第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列計(jì)算結(jié)果為正數(shù)的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了數(shù)軸，以及有理數(shù)四則運(yùn)算法則．用幾何方法借助數(shù)軸來(lái)求解，非常直觀，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)．
由數(shù)軸得出且，再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則逐一判斷即可得．
【詳解】解：由數(shù)軸知且，
則是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，是正數(shù)，
故選：D．
2．下面四幅圖分別是“故宮博物館”“廣東博物館”、“四川博物館”、“溫州博物館”的標(biāo)志，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別．熟練掌握：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形；如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A中是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；
B中既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；
C中是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；
D中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故符合要求；
故選：D．
3．下列式子中，是它的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)方程的解和不等式的解集的定義解答即可．
【詳解】解：A、將代入原方程，左邊右邊，
選項(xiàng)符合題意；
B、∵將代入原方程，左邊右邊，
B選項(xiàng)不符合題意；
C、不是不等式的解，
選項(xiàng)不符合題意；
D、不是不等式組的解，
選項(xiàng)不符合題意．
綜上所述，A選項(xiàng)符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解和不等式的解集，正確掌握方程的解和不等式的解集的定義是解題的關(guān)鍵．
4．下列式子中，不能用平方差公式運(yùn)算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，根據(jù)兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的乘積即為能夠運(yùn)用平方差公式，進(jìn)行逐一分析，即可作答．
【詳解】解：A、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
B、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
C、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
D、，運(yùn)用完全平方公式，不能運(yùn)用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是符合題意的；
故選：D
5．下列調(diào)查中，適合采用抽樣調(diào)查的是（ ）
A．調(diào)查本班同學(xué)的數(shù)學(xué)小測(cè)成績(jī)
B．調(diào)查一批學(xué)生飲用奶的微量元素的含量
C．為保證載人航天器成功發(fā)射，對(duì)其零部件進(jìn)行檢查
D．對(duì)乘坐某班次飛機(jī)的乘客進(jìn)行安檢
【答案】B
【分析】此題考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，直接根據(jù)全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的意義分別分析即可得出答案，掌握抽樣調(diào)查的意義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、調(diào)查本班同學(xué)的數(shù)學(xué)小測(cè)成績(jī)，適合全面調(diào)查，該選項(xiàng)不符合題意；
、調(diào)查一批學(xué)生飲用奶的微量元素的含量，適合抽樣調(diào)查，該選項(xiàng)符合題意；
、為保證載人航天器成功發(fā)射，對(duì)其零部件進(jìn)行檢查，必須全面調(diào)查，該選項(xiàng)符合題意；
、對(duì)乘坐某班次飛機(jī)的乘客進(jìn)行安檢，必須全面調(diào)查，該選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
6．下圖是描述某校足球隊(duì)員年齡的條形圖，則這個(gè)足球隊(duì)員年齡的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．14，14B．14.5，14C．15，15D．14.5，15
【答案】D
【分析】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，有20名足球隊(duì)員，
這20名足球隊(duì)員年齡出現(xiàn)次數(shù)最多的是15歲，共出現(xiàn)8次，因此眾數(shù)是15歲；
將這20名足球隊(duì)員的年齡從小到大排列，處在中間位置的2個(gè)數(shù)是14歲和15歲，
因此中位數(shù)歲
故選：D．
7．將一副直角三角板作如圖所示擺放，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，根據(jù)，即可判斷A選項(xiàng)；由，得到即可判斷C選項(xiàng)；過(guò)點(diǎn)F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，然后根據(jù)平角，即可判斷B選項(xiàng)；由即可判斷D選項(xiàng)．
【詳解】解：，
，故A選項(xiàng)不符合題意；
，
，故C選項(xiàng)符合題意；
過(guò)點(diǎn)F作，如圖，
，
，
，
，
，
；故B選項(xiàng)不符合題意；
，
，
，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
8．如圖，在矩形中，連接，分別以點(diǎn)A和C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】本題考查了作圖基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和解直角三角形，如圖，利用基本作圖得到，，由于，則，所以，根據(jù)余弦的定義，在中求出，在中求出，然后計(jì)算即可，熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由作法得垂直平分，設(shè)垂足為點(diǎn)，如圖，
，，
，
四邊形為矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
故選：B．
9．如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，連結(jié)，平分交于，若，則的半徑為（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，易得為的直徑，根據(jù)圓周角定理，推出，求出的長(zhǎng)，圓周角定理結(jié)合角平分線的性質(zhì)，推出，設(shè)半徑為，在中，利用勾股定理，列出方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
∵，
∴為線段的中垂線，，
∵內(nèi)接于，
∴三點(diǎn)共線，，
∴為的直徑，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵是的直徑，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)半徑為，則：，
∴，
在中，，
∴，解得：（舍去）或；
