TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc18811" 【題型1 勾股定理的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc18811 \h 1
\l "_Tc25252" 【題型2 直角三角形中的分類討論思想】 PAGEREF _Tc25252 \h 2
\l "_Tc9818" 【題型3 勾股定理解勾股樹問題】 PAGEREF _Tc9818 \h 2
\l "_Tc26070" 【題型4 勾股定理解動(dòng)點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc26070 \h 4
\l "_Tc7926" 【題型5 勾股定理的驗(yàn)證】 PAGEREF _Tc7926 \h 5
\l "_Tc1678" 【題型6 直角三角形的判定】 PAGEREF _Tc1678 \h 7
\l "_Tc27086" 【題型7 勾股數(shù)問題】 PAGEREF _Tc27086 \h 8
\l "_Tc14629" 【題型8 格點(diǎn)圖中求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc14629 \h 9
\l "_Tc19017" 【題型9 勾股定理及其逆定理的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc19017 \h 10
【知識(shí)點(diǎn)1 勾股定理】
在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角
邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．
【題型1 勾股定理的運(yùn)用】
【例1】（2022?和平區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．4C．3D．2
【變式1-1】（2022春?上杭縣期中）如圖在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．32B．74C．2D．52
【變式1-2】（2022春?漢陽(yáng)區(qū)期中）如圖，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，則CD＝ ．
【變式1-3】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一點(diǎn)，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，過AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF長(zhǎng)是 ．
【題型2 直角三角形中的分類討論思想】
【例2】（2022春?長(zhǎng)沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上的高為12．則△ABC的面積為（ ）
A．24或84B．84C．48或84D．48
【變式2-1】（2022春?寧津縣期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．42B．32C．42或32D．42或37
【變式2-2】（2022春?香河縣期中）已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為5和12，則此三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．30B．119+17C．119+17或30D．36
【變式2-3】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長(zhǎng)為 ．
【題型3 勾股定理解勾股樹問題】
【例3】（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，則正方形C的面積為（ ）
A．4B．6C．8D．12
【變式3-1】（2021秋?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，則S2＝（ ）
A．184B．86C．119D．81
【變式3-2】（2022春?泗水縣期中）有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你計(jì)算出“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積之和為（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【變式3-3】（2022春?張灣區(qū)期中）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，這個(gè)直角三角形三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長(zhǎng)為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（ ）

A．225B．250C．275D．300
【題型4 勾股定理解動(dòng)點(diǎn)問題】
【例4】（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)△APB為等腰三角形時(shí)，t的值為（ ）
A．62596或252B．252或24或12
C．62596或24或12D．62596或252或24
【變式4-1】（2021秋?宛城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝ s時(shí)，△BPC為直角三角形．
【變式4-2】（2022春?蚌山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A﹣B﹣C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）BC的長(zhǎng)是 ．
（2）當(dāng)點(diǎn)P剛好在∠BAC的角平分線上時(shí)，t的值為 ．
【變式4-3】（2022春?河?xùn)|區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止．
（1）P、Q出發(fā)4秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△CQB能形成直角三角形？
【題型5 勾股定理的驗(yàn)證】
【例5】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2
證明：連接DB，過點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a
∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．
又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）
∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．
【變式5-1】（2022春?巢湖市校級(jí)期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)B是正方形ACDE邊CD上一點(diǎn)，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請(qǐng)你寫出該方法證明勾股定理的過程．
【變式5-2】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）【閱讀理解】我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個(gè)正方形．其中四個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．
【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．
【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c．
求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【變式5-3】（2022春?壽光市期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．
（1）弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理．
（2）如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積．
（3）如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝ ．
【知識(shí)點(diǎn)2 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
【題型6 直角三角形的判定】
【例6】（2022春?綏寧縣期中）若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的有（ ）
