5. 判斷下列函數(shù)的奇偶性．（ 1 ）
．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
二、 奇偶性應(yīng)用
1. 利用奇偶性求值
經(jīng)典例題
6. 已知， 分別是定義在 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則
（ ）．
A.B.C.D.
7. 已知，且，則．
8. 已知常數(shù) ，，若函數(shù)，是偶函數(shù)，則．
鞏固練習(xí)
9. 已知實(shí)數(shù) ， 滿足，則．
10. 若函數(shù)為奇函數(shù)，則 ＝（ ）．
A.B.C.D.
11. 函數(shù)在區(qū)間上滿足，則
的值為（ ）．
A.B.C.D.
12. 定義在
上的函數(shù)
滿足：對(duì)任意 、
都有
．試求：
的值．
2. 利用奇偶性求解析式
經(jīng)典例題
13. 已知函數(shù)是定義在 上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在 上的解析
式為．
14. 已知是定義在 上的偶函數(shù)， 是定義在 上的奇函數(shù)，且，求
， 的解析式．
鞏固練習(xí)
15. 已知是定義在 上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在 上的解析式是（
）．
A.B.C.D.
16. 已知為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)，且，求、 ．
3. 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、最值綜合
1. 奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性，若是奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大（?。┲?br>，則在區(qū)間上有最?。ù螅┲担婧瘮?shù)的最大值和最小值之和
為 ；
2. 偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性
，若
是偶函數(shù)，在區(qū)間
上有最大（小）值
，則在區(qū)間上也有最大（小）值．
3. 單調(diào)性與奇偶性綜合
①單調(diào)性解不等式的應(yīng)用前一講已經(jīng)介紹過．例如，已知函數(shù)單調(diào)增，可將不等式轉(zhuǎn)化
成．
②有一類題型，其形式為
，此類題目大概率是單調(diào)性與奇函數(shù)的綜合應(yīng)用．先移
其中一項(xiàng)，再利用奇函數(shù)將轉(zhuǎn)化成，然后利用單調(diào)性求解．例如奇函數(shù)在 上單調(diào)增，欲
解不等式，先移項(xiàng)，再利用奇函數(shù)定義
，最后利用單調(diào)性，即．
③單調(diào)性與偶函數(shù)綜合：例如偶函數(shù)在上單調(diào)增，欲解不等式，結(jié)合圖象分析，
可知其等價(jià)于．
單調(diào)性與奇偶性的綜合題目，一定要重視數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用！
經(jīng)典例題
17. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A. B. C. D.
是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是
18. 已知是定義在 上的偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，設(shè)，，，
則 ， ， 的大小關(guān)系是（ ）．
A.B.C.D.
19. 函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的 的取
值范圍是（ ）．
A.B.C.D.
20. 設(shè)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（
）．
A.或B.或
C.或D.或
21. 若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意 ，有
，且當(dāng)時(shí)，有，設(shè)的最大值、最小值分別
為 ， ，則的值為（ ）．
A.B.C.D.
22. 若關(guān)于 的函數(shù)的最大值為 ，最小值為 ，且
，則實(shí)數(shù) 的值為．
23. 定義在
（ 1 ）求
（ 2 ）若當(dāng)
上的函數(shù)
的值．
時(shí)，有
滿足：對(duì)任意的 ，
，求證：在
都有
上是單調(diào)遞減函數(shù)．
．
（ 3 ）在（ ）的條件下解不等式：．
鞏固練習(xí)
24. 設(shè)函數(shù)，則（ ）．
A. 是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B. 是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減
C. 是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D. 是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減
25. 已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域均為，且它們?cè)谏系膱D
象如圖所示，則不等式的解集是．
26. 已知函數(shù)在定義域 上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．若實(shí)數(shù) 滿足
，則的取值范圍是（ ）．
A. B. C. D.
27. 已知為定義在 上的奇函數(shù)，，且對(duì)任意的 ，時(shí)，當(dāng)
時(shí)，則不等式的解集為（ ）．
A.B.
C.D.
28. 已知，則在區(qū)間上的最大值和最小值之和等于（ ）．
A.B.C.D.
29. 已知函數(shù)．
（ 1 ）判斷函數(shù)（ 2 ）試判斷
（ 3 ）求函數(shù)
的奇偶性．
在區(qū)間
在區(qū)間
上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明．
上的最值．
30. 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) ， 恒有，且當(dāng)，，且
．
（ 1 ）判斷
的奇偶性．
（ 2 ）求在區(qū)間
（ 3 ）解關(guān)于 的不等式
上的最大值．
．
導(dǎo)圖總結(jié)
你學(xué)會(huì)了嗎？快用思維導(dǎo)圖來總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！
出門練
31. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）．
A. B. C. D.
32. 已知函數(shù)和 均為奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大值 ，那么
在上的最小值為（ ）．
A.B.C.D.
33. 已知是奇函數(shù)， 是偶函數(shù)，且，則（ ）．
A.B.C.D.
34. 已知函數(shù)的定義域是的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意 ， 都有
，且當(dāng)時(shí)，．
（ 1 ）求證： 是偶函數(shù)．
（ 2 ）在上是增函數(shù)．
（ 3 ）解不等式．
8

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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