∴的半徑為；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，三角形的外接圓，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于選擇題中的壓軸題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和相似三角形．
10．定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（）的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)與點(diǎn)都是函數(shù)圖象的“3階方點(diǎn)”．若y關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象存在“n階方點(diǎn)”，則n的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了二函數(shù)與幾何綜合，由二次函數(shù)解析式可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上移動(dòng)，當(dāng)二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)為臨界情況，求出此時(shí)n的值，進(jìn)而可得n的取值范圍．
【詳解】解：由題意得：二次函數(shù)的圖象上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
∵y關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象存在“n階方點(diǎn)”，
∴二次函數(shù)的圖象與以坐標(biāo)為的正方形有交點(diǎn)，
當(dāng)二次函數(shù)恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，則，
解得：或（舍去）；
如當(dāng)二次函數(shù)恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，則，
解得或（舍去）；
∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象存在“n階方點(diǎn)”，
故選D．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11．古人常說(shuō)的“一剎那”大約是小時(shí)，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示是 小時(shí)．
【答案】
【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)．熟練掌握絕對(duì)值小于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，的值為第一個(gè)不為0的數(shù)的前面0的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：由題意知，，
故答案為：．
12．已知點(diǎn)都在函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上，若，則 （用“”或“”填空）．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數(shù)值的大小比較，根據(jù)一次函數(shù)的增減性進(jìn)行比較即可．
【詳解】解：函數(shù)中，
，
隨x的增大而減小，
，
，
故答案為：．
13．如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常，隨機(jī)閉合開關(guān)，中的兩個(gè)，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率是 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據(jù)題意列表或畫樹狀圖求概率，正確列表或畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到共有6種等可能性，其中能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光有2種可能性，根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖得
由樹狀圖得共有6種等可能性，其中能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光應(yīng)同時(shí)閉合，，故有2種可能性，所以概率為．
故答案為：
14．“洛書”是世界上最古老的一個(gè)三階幻方，它有3行3列，三橫行的三個(gè)數(shù)之和，三豎列的三個(gè)數(shù)之和，兩對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都相等，其實(shí)幻方就是把一些有規(guī)律的數(shù)填在正方形圖內(nèi)，使每一行、每一列和每一條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等，如圖幻方的值是 ．
【答案】21
【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)題意可得解出即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得
解得
．
故答案為：21．
15．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，E是邊上一點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)F，使，過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，若，時(shí)，則 ．
【答案】
【分析】在上取點(diǎn)，使，連接交于，證明，得，，，又，可知，從而證明，，由，得，設(shè)，則，，可得，根據(jù)，得，可解得，．
【詳解】解：在上取點(diǎn)，使，連接交于，如圖：
四邊形是正方形，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
解得，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理．證明三角形全等與相似是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
16．（1）計(jì)算：
（2）解不等式組
【答案】（1）1；（2）
【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解一元一次不等式組：
（1）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可．
（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為．
17．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)到，使，連接、、，若，求的長(zhǎng)．
【答案】的長(zhǎng)是．
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，可以得到和的長(zhǎng)，的度數(shù)，然后根據(jù)勾股定理即可得到的長(zhǎng)．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
即的長(zhǎng)是．
18．隨著“雙減”政策的逐步落實(shí)，其中增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的政策引發(fā)社會(huì)的廣泛關(guān)注，體育用品需求增加，某商店決定購(gòu)進(jìn)兩種羽毛球拍進(jìn)行銷售，已知每副種球拍的進(jìn)價(jià)比每副種球拍貴20元，用2800元購(gòu)進(jìn)種球拍的數(shù)量與用2000元購(gòu)進(jìn)種球拍的數(shù)量相同．
(1)求兩種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)；