①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【變式6-1】（2022春?贛州月考）下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．則△ABC為直角三角形
B．三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3
C．三內(nèi)角之比為3：4：5
D．三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）
【變式6-2】（2022春?漢濱區(qū)期中）若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，則（ ）
A．∠A為直角B．∠B為直角
C．∠C為直角D．△ABC不是直角三角形
【變式6-3】（2022春?開州區(qū)期中）下列是直角三角形的有（ ）個(gè)
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三內(nèi)角之比為3：4：7
③△ABC的三邊平方之比為1：2：3
④三角形三邊之比為3：4：5
A．1B．2C．3D．4
【題型7 勾股數(shù)問題】
【例7】（2022春?滑縣月考）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．
則當(dāng)a＝24時(shí)，b+c的值為（ ）
A．162B．200C．242D．288
【變式7-1】（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是 （結(jié)果用含m的式子表示）．
【變式7-2】（2022春?白云區(qū)期末）（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；
（2）如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．
【變式7-3】（2022?石家莊三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．
（1）當(dāng)n＝1999時(shí)，寫出整式A+B的值 （用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；
（2）求整式A2﹣B2；
（3）嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說明理由．
【題型8 格點(diǎn)圖中求角的度數(shù)】
【例8】（2021秋?伊川縣期末）如圖，正方形ABCD是由9個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的，點(diǎn)E，F(xiàn)均在格點(diǎn)（每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)）上，連接AE，AF，則∠EAF的度數(shù)是 ．
【變式8-1】（2022?惠山區(qū)一模）如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠PAB+∠PBA＝ °．
【變式8-2】（2022春?武侯區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，D，P都在格點(diǎn)上，連接AP，CP，CD，則∠PAB﹣∠PCD＝ ．
【變式8-3】（2022春?孝南區(qū)期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△ABC和△CDE的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么∠BCA+∠DCE＝ ．
【題型9 勾股定理及其逆定理的運(yùn)用】
【例9】（2021秋?藍(lán)田縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BD．
（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判斷AB與BD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度數(shù)．
【變式9-1】（2022春?陵城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD、BE分別為邊BC、AC的中線，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E．
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求證：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的長(zhǎng)．
【變式9-2】（2021春?當(dāng)涂縣期末）如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）試說明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長(zhǎng)．
【變式9-3】（2022春?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝102．
（1）求四邊形ABCD的面積．
（2）求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
專題17.1 勾股定理及其逆定理【九大題型】
【人教版】
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TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc18811" 【題型1 勾股定理的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc18811 \h 1
\l "_Tc25252" 【題型2 直角三角形中的分類討論思想】 PAGEREF _Tc25252 \h 5
\l "_Tc9818" 【題型3 勾股定理解勾股樹問題】 PAGEREF _Tc9818 \h 7
\l "_Tc26070" 【題型4 勾股定理解動(dòng)點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc26070 \h 10
\l "_Tc7926" 【題型5 勾股定理的驗(yàn)證】 PAGEREF _Tc7926 \h 14
\l "_Tc1678" 【題型6 直角三角形的判定】 PAGEREF _Tc1678 \h 19
\l "_Tc27086" 【題型7 勾股數(shù)問題】 PAGEREF _Tc27086 \h 22
\l "_Tc14629" 【題型8 格點(diǎn)圖中求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc14629 \h 24
\l "_Tc19017" 【題型9 勾股定理及其逆定理的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc19017 \h 27
【知識(shí)點(diǎn)1 勾股定理】
在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角
邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．
【題型1 勾股定理的運(yùn)用】
【例1】（2022?和平區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后設(shè)AC＝AE＝x，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，
∴DE＝CD＝1.5，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
BE=BD2?DE2=2．52?1．52=2，
∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE，
設(shè)AC＝AE＝x，則AB＝x+2，
由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，
即（x+2）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴AC＝3．
故選：C．
【變式1-1】（2022春?上杭縣期中）如圖在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．32B．74C．2D．52
【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，設(shè)CD＝x，則BD＝8﹣x，在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理求出x的值即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，
∴BC＝6，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴CD＝AD，
∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8，
