?2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬科版】
專題18.2勾股定理的逆定理
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2021秋?邗江區(qū)期末）以下列各組數(shù)為邊長能組成直角三角形的是（　　）
A．2、3、4 B．、、 C．32、42、52 D．6、8、10
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
【解析】A、22+32≠42，故不能組成直角三角形；
B、（）2+（）2≠（）2，故不能組成直角三角形；
C、（32）2+（42）2≠（52）2，故不能組成直角三角形；
D、62+82＝102，故能組成直角三角形．
故選：D．
2．（2020秋?昌圖縣期末）下列幾組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長的是（　?。?br /> A．4，9，11 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，15，17
【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，看看是否相等即可．
【解析】A．∵42+92≠112，
∴以4，9，11為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
B．∵62+82＝102，
∴以6，8，10為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∵72+242＝252，
∴以7，24，25為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∵82+152＝172，
∴以8，15，17為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
3．（2021秋?市中區(qū)期末）下列不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a(chǎn)2+b2﹣c2＝0 B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方或最大角是否是90°即可．
【解析】A、由a2+b2﹣c2＝0，可得a2+b2＝c2，故是直角三角形，不符合題意；
B、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°×＝75°，故不是直角三角形，符合題意；
D、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故是直角三角形，不符合題意；
故選：C．
4．（2021秋?碑林區(qū)校級月考）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC為直角三角形的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝32，b＝42，c＝52 B．a(chǎn)：b：c＝5：12：13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷選項(xiàng)B、C、D是否符合題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可以判斷選項(xiàng)B是否符合題意，本題得以解決．
【解析】a＝32，b＝42，c＝52，則a2+b2≠c2，故選項(xiàng)A符合題意；
當(dāng)a：b：c＝5：12：13時，設(shè)a＝5x，b＝12x，c＝13x，則a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故選項(xiàng)B不符合題意；
由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故選項(xiàng)C不符合題意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：A．
5．（2021秋?禪城區(qū)期末）如圖有一個水池，水面BE的寬為16尺，在水池的中央有一根蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這個蘆葦?shù)母叨仁牵ā　。?br />
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【分析】先設(shè)水池的深度為x尺，則這根蘆葦?shù)拈L度為（x+2）尺，根據(jù)勾股定理可得方程x2+82＝（x+2）2，再解即可．
【解析】設(shè)水池的深度為x尺，由題意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：這個蘆葦?shù)母叨仁?7尺．
故選：C．
6．（2021春?辛集市期末）如圖，一棵大樹在離地面3m，5m兩處折成三段，中間一段AB恰好與地面平行，大樹頂部落在離大樹底部6m處，則大樹折斷前的高度是（　　）

A．9m B．14m C．11m D．10m
【分析】作BD⊥OC于點(diǎn)D，首先由題意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，然后根據(jù)OC＝6米，得到DC＝4米，最后利用勾股定理得BC的長度即可．
【解析】如圖，作BD⊥OC于點(diǎn)D，
由題意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），
∴大樹的高度為5+5＝10（m），
故選：D．

7．（2021秋?長春期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，則（　?。?br /> A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能確定
【分析】由勾股逆定理即可得到答案．
【解析】∵AC2﹣BC2＝AB2，
∴AC2＝BC2+AB2，
∴∠B＝90°．
故選：B．
8．（2020春?大冶市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（　?。?br /> A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【解析】如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正確；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B錯誤；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，
則x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
則3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正確；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
則如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正確；
故選：B．
9．（2020?巴中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺．利用勾股定理解題即可．
【解析】設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，
根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原處還有4.55尺高的竹子．
故選：B．
10．（2020秋?灤南縣期末）如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，則平板車的長最多為（　?。?br />
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】如圖，先設(shè)平板手推車的長度為x米，則得出x為最大值時，平板手推車所形成的△CBP為等腰直角三角形．連接PO，與BC交于點(diǎn)N，利用△CBP為等腰直角三角形即可求得平板手推車的長度不能超過多少米．
【解析】設(shè)平板手推車的長度為x米，
當(dāng)x為最大值，且此時平板手推車所形成的△CBP為等腰直角三角形．
連接PO，與BC交于點(diǎn)N．
∵直角通道的寬為2m，
∴PO＝4m，
∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．
又∵△CBP為等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．
故選：C．

