函數(shù)的性質(zhì)綜合
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 理解函數(shù)的對(duì)稱性、周期性；
2. 能夠解決函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性綜合的問(wèn)題．
【備注】本節(jié)重點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱性和周期性；
本節(jié)難點(diǎn)：對(duì)稱性與周期性綜合，單調(diào)性與對(duì)稱性綜合；
前置知識(shí)：函數(shù)的概念，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性；
后置知識(shí)：基本初等函數(shù)，三角函數(shù)．
一、 函數(shù)圖象的變換
1. 平移變換
的圖象向上平移 個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變）得到
的圖象；
的圖象向下平移 個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變）得到的圖象；
的圖象向左平移 個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變）得到的圖象；
的圖象向右平移 個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變）得到的圖象．
2. 對(duì)稱變換
同樣利用平移變換中那種相關(guān)點(diǎn)的方法討論，不難得到：
可由的圖象沿 軸做軸對(duì)稱得到的圖象；
可由的圖象沿 軸做軸對(duì)稱得到的圖象；
可由的圖象沿原點(diǎn)做中心對(duì)稱得到的圖象．
3. 翻折變換（一）可得
的圖象的做法是：
①將圖象位于 軸上方的部分保留，
②把位于 軸下方的圖象沿 軸做軸對(duì)稱翻折至 軸的上方，③并將位于 軸下方的部分去掉．
（二）可得的圖象的做法是：
①將圖象位于 軸右側(cè)的部分保留，
②位于 軸左側(cè)的部分去掉，
③并把位于 軸右側(cè)的圖象沿 軸做軸對(duì)稱至 軸的左側(cè)．
經(jīng)典例題
1. 已知的圖象如圖所示，則的圖象是（ ）．
A.B.
C.
2
1
y
D.
–1
O
–1
1
2
3
4x
【備注】
本題涉及多次圖象變換，一步步耐心作圖不難得出答案；也可以考查關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，
【答案】C
【解析】
時(shí)，
，排除 ， ，
時(shí)，， 錯(cuò)誤．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】圖象法；翻折變換問(wèn)題；平移變換問(wèn)題；函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題
2. 函數(shù)的遞增區(qū)間是，則的遞增區(qū)間是（ ）．
A.B.C.D.
【備注】
函數(shù)經(jīng)歷平移和對(duì)稱變換之后，原函數(shù)自帶的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心等性質(zhì)也
【答案】B
【解析】函數(shù)
是函數(shù)
向左平移 個(gè)單位得到的，
∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
∴增區(qū)間為向左平移 個(gè)單位，即增區(qū)間為．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性
3. 已知定義在 上的函數(shù)， 滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于（ ）．
A. 直線對(duì)稱B. 直線對(duì)稱
C. 原點(diǎn)對(duì)稱D. 軸對(duì)稱
【備注】 結(jié)合函數(shù)圖象變換思考，可先關(guān)于 軸作對(duì)稱變換再向右平移一個(gè)
單位長(zhǎng)度，對(duì)稱變換產(chǎn)生的對(duì)稱軸，向右平移就得到新對(duì)稱軸．
如從定義出發(fā)，也不難看出，可知對(duì)稱軸為．
【答案】B
【解析】法一：由
關(guān)于 軸對(duì)稱，由
向右平移一個(gè)單位可得
，即函數(shù)
的圖像關(guān)于對(duì)稱；
法二：特殊處理，令，則，該圖像關(guān)于對(duì)稱．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平移變換問(wèn)題；一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱問(wèn)題
鞏固練習(xí)
4. 函數(shù)的圖像是下列圖像中的（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】首先作為分母
，
∴， ， 錯(cuò)誤，
其次令，
，
圖象在第二、四象限，
∴選 ．
或令，代入，
時(shí)，，排除 、 ，
時(shí)，，排除 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平移變換問(wèn)題；圖象法
5. 如果將一元二次函數(shù)的圖象向右平移 個(gè)單位，再向下平移 個(gè)單位，得到的函數(shù)
圖象的對(duì)稱軸為，最大值為 ，則 、 的值為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意知，變換后所得函數(shù)的解析式為
，且
，
然后將函數(shù)的圖象先向上平移 個(gè)單位，
得到函數(shù)，
再將所得函數(shù)圖象向左平移 個(gè)單位，
可得到函數(shù)的圖象，
因此．
故選： ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平移變換問(wèn)題；含參二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
6. 已知函數(shù)，則在同一個(gè)坐標(biāo)系下函數(shù)與的圖象不可能是（
）．
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
，
（ ）若，則當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，開(kāi)口向下，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，
是由向左平移 個(gè)單位得到的，
此時(shí)函數(shù)圖象為 ，
（ ）若，則當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，開(kāi)口向下，
時(shí)，對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，
∴在上先增后減，在上先減后增，且，
是由向右平移 個(gè)單位得到的，
此時(shí)函數(shù)圖象為 或 ，故選： ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】圖象法
二、 函數(shù)的對(duì)稱性
1. 一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱問(wèn)題
（1）關(guān)于 軸對(duì)稱
；
（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（3）關(guān)于直線對(duì)稱或；
（4）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱或．
經(jīng)典例題