設(shè)CD＝x，則BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得x＝6.25．
∴BD＝8﹣6.25＝1.75=74．
故選：B．
【變式1-2】（2022春?漢陽(yáng)區(qū)期中）如圖，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，則CD＝ ．
【分析】先作AE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，從而可以得到DE＝DF，再根據(jù)等面積法即可求得CD的長(zhǎng)．
【解答】解：作AE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖所示，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴CE＝8，
∴AD=AC2?CE2=102?82=6，
設(shè)∠CAD＝x，則∠CAD＝3x，
∵AE⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝2x，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴DE＝DF，
設(shè)CD＝a，則DE＝8﹣a，
∵CD?AE2=AC?DF2，
∴a×62=10×(8?a)2，
解得a＝5，
即CD＝5，
故答案為：5．
【變式1-3】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一點(diǎn)，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，過AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF長(zhǎng)是 ．
【分析】如圖作AH⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于H，設(shè)AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC=BD2?CD2=24k，在Rt△ACB中，由AC2+BC2＝AB2，可得（32k）2+（24k）2＝302，推出k=34，BC＝18，由△ADH≌△BDC，推出AH＝BC＝18，由S△ABD=12?BD?AH=12?AD?PF+12?BD?PF，推出PE+PF＝AH＝18，
【解答】解：如圖作AH⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于H，設(shè)AD＝BD＝25k，CD＝7k，
在Rt△DCB中，BC=BD2?CD2=24k，
在Rt△ACB中，∵AC2+BC2＝AB2，
∴（32k）2+（24k）2＝302，
∴k=34，
∴BC＝18，
在△ADH和△BDC中，
∠ADH=∠BDC∠H=∠C=90°AD=BD，
∴△ADH≌△BDC，
∴AH＝BC＝18，
∵S△ABD=12?BD?AH=12?AD?PF+12?BD?PF，
∴PE+PF＝AH＝18，
故答案為18．
【題型2 直角三角形中的分類討論思想】
【例2】（2022春?長(zhǎng)沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上的高為12．則△ABC的面積為（ ）
A．24或84B．84C．48或84D．48
【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分別進(jìn)行計(jì)算，求出BD和CD，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【解答】解：∵AB＝13，AC＝15，BC邊上的高AD＝12，
在Rt△ABD中，
BD=AB2?AD2=5，
在Rt△ACD中，
DC=AC2?AD2=9，
∴BC＝BD+DC＝14，BC＝DC﹣BD＝4，
∴△ABC的面積=12×14×12＝84，或=12×4×12=24；
故選：A．
【變式2-1】（2022春?寧津縣期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．42B．32C．42或32D．42或37
【分析】本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相加即為BC的長(zhǎng)，從而可將△ABC的周長(zhǎng)求出；
（2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相減即為BC的長(zhǎng)，從而可將△ABC的周長(zhǎng)求出．
【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說明：
（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在Rt△ABD中，
BD=AB2?AD2=9，
在Rt△ACD中，
CD=AC2?AD2=5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周長(zhǎng)為：15+13+14＝42；
（2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，
在Rt△ABD中，BD＝9，
在Rt△ACD中，CD＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周長(zhǎng)為：15+13+4＝32
∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為42；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為32．
綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)是42或32．
故選：C．
【變式2-2】（2022春?香河縣期中）已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為5和12，則此三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．30B．119+17C．119+17或30D．36
【分析】先設(shè)Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為x，由于12是直角邊還是斜邊不能確定，故應(yīng)分12是斜邊或x為斜邊兩種情況討論．
【解答】解：設(shè)Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為x，
①當(dāng)12為直角三角形的直角邊時(shí)，x為斜邊，
由勾股定理得，x=52+122=13，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)＝5+12+13＝30；
②當(dāng)12為直角三角形的斜邊時(shí)，x為直角邊，
由勾股定理得，x=122?52=119，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)＝5+12+119=119+17，
綜上所述，該三角形的周長(zhǎng)為30或119+17．
故選：C．
【變式2-3】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長(zhǎng)為 ．
【分析】當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC=AB2?AC2=3，
當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，∵BP＝6，BC＝6，
∴CP=BP2?BC2=62?32=33，
∴AP＝CP﹣AC＝33?4；
當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，∵BP′＝6，BC＝3，
∴CP′＝33，
∴AC+CP′＝4+33，
綜上所述，線段AP的長(zhǎng)為33?4或33+4；
故答案為：33?4或33+4．
【題型3 勾股定理解勾股樹問題】
【例3】（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，則正方形C的面積為（ ）
A．4B．6C．8D．12
【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由題意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，
∴24﹣S正方形C＝6+10，
∴S正方形C＝8．
故選：C．
【變式3-1】（2021秋?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，則S2＝（ ）
A．184B．86C．119D．81
【分析】利用勾股定理的幾何意義解答．
【解答】解：由題意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
連接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝135﹣49＝86，
故選：B．
