第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共9個(gè)小題，每小題4分，共36分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．的相反數(shù)是（ ）
A．B．2024C．D．
1.B
【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0，據(jù)此求解即可．
【解析】的相反數(shù)是2024，故選：B．
2．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2.D
【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．
【解析】A．該圖形不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
B．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C．該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
D．該圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意．
故選：D．
3．如圖，直線，點(diǎn)A在直線n上，點(diǎn)B在直線m上，連接，過點(diǎn)A作，交直線m于點(diǎn)C．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3.D
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，結(jié)合已知條件即可求出的度數(shù)．
【解析】如圖所示，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，故選：D．
4．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
4.C
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法與除法，積的乘方，合并同類項(xiàng)．根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法、積的乘方、同類項(xiàng)合并計(jì)算即可．
【解析】A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，故本選項(xiàng)正確；
D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
5．點(diǎn)和在一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象上，已知，當(dāng)時(shí)，，則一次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5.D
【分析】本題主要考查了判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)，根據(jù)題意可得一次函數(shù)中y隨x增大而減小，則可得，，據(jù)此可得一次函數(shù)的圖象進(jìn)過第二、三、四象限，據(jù)此可得答案．
【解析】∵當(dāng)時(shí)，，∴一次函數(shù)中y隨x增大而減小，∴，
∵，∴，∴一次函數(shù)的圖象進(jìn)過第二、三、四象限，故選：D．
6．如圖，已知是⊙O的直徑，弦，垂足為E，，，則的長為（ ）
A．B．5C．D．
6.A
【分析】此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、以及三角函數(shù)的應(yīng)用，連接，由圓周角定理得出 根據(jù)垂徑定理可得證出為等腰直角三角形， 利用特殊角的三角函數(shù)可得答案，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
【解析】連接，如圖所示：
∵是的直徑， 弦
為等腰直角三角形，
故選：A．
7．據(jù)初步統(tǒng)計(jì)，合肥園博園自2023年9月26日開園至12月26日，累計(jì)接待游客約632萬人，第1個(gè)月接待游客約為105萬人，如果每月比上月增長的百分?jǐn)?shù)為相同的x，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
7.C
【分析】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，設(shè)每月比上月增長的百分?jǐn)?shù)為相同的x，則第2個(gè)月接待游客約為萬人，第3個(gè)月接待游客約為萬人，再根據(jù)3個(gè)月累計(jì)接待游客約632萬人列出對(duì)應(yīng)的方程即可．
【解析】設(shè)每月比上月增長的百分?jǐn)?shù)為相同的x，
由題意得，，
故選：C．
8．如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．是的平分線B．
C．點(diǎn)在線段的垂直平分線上D．
8.D
【分析】本題考查的是角平分線的含義，線段的垂直平分線的判定，含的直角三角形的性質(zhì)，A根據(jù)作圖的過程可以判定是的角平分線；B利用角平分線的定義可以推知，則由直角三角形的性質(zhì)來求的度數(shù)；C利用等角對(duì)等邊可以證得，由線段垂直平分線的判定可以證明點(diǎn)在的垂直平分線上；D利用角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求出，進(jìn)而可得，則．
【解析】根據(jù)作圖方法可得是的平分線，故A正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，故B正確，不符合題意；
∵，
∴，
∴點(diǎn)在的垂直平分線上，故C正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
則，故D錯(cuò)誤，符合題意，
故選：D．
9．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④關(guān)于的方程有一個(gè)根為．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9.C
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．①根據(jù)拋物線的開口方向，對(duì)稱軸，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷，，與的大小關(guān)系；②將代入二次函數(shù)，可得；③根據(jù)題意可得，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)位于軸負(fù)半軸，即可判斷該結(jié)論是否正確；④求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，結(jié)合，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】①∵拋物線開口向下，
∴．
將代入二次函數(shù)解析式，得．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∵點(diǎn)位于軸負(fù)半軸，
∴．
∵對(duì)稱軸，
∴．
∴．結(jié)論①正確．
②將代入二次函數(shù)，得
．
根據(jù)二次函數(shù)圖象可知．結(jié)論②錯(cuò)誤．
③∵，，
∴．
又點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)位于軸負(fù)半軸，
∴．
∴．結(jié)論③正確．
④∵，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)位于軸負(fù)半軸，點(diǎn)位于軸正半軸，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，可得
．
化簡，得
．
因?yàn)閷?duì)稱軸，
所以，．
將代入，得
．
可得
．
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
根據(jù)題意可得
．
則．
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
所以，關(guān)于的方程的兩個(gè)解為，．
結(jié)論④正確．
綜上所述，結(jié)論正確的為①③④．
故選：C．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
10．要使根式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是 ．
10.