(2)若該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩種羽毛球拍共100副，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購(gòu)買這100副羽毛球拍的資金不超過(guò)5900元，若銷售種羽毛球拍每副可獲利潤(rùn)25元，種羽毛球拍每副可獲利潤(rùn)20元，如何進(jìn)貨獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)A種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為70元，B種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為50元
(2)購(gòu)進(jìn)A種羽毛球拍45副，B種羽毛球拍55副時(shí)，總獲利最大，最大利潤(rùn)為2225元
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用：
（1）設(shè)A種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)用2800元購(gòu)進(jìn)A種球拍的數(shù)量與用2000元購(gòu)進(jìn)B種球拍的數(shù)量相同，列分式方程，求解即可；
（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種羽毛球拍m副，設(shè)總利潤(rùn)為w元，根據(jù)購(gòu)買這100副羽毛球拍的資金不超過(guò)5900元，列一元一次不等式，求出m的范圍；再表示出w與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可確定如何進(jìn)貨總利潤(rùn)最大，并進(jìn)一步求出最大利潤(rùn)即可．
【詳解】（1）解：設(shè)A種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為x元，則B種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為元
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
（元），
答：A種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為70元，B種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為50元；
（2）解：設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種羽毛球拍m副，總利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意，得，
解得，且m為正整數(shù)，
，
∵，
∴w隨著m的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，w取得最大值，最大利潤(rùn)為（元），
此時(shí)購(gòu)進(jìn)A種羽毛球拍45副，B種羽毛球拍（副），
答：購(gòu)進(jìn)A種羽毛球拍45副，B種羽毛球拍55副時(shí)，總獲利最大，最大利潤(rùn)為2225元．
19．“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”是中國(guó)三大頂尖數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)之一，為激勵(lì)中國(guó)數(shù)學(xué)家在發(fā)展中國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)中做出突出貢獻(xiàn)而設(shè)立，小華對(duì)截止到2023年第十六屆“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡（單位：歲）數(shù)據(jù)進(jìn)行了收集、整理和分析，下面是部分信息．
a．“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡統(tǒng)計(jì)圖（數(shù)據(jù)分成5組：）
b．“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡在這一組的是：63 65 65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69，根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
(1)補(bǔ)全“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)年齡頻數(shù)分布直方圖；
(2)直接寫出“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡數(shù)據(jù)中位數(shù)；若以各組的組中值代表各組的實(shí)際數(shù)據(jù)，求出“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)年齡數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；
(3)小華準(zhǔn)備從“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡在和這兩組中任意選取兩人了解他們的數(shù)學(xué)故事，求選取的兩人年齡正好在同一組的概率．
【答案】(1)見解析(2)69，71(3)
【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖，求中位數(shù)，平均數(shù)，樹狀圖法求概率：
（1）用年齡在這一組的人數(shù)除以所占的比例求出總數(shù)，進(jìn)而求出的人數(shù)，補(bǔ)全直方圖即可；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義，平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）用表示的三人，用表示中的兩人，畫出樹狀圖，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：，
∴的人數(shù)為，
補(bǔ)全直方圖如圖：
（2）將數(shù)據(jù)排序后，第15個(gè)和第16個(gè)數(shù)據(jù)均為：69，
∴中位數(shù)為69；
平均數(shù)為：；
（3）用表示的三人，用表示中的兩人，
畫出樹狀圖如圖：
共有20種等可能的結(jié)果，其中兩人是同一組的結(jié)果有8種，
∴．
20．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像交于
(1)求，的值；
(2)根據(jù)函數(shù)圖像，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍．
【答案】(1)，(2)或
【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，
（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)求出，將代入直線解析式求出值即可；
（2）根據(jù)圖像直接寫出不等式的解集即可；
理解和掌握兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∴，
∵點(diǎn)在直線上，
∴，
解得：；
（2）∵直線與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，，
∴，解得：或，
∴，
根據(jù)圖像可知：當(dāng)時(shí)，的取值范圍為：或．
21．如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)分別交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求，的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析(2)，
【分析】本題考查了圓與三角形的綜合問(wèn)題，證明某直線是圓的切線，根據(jù)正切值求線段長(zhǎng)度：
（1）連接，根據(jù)題意得到角度之間的關(guān)系，根據(jù)等邊對(duì)等角可得到，即可得到結(jié)果；
（2）連接，先根據(jù)正切值以及勾股定理得到邊長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形全等以及三角形的面積可得到關(guān)系式，解得邊長(zhǎng)，即可求得結(jié)果；