二．填空題（共8小題）
11．（2020秋?通州區(qū)期末）如圖中的每個小方格都是邊長為1的正方形，那么∠ABC的度數(shù)是　45°?。?br />
【分析】根據(jù)勾股定理即可求得△ABC的三邊的長，由勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀，進(jìn)而可得答案．
【解析】根據(jù)勾股定理即可得到：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
∵BC2+AC2＝10+10＝20＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
故答案為：45°．
12．在△ABC中，如果AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，則△ABC是　直角　三角形，其中∠　BAC?。?0°．
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判斷△ABC的形狀，然后即可寫出哪個角等于90°，本題得以解決．
【解析】∵AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，
∴AB2+AC2
＝（m2﹣n2）2+（2mn）2
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2
＝m4+2m2n2+n4
＝（m2+n2）2，
BC2＝（m2+n2）2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
故答案為：直角、BAC．
13．（2021秋?臥龍區(qū)期末）某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時，梯子底端A到左墻的距離AE為0.7m，梯子頂端D到地面的距離DE為2.4m，若梯子底端A保持不動，將梯子斜靠在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為1.5m，則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為 　2.7　m．

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，同理可得出AB的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+1.52＝6.25，
∴AB2＝4．
∵AB＞0，
∴AB＝2米．
∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米．
答：小巷的寬度BE為2.7米，
故答案為：2.7．
14．（2021秋?市北區(qū)期末）如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）到公路（直線l）的距離為300米，到公交車站（D點(diǎn)）的距離為500米，現(xiàn)要在公路邊上建一個商店（C點(diǎn)），使之到學(xué)校A及到車站D的距離相等，則商店C與車站D之間的距離是 　312.5　米．

【分析】過點(diǎn)A作AB⊥l于B，根據(jù)勾股定理解答即可．
【解析】過點(diǎn)A作AB⊥l于B，則AB＝300m，AD＝500m．
∴BD＝＝400m，
設(shè)CD＝xm，則CB＝（400﹣x）m，
根據(jù)勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，
x2＝160000+x2﹣800x+3002，
800x＝250000，
x＝312.5．
答：商店與車站之間的距離為312.5米，
故答案為：312.5．

15．（2021?昭通模擬）在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC邊所在直線上的點(diǎn)，AD＝12，BD＝9，則BC＝　25或7?。?br /> 【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)D在線段BC上或點(diǎn)D在CB的延長線上．依據(jù)勾股定理的逆定理即可得到∠ADC為直角，再根據(jù)勾股定理即可得到CD的長，進(jìn)而利用線段的和差關(guān)系得出BC的長．
【解析】如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以點(diǎn)D不在BC的延長線上．
綜上所述，BC的長度為25或7．
故答案為：25或7．


16．（2020春?東麗區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，則AC＝　?。?br />
【分析】根據(jù)BC＝2，DB＝1，CD＝，利用勾股定理的逆定理可以判斷△CDB的形狀，然后根據(jù)勾股定理即可得到AC的長，本題得以解決．
【解析】∵BC＝2，DB＝1，CD＝，
∴DB2+CD2＝1+3＝4＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∵AB＝4，BD＝1，
∴AD＝3，
∴AC＝＝＝2，
故答案為：2．
17．（2021秋?大埔縣期末）如圖，有一四邊形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，則四邊形ABCD的面積為　36　．

【分析】連接BD，先根據(jù)勾股定理求出BD，進(jìn)而判斷出△BCD是直角三角形，最后用面積的和即可求出四邊形ABCD的面積．
【解析】如圖，連接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根據(jù)勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD為直角三角形，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB?AD+BC?BD
＝×3×4+×12×5
＝36．
故答案為：36．

18．（2019秋?市南區(qū)期末）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點(diǎn)160m處有一所醫(yī)院A，當(dāng)卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到噪聲的影響．若已知卡車的速度為250米/分鐘，則卡車P沿道路ON方向行駛一次時，給醫(yī)院A帶來噪聲影響的持續(xù)時間是　0.48　分鐘．