【分析】本題考查二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)大于等于0”求解即可．
【詳解】根據(jù)題意得：，
解得：，
故答案為：．
11．分解因式： ．
11.
【分析】此題主要考查了提取公因式與公式法分解因式，熟練掌握分解因式的步驟是解題關(guān)鍵．首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出即可．
【解析】
故答案為：．
12．一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于一個(gè)外角的倍，則這個(gè)正多邊形是正 邊形．
12.五
【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和和外角和問題，熟記正多邊形的內(nèi)角和度數(shù)公式是解題關(guān)鍵．由題意得該正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的倍，據(jù)此即可求解．
【解析】∵該正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于一個(gè)外角的倍，
∴該正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的倍，
設(shè)此多邊形的邊數(shù)為，則有：，
解得：，
故答案為：五．
13．已知圓錐的母線長為，側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐的高是 ．
13.15
【分析】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，以及利用扇形面積公式求出是解題的關(guān)鍵．
圓錐的側(cè)面積底面半徑母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求得圓錐的底面半徑，從而利用勾股定理求得圓錐的高．
【解析】設(shè)底面半徑為
則，
解得，
圓錐的高為．
故答案為：15．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)在軸上，，，為上一點(diǎn)，，分別平分，，點(diǎn)，落在反比例函數(shù)（常數(shù)，）的圖象上，若的面積為6，則 ．
14.8
【分析】過D作于H，過C作于E，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到，設(shè)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，利用坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求得，然后利用梯形面積公式求解即可．
【解析】過D作于H，過C作于E，
∵點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，∴,則，
設(shè)，
∵，分別平分，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，解得，故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、坐標(biāo)與圖形、角平分線的性質(zhì)、梯形的面積公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合思想以及系數(shù)k的幾何意義得到是解答的關(guān)鍵．
15．如圖，在矩形ABCD中，，動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)且，連接，則長度的最小值為 ．
15.
【分析】以為底邊向下作等腰三角形，使得，以點(diǎn)O為圓心，以為半徑作圓，則點(diǎn)P在劣弧上，連接交劣弧于點(diǎn)，連接，分析得到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，最小，再求解即可．
【解析】以為底邊向下作等腰三角形，使得，以點(diǎn)O為圓心，以為半徑作圓，則點(diǎn)P在劣弧上，連接交劣弧于點(diǎn)，連接，
∵，∴，
∵，∴，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，最小，
過點(diǎn)分別作交的延長線于點(diǎn)E，則，
∵，
∴，
，
∵,
∴在中，，
∴，
即的最小值為．
故答案為：
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（11分）（1）計(jì)算：；
（2）解不等式組：并求出它的正整數(shù)解．
16.（1）；（2），正整數(shù)解為:1、2、3、4、5
【解析】（1）
；
（2），
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式組的解集為：，
原不等式組的正整數(shù)解1、2、3、4、5．
17．（11分）先化簡，再求值．
（1），其中，x是使得不等式2x﹣3＜1成立的最大整數(shù)：
（2）[（2a﹣b）2﹣（b﹣2a）（2a+b）+4a2]÷（a），其中a，b滿足|2a+b﹣2|+（b+2）2＝0．
17.（1），；（2）-48a+16b，-128．
【解析】（1）
，
由2x-3＜1得：x＜2，
∵x是使得不等式2x-3＜1成立的最大整數(shù)，
∴x=1，
當(dāng)x=1時(shí)，原式=-；
（2）[(2a-b)2-(b-2a)(2a+b)+4a2]÷(-a)
=（4a2-4ab+b2-b2+4a2+4a2）?（-）
=（12a2-4ab）?（-）
=-48a+16b，
∵|2a+b-2|+(b+2)2=0，
∴，
解得，
當(dāng)a=2，b=-2時(shí)，原式=-48×2+16×(-2)=-128．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值、整式的化簡求值、解一元一次不等式、解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確明確它們各自計(jì)算方法．
18．（11分）已知，如圖，在中，，是的中線，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接并延長到E，使，連接、．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求菱形的面積．
18.(1)詳見解析；(2)
【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵是中線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
（2）解：連接，
，
∴四邊形是平行四邊形，
，
是中線，
，
，
，
∵四邊形是菱形，
∴菱形的面積為．
19．（10分）第十九屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行．“跳水”是學(xué)生喜歡的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一，為了解學(xué)生對(duì)“跳水”知識(shí)的了解程度，某學(xué)校從200名喜歡“跳水”運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了50學(xué)生進(jìn)行了測試，將他們的成績（百分制）分成五組，繪制成如下頻數(shù)直方圖．