【變式3-2】（2022春?泗水縣期中）有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你計(jì)算出“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積之和為（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【解答】解：由題意得，正方形A的面積為1，
由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積＝1，
∴“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，
同理可得，“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，
∴“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，
……
∴“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2023．
故選：D．
【變式3-3】（2022春?張灣區(qū)期中）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，這個(gè)直角三角形三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長(zhǎng)為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（ ）

A．225B．250C．275D．300
【分析】根據(jù)勾股定理、三角形的周長(zhǎng)公式分別求出AC＝4，BC＝3，AB＝5，根據(jù)勾股定理計(jì)算得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【解答】解：設(shè)AC＝4x，則BC＝3x，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=5x，
∵△ABC的周長(zhǎng)為12，
∴3x+4x+5x＝12，
解得：x＝1，
∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，
第1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+52＝25+50，
第2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，
第3次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50，
……
第10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：25×10+50＝300，
故選：D．
【題型4 勾股定理解動(dòng)點(diǎn)問題】
【例4】（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)△APB為等腰三角形時(shí)，t的值為（ ）
A．62596或252B．252或24或12
C．62596或24或12D．62596或252或24
【分析】當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時(shí)；②當(dāng)AB＝AP時(shí)；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，分別求出BP的長(zhǎng)度，繼而可求得t值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，
∴BC＝24cm．
①當(dāng)BP＝BA＝25時(shí)，
∴t=252．
②當(dāng)AB＝AP時(shí)，BP＝2BC＝48cm，
∴t＝24．
③當(dāng)PB＝PA時(shí)，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，
解得t=62596．
綜上，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t=252或24或62596，
故選：D．
【變式4-1】（2021秋?宛城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝ s時(shí)，△BPC為直角三角形．
【分析】首先根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長(zhǎng)度，利用三角形的面積求出斜邊上的高CD，再分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠BCP為直角時(shí)，②當(dāng)∠BPC為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的t值即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，
∴AB=BC2+AC2=402+302=50（cm）．
如圖，作AB邊上的高CD．
∵S△ABC=12AB?CD=12AC?BC，
∴CD=AC?BCAB=30×4050=24（cm）．
①當(dāng)∠BCP為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，BP＝BA＝50cm，
∴t＝50÷2＝25（秒）．
②當(dāng)∠BPC為直角時(shí)，P與D重合，BP＝2tcm，CP＝24cm，BC＝40cm，
在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，
∴（2t）2+242＝402，
解得t＝16．
綜上，當(dāng)t＝25或16秒時(shí)，△BPC為直角三角形．
故答案為：25或16．
【變式4-2】（2022春?蚌山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A﹣B﹣C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）BC的長(zhǎng)是 ．
（2）當(dāng)點(diǎn)P剛好在∠BAC的角平分線上時(shí)，t的值為 ．
【分析】（1）由勾股定理可直接求解；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥AB，結(jié)合題意，由角平分線的性質(zhì)可推得BP，PD，BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC=AB2?AC2=6，
故答案為：6；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，如圖．
∵AP平分∠BAC，BC⊥AC，PD⊥AB，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A﹣B﹣C運(yùn)動(dòng)．
∴PD＝PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，
∴AD＝AC＝8，
∴BD＝2．
在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，
解得t=203，
故答案為：203．
【變式4-3】（2022春?河?xùn)|區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止．
（1）P、Q出發(fā)4秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△CQB能形成直角三角形？
【分析】（1）根據(jù)題意可以先求出BQ和BP的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可求得PQ的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)題意可知存在兩種情況，然后分別計(jì)算出相應(yīng)的時(shí)間即可．
【解答】解：（1）由題意可得，
BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），
∵∠B＝90°，
∴PQ=BP2+BQ2=122+82=413（cm），
即PQ的長(zhǎng)為413cm；
（2）當(dāng)BQ⊥AC時(shí)，∠BQC＝90°，
∵∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
∴AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），
∵AB?BC2=AC?BQ2，
∴16×122=20BQ2，
解得BQ=485cm，
∴CQ=BC2?BQ2=122?(485)2=365（cm），
∴當(dāng)△CQB是直角三角形時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為：（12+365）÷2＝9.6（秒）；
當(dāng)∠CBQ＝90°時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：（12+20）÷2＝16（秒）；
由上可得，當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形．
【題型5 勾股定理的驗(yàn)證】