7. 若函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，則
的最大值為
．
【備注】 已知函數(shù)對(duì)稱性求參數(shù)，特殊值法是很常用也很便捷的方法，本題中涉及求高次函數(shù)
的最值，，觀察到出現(xiàn)了()整體可供換
元，這樣的方法比較適合高一學(xué)生．
【答案】
【解析】方法一：∵函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，
∴且，
即且，
解之得，
因此，，
求導(dǎo)數(shù)，得，
令，得，，，
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
∴在區(qū)間、上是增函數(shù)，在區(qū)間、
上是減函數(shù)．
又∵，
∴的最大值為 ．
方法二：因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于
對(duì)稱，由函數(shù)與 軸交點(diǎn)坐標(biāo)知道 為解，則還有 ，
也為其解，則
，則當(dāng)原式取得最大值 ，
故答案為： ．
【標(biāo)注】【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)最值（含參二次型導(dǎo)函數(shù)）；一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱問(wèn)題
8. 函數(shù)的對(duì)稱中心為（ ）．
A.，B.，C.，D.，
【備注】
尋找函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，通常可采取先猜后證的方法，尤其對(duì)于選擇題，可以
在猜對(duì)稱中心時(shí)，常用的技巧是從定義域入手，具有對(duì)稱性的函數(shù)，其定義域也與對(duì)
關(guān)于對(duì)稱，因此不難猜出對(duì)稱
，可以猜想對(duì)稱中心縱坐標(biāo)為 ，分離常數(shù)的處
【答案】B
【解析】∵函數(shù)
，
∴
，
∴，
即函數(shù)
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱問(wèn)題
的對(duì)稱中心為
，
．
9.
已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，
， ，，則（ ）．
A.B.C.D.
【備注】 兩函數(shù)都關(guān)于對(duì)稱，他們的交點(diǎn)也是一對(duì)對(duì)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)．
【答案】B
【解析】函數(shù)
，（
）滿足
，
即為，
可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
函數(shù)，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
即有為交點(diǎn)，即有也為交點(diǎn)，為交點(diǎn)，即有也
為交點(diǎn)，
則
原式
．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的互對(duì)稱問(wèn)題
鞏固練習(xí)
10. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱，則點(diǎn) 的坐標(biāo)是．
【答案】
【解析】
，
∵函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱，
∴點(diǎn) 的坐標(biāo)是，
故答案為．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱問(wèn)題
11.
已知定義在 上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，，若函數(shù)圖象與函數(shù)
圖象的交點(diǎn)為，， ，，則（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵
的圖象是由
的函數(shù)圖象先向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位后得到的，
∴ 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
∴與 的個(gè)交點(diǎn)中，兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
∴．
故選： ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的互對(duì)稱問(wèn)題
12. 設(shè)滿足：①任意，有；②當(dāng)時(shí)，，
，若
A.
，
，恒有
B.
，
，則 的取值范圍是（ ）．
C.，
D.
，
【答案】B
【解析】∵任意
，有
．
∴，
則函數(shù)關(guān)于 ， 點(diǎn)對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，，即，
則，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴，
則，則或，
則或，
∵，
∴，即當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
即，，
作出函數(shù)的圖像如圖：
若，則由圖像知，將函數(shù)向右平移 個(gè)單位即可，
由圖像知，．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)性質(zhì)畫(huà)簡(jiǎn)圖
2. 兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱問(wèn)題
（1）與關(guān)于 軸 對(duì)稱．
（2）與關(guān)于 軸 對(duì)稱．
（3）與關(guān)于 原點(diǎn) 對(duì)稱．
（4）與關(guān)于 直線對(duì)稱．
（5）與關(guān)于 直線對(duì)稱．
（6）與關(guān)于對(duì)稱．
（7）函數(shù)與的圖象關(guān)于 直線對(duì)稱．
經(jīng)典例題
13. 若定義域均為 的三個(gè)函數(shù)， ，滿足條件，點(diǎn)與點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，則稱是 關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”．已知，，
是 關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”，且恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）．
A.B.
C.D.
【備注】 不難分析出，本題須滿足即恒成立，高一學(xué)生可用
判別式法解此恒成立問(wèn)題：定義域上，恒成立且
恒成立．
【答案】D
【解析】當(dāng)題可知，
即，
當(dāng)
，必有
，
此時(shí)，不滿足
，
所以，由圖可知，
直線
與
相切或相離且
在 上方，
顯然．
由點(diǎn)到直線距離可知
．
【標(biāo)注】【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的互對(duì)稱問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系
14. 已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于 軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取
值范圍是（ ）．
A.B.