(1)已知這組的數(shù)據(jù)為91、95、97、94、92、98、92，92．則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______，眾數(shù)是______；
(2)根據(jù)題中信息，如果這200名喜歡“跳水”運(yùn)動(dòng)的學(xué)生全部進(jìn)行測試，估計(jì)學(xué)生成績?cè)诘目側(cè)藬?shù)；
(3)學(xué)校想要從成績?cè)诘?名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)談?wù)動(dòng)^感，已知這4名學(xué)生中1名來自七年級(jí)，1名來自八年級(jí)，2名來自九年級(jí)，請(qǐng)用列表法或樹狀圖的方法，求抽到的2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率．
19.(1)93，92
(2)估計(jì)學(xué)生成績?cè)诘目側(cè)藬?shù)為112人；
(3)抽到的2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率是．
【詳解】（1）解：將數(shù)據(jù)從小到大重新排列為91、92、92、92、94、95、97、98．
92出現(xiàn)了三次，現(xiàn)出次數(shù)最多，則眾數(shù)是92；
排在中間的兩個(gè)數(shù)是92、94，則中位數(shù)是，
故答案為：93，92；
（2）解：（人），
答：估計(jì)學(xué)生成績?cè)诘目側(cè)藬?shù)為112人；
（3）解：用A表示七年級(jí)學(xué)生，用B表示八年級(jí)學(xué)生，用C和D分別表示九年級(jí)學(xué)生，
畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的情況數(shù)，其中抽到的2名學(xué)生來自不同年級(jí)的情況有10種，
∴抽到的2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率是．
20．（10分）如圖，某同學(xué)利用學(xué)校某建筑物測量旗桿的高度，他在C點(diǎn)處測得旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為．若旗桿底部B點(diǎn)到該建筑的水平距離米，旗桿臺(tái)階高1米，求旗桿頂部A離地面的高度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
20.米
【解析】如圖，作于H，
在中，
∵，，
∴米，
在中，
∵，，
∴米，
∴旗桿頂點(diǎn)A離地面的高度為米．
答：旗桿頂點(diǎn)A離地面的高度為米．
21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)， 其中A點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；
(3)若點(diǎn)C在y軸上，且滿足的面積為10，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
21.(1)，，
(2)或
(3)或
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上；
∴，，
解得：，，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
一次函數(shù)的解析式為；
解方程組，得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，，均是方程組的解，
∴反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（2）由圖象可知，不等式的解集是或；
（3）設(shè)與y軸的交點(diǎn)為M，

令，則，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)F，
∴，
設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴
∵
∴，
∴，
解得或，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．
22．（12分）如圖，為的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，D為劣弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作的切線與的延長線交于點(diǎn)P，與的延長線交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E．
求證：
(1)；
(2)
(3)若的半徑為，，求的長度；
22.(1)見解析；(2)見解析；(3)3
【詳解】（1）證明：連接，如圖，
為劣弧的中點(diǎn)，
，
．
是的切線，
，
；
（2）證明：連接，，如圖，
為劣弧的中點(diǎn)，
，
，．
，
，
，
；
（3）解：設(shè)，則．
由（2）知，
．
．
為的直徑，
，
．
的半徑為，
．
，
解得：或（不合題意，舍去），
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，連接，是解決此類問題常添加的輔助線．
23．（13分）已知拋物線，直線，其中，．
(1)求證：直線l與拋物線C至少有一個(gè)交點(diǎn)；
(2)若拋物線C與x軸交于，兩點(diǎn)，其中，且，求當(dāng)時(shí)，拋物線C存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的頂點(diǎn)；
(3)若在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，求k的取值范圍．
23.(1)見解析；(2)；(3)
【詳解】（1）聯(lián)立，
解方程，得，
當(dāng)時(shí)，
，
即直線與拋物線恒過點(diǎn)，
故直線l與拋物線C至少有一個(gè)交點(diǎn)．
（2）當(dāng)時(shí)，，
∵拋物線C與x軸交于，兩點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
解得，
∵h(yuǎn)時(shí)整數(shù)，
∴，
故拋物線C存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（3）．∵如圖所示：由（1）可知：拋物線C與直線都過點(diǎn)．
當(dāng)，，在直線下方的拋物線C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)點(diǎn)，
即當(dāng)時(shí)，恒成立．
故，
整理得：．
又∵，
∴，
∴．

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