【例5】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2
證明：連接DB，過點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a
∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．
又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）
∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．
【分析】首先連接BD，過點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF＝b﹣a，表示出S五邊形ACBED，兩者相等，整理即可得證．
【解答】證明：連接BD，過點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF＝b﹣a，
∵S五邊形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，
又∵S五邊形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b﹣a），
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
【變式5-1】（2022春?巢湖市校級(jí)期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)B是正方形ACDE邊CD上一點(diǎn)，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請(qǐng)你寫出該方法證明勾股定理的過程．
【分析】連接BF，由圖1可得正方形ACDE的面積為b2，由圖2可得四邊形ABDF的面積為三角形ABF與三角形BDF面積之和，再利用正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等即可證明．
【解答】證明：如圖，連接BF，
∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面積為b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAE為等腰直角三角形，
∴四邊形ABDF的面積為：12c2+12（b﹣a）（a+b）=12c2+12（b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，
∴b2=12c2+12（b2﹣a2），
∴b2=12c2+12b2?12a2，
∴12a2+12b2=12c2，
∴a2+b2＝c2．
【變式5-2】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）【閱讀理解】我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個(gè)正方形．其中四個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．
【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．
【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c．
求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【分析】【嘗試探究】根據(jù)閱讀內(nèi)容，圖中梯形的面積分別可以表示為ab+12（a2+b2）＝ab+12c2，即可證得a2+b2＝c2；
【定理應(yīng)用】分解因式，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為S=12（a+b）（b+a）＝ab+12（a2+b2），
利用分割法，梯形的面積為S＝△ABC+S△ABE+SADE=12ab+12c2+12ab＝ab+12c2，
∴ab+12（a2+b2）＝ab+12c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理應(yīng)用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【變式5-3】（2022春?壽光市期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．
（1）弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理．
（2）如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積．
（3）如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝ ．
【分析】（1）通過圖中小正方形面積證明勾股定理；
（2）可設(shè)AC＝x，根據(jù)勾股定理列出方程可求x，再根據(jù)直角三角形面積公式計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)圖形的特征得出四邊形MNKT的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，從而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解答】解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
則a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
設(shè)AC＝x，依題意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
12×（3+1）×3×4
=12×4×3×4
＝24．
故該飛鏢狀圖案的面積是24．
（3）將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y=403，
∴S2＝x+4y=403．
故答案為：403．
【知識(shí)點(diǎn)2 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
【題型6 直角三角形的判定】
【例6】（2022春?綏寧縣期中）若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的有（ ）
①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理一一判斷即可．
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝75°，不是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴是直角三角形；
④∵∠A＝∠B=12∠C，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，是直角三角形；
⑤∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
a2+c2＝b2，是直角三角形；
⑥∵a：b：c＝5：12：13，
∴52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，是直角三角形；
故選：C．
【變式6-1】（2022春?贛州月考）下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．則△ABC為直角三角形
B．三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3
C．三內(nèi)角之比為3：4：5
D．三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）
【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長(zhǎng)邊的平方，看看是否相等，即可判斷選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)D；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)，即可判斷選項(xiàng)C．
【解答】解：A．∵a=35c，b=45c，
∴a2+b2=925c2+1625c2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3（1+2＝3），
∴此三角形的兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，
∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∵三角形的三內(nèi)角之比為3：4：5，三角形的內(nèi)角和等于180°，
∴最大角的度數(shù)是53+4+5×180°＝75°＜90°，
∴此三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
D．∵c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n，
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（1+n2）2＝1+2n2+n4，