熟練運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：
，
∵于點(diǎn)F，
∴，
則中，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切線；
（2）解：連接，如圖所示：
，
∵為的直徑，
∴，
∵，
則在中，
設(shè)，則，
則在中，
∴，即，，
∵于點(diǎn)E，
∴，則，
∵在中，，，
∴等腰三角形中三線合一，即，
又∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
在中，，
∴，
∴，
則，
設(shè)，，
∵，
∴，即，
又∵中，
∴或（舍去），
則，，
∴，
∵在和中，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
22．高速隧道是為了更好地適應(yīng)地形、保護(hù)環(huán)境、節(jié)省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道還有重要的戰(zhàn)略意義．如圖所示，某高速隧道的下部近似為矩形，上部近似為一條拋物線．已知米，米，高速隧道的最高點(diǎn)P（拋物線的頂點(diǎn)）離地面的距離為10米．
(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安裝兩個(gè)車道指示燈E，F(xiàn)，若平行線段與之間的距離為8米，則點(diǎn)E與隧道左壁之間的距離為多少米？
【答案】(1)(2)點(diǎn)E與隧道左壁之間的距離為米．
【分析】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線解析式，矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)點(diǎn)等知識(shí)，掌握待定系數(shù)法和表示出點(diǎn)E的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)坐標(biāo)系確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可解答；
（2）先根據(jù)題意確定點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，然后代入解析式求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可解答．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
設(shè)拋物線的解析式為：，
則有：，解得：，
∴．
（2）解：∵平行線段與之間的距離為8米，矩形且，
∴點(diǎn)E到x軸的距離為9且在第一象限，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，
∴，解得：或（舍去）．
∴點(diǎn)E與隧道左壁之間的距離為米．
23．如圖，矩形中，，點(diǎn)P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含A、C兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作分別交射線、射線于點(diǎn)E、F．
(1)求證：；
(2)連接，若，且F為中點(diǎn)，求的值；
(3)若，移動(dòng)點(diǎn)P，使與相似，直接寫出的值．
【答案】(1)答案見解析(2)(3)或或
【分析】（1）矩形的性質(zhì)，得到，同角的余角相等，得到，即可得證；
（2）根據(jù)等邊對(duì)等角，等角的余角相等，得到，得到，設(shè)交于點(diǎn)G，證明，得到，證明，列出比例式求解即可；
（3）分，兩種情況進(jìn)行討論求解．
【詳解】（1）證明： 四邊形是矩形，，
，，
，，
，
；
（2），
，
，
，
，
設(shè)交于點(diǎn)G，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）或或．理由如下：
四邊形是矩形，
，，，
①當(dāng)時(shí)，，
P是的中點(diǎn)，
，
，
，
即，
設(shè)，則，
，，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)，，
則，，
，
，
解得，
，
由①知，
，
，
，
或或．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理．熟練掌握矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
24．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)A．
(1)如圖1，求拋物線的解析式；
(2)如圖2，點(diǎn)D為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)直線交線段于點(diǎn)E，的面積為的面積為，當(dāng)最大值時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，將沿翻折，得到（點(diǎn)D和點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)），直線交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)S為中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)S作的垂線交x軸于點(diǎn)R，在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)Q，使得是以為直角邊的直角三角形，求直線的解析式．
【答案】(1)(2)D（，）(3)直線的解析式為或
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵；
（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作y軸平行線交于點(diǎn)N，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，利用等高的三角形的面積比等于底的比的性質(zhì)得到，設(shè)，則，進(jìn)而求得線段，求出線段，再利用配方法解答即可；
（3）利用分類討論的方法分兩種情形討論解答：①當(dāng)時(shí)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)R，Q的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；②當(dāng)時(shí)，利用①中的方法解答即可．
【詳解】（1）解：令，則，
∴，
令，則，
∴，
把和代入拋物線解析式中得：
，解得： ，
∴拋物線的解析式為；
（2）過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作y軸平行線交于點(diǎn)N，如圖，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵中邊上的高與中邊上的高相同，
∴，
設(shè)，則，
∴，
把代入中，得：，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
∴D（，）；
（3）①當(dāng)時(shí)，如圖，
由（2）知：，
∵點(diǎn)D和點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱，
∴．
∴直線的解析式為，
令，則，
∴ ，
根據(jù)題意可知：，
∴直線的解析式為．
∴直線的解析式為，
令，則．
∴．
∵直線的解析式為，
∵，
∴直線的解析式為．
∵，
∴拋物線對(duì)稱軸的解析式為，
當(dāng)時(shí)， ，
∴．
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為；
②當(dāng)時(shí)，
∵直線的解析式為，，
∴直線的解析式為，
∵拋物線對(duì)稱軸的解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴ ．
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為．
綜上，直線的解析式為或.

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