【分析】（1）作AD⊥ON于D，以A為圓心50m為半徑畫圓，交ON于B、C兩點(diǎn)，求出BC的長，利用時間＝計(jì)算即可．
【解析】作AD⊥ON于D，
∵∠MON＝30°，AO＝160m，
∴AD＝OA＝80m，
以A為圓心100m為半徑畫圓，交ON于B、C兩點(diǎn)，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝60m，
∴BC＝120m，
∵卡車的速度為250米/分鐘，
∴卡車經(jīng)過BC的時間＝120÷250＝0.48分鐘，
故答案為：0.48．

三．解答題（共6小題）
19．（2020秋?郫都區(qū)期末）如圖，把一塊直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地劃出一個三角形（△ADC）后，測得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．
（1）求證：∠ADC＝90°；
（2）求圖中陰影部分土地的面積．

【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝5米，再由勾股定理的逆定理證出∠ADC＝90°即可；
（2）由三角形面積公式求解即可．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
∴AC＝＝＝5（米），
∵CD＝3米，AD＝4米，
∴AD2+CD2＝AC2＝25，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：圖中陰影部分土地的面積＝A×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．
20．（2021秋?高新區(qū)月考）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1．
（1）△ABC的面積；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．

【分析】（1）利用矩形的面積減去三個直角三角形的面積求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可作出判斷．
【解析】（1）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2＝5，
（2）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
21．（2021秋?丹陽市期中）如圖，有一塊四邊形的綠地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．
（1）判斷△ACD的形狀；
（2）求這塊綠地ABCD的面積．

【分析】（1）由勾股定理求出AC，根據(jù)AC2+CD2＝AD2即可判定△ACD為直角三角形；
（2）由直角三角形面積即可計(jì)算該綠地的面積．
【解析】（1）∵∠B＝90°，
在直角△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（m），
∵52+122＝132，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD，
∴S四邊形ABCD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36（m2），
答：該綠地ABCD的面積為36m2．
22．（2020?廬江縣一模）英雄的武漢人民在新冠肺炎疫情來臨時，遵照黨中央指示：武漢封城．經(jīng)過76天封城于4月8日解封．小紅同學(xué)與小穎同學(xué)相約在公園一角相距200m放風(fēng)箏．已知小紅的風(fēng)箏線和水平線成30°，小穎的風(fēng)箏線和水平線成45°，在某一時刻他們風(fēng)箏正好在空中相遇（如圖所示），求風(fēng)箏的高度．即在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，AD⊥BC，D為垂足，BC＝200m，求AD．

【分析】根據(jù)直角三角形的邊長關(guān)系和解直角三角形的應(yīng)用解答即可．
【解析】設(shè)AD＝xcm，在Rt△ADC中，∠ACB＝45°，
∴CD＝x，BD＝200﹣x，
在Rt△ADB中，∠ABC＝30°，tanB＝，
即tan30°＝，
，
解得：x＝100（﹣1）米，
答：AD約為100（﹣1）米．
23．（2020秋?太平區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點(diǎn)D是Rt△ABC外一點(diǎn)，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的長；
（2）求證：△BCD是直角三角形．

【分析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長；
（2）利用勾股定理逆定理即可證明△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；

（2）證明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
24．（2021秋?蘭考縣期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為ts．
（1）求BC邊的長；
（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時，求t的值．

【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）①由題意得：BP＝tcm，分兩種情況：①當(dāng)∠APB＝90°時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則BP＝BC＝4cm，得t＝4；
②當(dāng)∠BAP＝90°時，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可．
【解析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm）；
（2）由題意得：BP＝tcm，分兩種情況：
①當(dāng)∠APB＝90°時，如圖1所示：
點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②當(dāng)∠BAP＝90°時，如圖2所示：
則CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t＝；
綜上所述，當(dāng)△ABP為直角三角形時，t的值為4s或s．


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初中數(shù)學(xué)滬科版八年級下冊電子課本

18.2 勾股定理的逆定理

版本： 滬科版

年級： 八年級下冊

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