∴c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【變式6-2】（2022春?漢濱區(qū)期中）若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，則（ ）
A．∠A為直角B．∠B為直角
C．∠C為直角D．△ABC不是直角三角形
【分析】根據(jù)已知條件可得a2+c2＝b2，即可判定△ABC的形狀．
【解答】解：∵（a﹣c）2＝b2﹣2ac，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，
故選：B．
【變式6-3】（2022春?開州區(qū)期中）下列是直角三角形的有（ ）個(gè)
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三內(nèi)角之比為3：4：7
③△ABC的三邊平方之比為1：2：3
④三角形三邊之比為3：4：5
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：①∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵△ABC的三內(nèi)角之比為3：4：7，
∴△ABC中最大角的度數(shù)為：180°×73+4+7=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵△ABC的三邊平方之比為1：2：3，
∴設(shè)三邊的平方分別為k，2k，3k，
∵k+2k＝3k，
∴△ABC是直角三角形；
④∵三角形三邊之比為3：4：5，
∴設(shè)三邊分別為3a，4a，5a，
∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，
∴△ABC是直角三角形，
所以，上列是直角三角形的有4個(gè)，
故選：D．
【題型7 勾股數(shù)問題】
【例7】（2022春?滑縣月考）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．
則當(dāng)a＝24時(shí)，b+c的值為（ ）
A．162B．200C．242D．288
【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出b、c的值，再求出答案即可．
【解答】解：從表中可知：a依次為6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24＝2×（10+2），
b依次為8，15，24，35，48，…，即當(dāng)a＝24時(shí)，b＝122﹣1＝143，
c依次為10，17，26，37，50，…，即當(dāng)a＝24時(shí)，c＝122+1＝145，
所以當(dāng)a＝24時(shí)，b+c＝143+145＝288．
故選：D．
【變式7-1】（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是 （結(jié)果用含m的式子表示）．
【分析】根據(jù)題意得2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵m為正整數(shù)，
∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，
根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2+1，
綜上所述，其弦是m2+1，
故答案為：m2+1．
【變式7-2】（2022春?白云區(qū)期末）（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；
（2）如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可判斷3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是不是一組勾股數(shù)；
（2）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可判斷ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是不是一組勾股數(shù)．
【解答】證明：（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由如下：
∵k是正整數(shù)，
∴3k，4k，5k都是正整數(shù)，
∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，
∴3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)；
（2）ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由如下：
∵a，b，c是一組勾股數(shù)，且k是正整數(shù)，
∴ak，bk，ck是三個(gè)正整數(shù)，
∵a2+b2＝c2，
∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2，
∴ak，bk，ck（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)．
【變式7-3】（2022?石家莊三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．
（1）當(dāng)n＝1999時(shí)，寫出整式A+B的值 （用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；
（2）求整式A2﹣B2；
（3）嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，把n＝1999代入計(jì)算應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表示方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（2）把A＝n2+1，B＝2n，代入A2﹣B2中，可得（n2+1）2﹣（2n）2，應(yīng)用完全平方公式及因式分解的方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（3）先計(jì)算B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2，計(jì)算可得（n2+1）2，應(yīng)用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【解答】解：（1）A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，
當(dāng)n＝1999時(shí)，
原式＝（1999+1）2
＝20002
＝4×106；
故答案為：4×106；
（2）A2﹣B2＝（n2+1）2﹣（2n）2
＝（n2）2+2n2+1﹣4n2
＝（n2）2﹣2n2+1
＝（n2﹣1）2；
（3）嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：
∵B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+（n2）2﹣2n2+1
＝（n2+1）2，
∴B2+C2＝A2，
∴當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)．
【題型8 格點(diǎn)圖中求角的度數(shù)】
【例8】（2021秋?伊川縣期末）如圖，正方形ABCD是由9個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的，點(diǎn)E，F(xiàn)均在格點(diǎn)（每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)）上，連接AE，AF，則∠EAF的度數(shù)是 ．
【分析】先連接EF，然后根據(jù)勾股定理可以求得AE、EF、AF的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△AEF的形狀，再根據(jù)AE和EF的關(guān)系，即可得到∠EAF的度數(shù)．
【解答】解：連接EF，如右圖所示，
設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，
則AE=12+22=5，EF=12+22=5，AF=12+32=10，
∴AE2+EF2＝（5）2+（5）2＝5+5＝10＝（10）2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，
又∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
故答案為：45°．
【變式8-1】（2022?惠山區(qū)一模）如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠PAB+∠PBA＝ °．
【分析】延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，根據(jù)勾股定理和逆定理證明∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，
則PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案為：45．
【變式8-2】（2022春?武侯區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，D，P都在格點(diǎn)上，連接AP，CP，CD，則∠PAB﹣∠PCD＝ ．
【分析】連接AE，PE，求出∠PAB﹣∠PCD＝∠PAE，根據(jù)勾股定理求出AP、PE、AE，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△PAE是直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可．
【解答】解：如圖所示：連接AE，PE，
則△PCD≌△EAF，
所以∠PCD＝∠EAF，
∴∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAF＝∠PAE，
∵由勾股定理得：AP2＝PE2＝22+12＝5，AE2＝32+12＝10，
∴AP2+PE2＝AE2，
∴△PAE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝45°，
即∠PAB﹣∠PCD＝∠PAE＝45°，
故答案為：45°．
【變式8-3】（2022春?孝南區(qū)期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△ABC和△CDE的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么∠BCA+∠DCE＝ ．
【分析】連接AD，構(gòu)建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，最后根據(jù)平角的定義可得結(jié)論．
【解答】解：連接AD，
由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
觀察圖形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝45°，∠ECG＝45°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣45°﹣45°﹣45°＝45°，
故答案為：45°．
【題型9 勾股定理及其逆定理的運(yùn)用】
【例9】（2021秋?藍(lán)田縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BD．
（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判斷AB與BD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度數(shù)．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；
（2）由三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝31°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠ABC＝31°，則可得出答案．
【解答】解：（1）AB⊥BD．
理由：∵AC＝8，AD＝17，BD＝15，
∴AC2+BD2＝82+152＝289，AD2＝289，
∴AC2+BD2＝AD2，
∴∠DBA＝90°，
∴AB⊥DB；
（2）∵∠D＝28°，∠DBC＝121°，
∴∠C＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝31°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝31°，
∴∠DAB＝∠C+∠ABC＝31°+31°＝62°．
【變式9-1】（2022春?陵城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD、BE分別為邊BC、AC的中線，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E．
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求證：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義和勾股定理即可求解．
【解答】（1）證明：∵AD、BE分別為邊BC、AC的中線，CD＝4，CE＝3，
∴AC＝6，BC＝8，
∵AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2，
∵AD、BE分別為邊BC、AC的中線，
∴CD=12BC，CE=12AC，
∴AC2+（12BC）2＝36，BC2+（12AC）2＝64，
∴54AC2+54BC2＝100，
∴AC2+BC2＝80，
∴AB=AC2+BC2=45．
【變式9-2】（2021春?當(dāng)涂縣期末）如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）試說明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接BE，依據(jù)DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根據(jù)AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，進(jìn)而得到△BCE是直角三角形；
（2）依據(jù)勾股定理可得BE的長(zhǎng)為10，再根據(jù)勾股定理即可得到方程162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解方程即可得出CE的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）如圖所示，連接BE，
∵D是AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)D，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AE2﹣CE2＝BC2，
∴BE2﹣CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）Rt△BDE中，BE=DE2+BD2=62+82=10，
∴AE＝10，
設(shè)CE＝x，則AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，
Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，
Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，
∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，
解得x＝2.8，
∴CE＝2.8．
【變式9-3】（2022春?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝102．
（1）求四邊形ABCD的面積．
（2）求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接AC，然后根據(jù)勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ACD的形狀，從而可以求得四邊形ABCD的面積；
（2）作DE⊥BC，然后根據(jù)三角形全等和勾股定理，可以求得對(duì)角線BD的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）連接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∵CD＝10，AD＝102，
∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（102）2＝200，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四邊形ABCD的面積是：AB?BC2+AC?CD2=6×82+10×102=24+50＝74，
即四邊形ABCD的面積是74；
（2）作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠DEC＝90°，
∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠CAB，
在△ABC和△CED中，
∠ABC=∠CED∠CAB=∠DCEAC=CD，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE，BC＝ED，
∵AB＝6，BC＝8，
∴CE＝6，ED＝8，
∴BE＝BC+CE＝8+6＝14，
∴BD=BE2+ED2=142+82=265．
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

17.1 勾股定理

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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