C.D.
【備注】存在關(guān)于 軸對(duì)稱的點(diǎn)等價(jià)于方程在上有實(shí)根，
可用參變分離處理．
【答案】A
【解析】若函數(shù)
則方程
與
的圖象上存在關(guān)于 軸對(duì)稱的點(diǎn)，
在區(qū)間上有解，
令，，
由的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)時(shí)，取最小值 ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值 ，
故．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的概念；已知零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍
鞏固練習(xí)
15. 設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)與的圖像關(guān)于（ ）．
A. 直線對(duì)稱B. 直線對(duì)稱C. 直線對(duì)稱D. 直線對(duì)稱
【答案】C【解析】略
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的互對(duì)稱問(wèn)題
16. 已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于 軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取
值范圍是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由題意知
在
上有解，
及在上有解，
即在上有解，
易知在上的值域?yàn)椋?br>所以 的取值范圍為．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】已知零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍；函數(shù)零點(diǎn)的概念
17. 設(shè)曲線 的方程是，將 沿 軸、 軸正方向分別平移 、個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線
，
（ 1 ）寫(xiě)出曲線 的方程．
（ 2 ）證明曲線 與 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
（ 3 ）如果曲線 與 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明：
．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）證明見(jiàn)解析．
．
（ 3 ）證明見(jiàn)解析．
【解析】（ 1 ）曲線 的方程為
．
（ 2 ）在曲線 上任意取一點(diǎn)，設(shè)是 關(guān)于點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)，
則有，，
∴，代入曲線 的方程 ，
得 ， 的方程 ：，
即可知點(diǎn)在曲線 上．
反過(guò)來(lái)，同樣證明，在曲線 上的點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)在曲線 上．因此，曲線 與 關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱．
（ 3 ）由于曲線 與 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程組有且僅有一組解，
消去 ，整理得，這個(gè)關(guān)于 的一元二次方程有且僅
有一個(gè)根，
則
，即得
，
因?yàn)椋裕?br>【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】解析法；兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱問(wèn)題；零點(diǎn)、交點(diǎn)、根的等價(jià)轉(zhuǎn)化；函數(shù)零點(diǎn)的概
念；平移變換問(wèn)題
3. 對(duì)稱性與單調(diào)性綜合
對(duì)稱性與單調(diào)性綜合的研究方法可以類(lèi)比單調(diào)性與奇偶性綜合，不論是比較大小還是解不等式，一
般方法是利用數(shù)形結(jié)合的思想，都是將待求的點(diǎn)利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間上．
經(jīng)典例題
18. 已知定義域?yàn)?的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，對(duì)任意實(shí)數(shù) ，都有，
那么下列式子一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【備注】 類(lèi)比偶函數(shù)和單調(diào)性綜合，利用對(duì)稱性，將待比較的各點(diǎn)都轉(zhuǎn)化到遞減區(qū)間
上．
【答案】C【解析】
∵
，
∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
∴，
∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴在)上為單調(diào)遞增．
∴，
即，
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】單調(diào)性；抽象函數(shù)
19. 已知定義域?yàn)?的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
如果，且，則的值（ ）．
A. 恒小于B. 恒大于C. 可能為D. 可正可負(fù)函數(shù)
【備注】 除如解析中推導(dǎo)外，不妨令滿足關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在上單
調(diào)遞增．
【答案】B
【解析】∵定義域?yàn)?的函數(shù)
∴函數(shù)的圖象關(guān)于
即，
，且
則，
∵函數(shù)在區(qū)間
∴，
∴，
∴．
故選： ．
滿足
對(duì)稱，
，
上單調(diào)遞增，
，
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性綜合問(wèn)題
鞏固練習(xí)
20. 已知函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，如果，
則與的不等式關(guān)系為．
【答案】
【解析】
，所以
圖像關(guān)于
對(duì)稱，
又在上是增函數(shù)，所以圖像上的點(diǎn)到直線的距離越遠(yuǎn)越大，
說(shuō)明 離更近，所以．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)
21. 已知定義在 上的函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若且
，則的值（ ）．
A. 恒大于B. 恒小于C. 可能為D. 可正可負(fù)
【答案】B
【解析】設(shè)
，由
，
得，，再由得：
，
∵時(shí)，單調(diào)速增，
∴，
∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
∴，
取得，
∴，
即．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性綜合問(wèn)題
22.
已知函數(shù)滿足：，，且 ，，
，則（ ）．
A. B. C.
，
D. 若，則
【答案】BC
【解析】由
，
，
，可得
圖象關(guān)于
對(duì)
稱，
由 ，
，
可得
在
單調(diào)遞減，
結(jié)合單調(diào)性、對(duì)稱性，可知距越近函數(shù)值越大，
則顯然 不正確， 正確，
選項(xiàng)，
， 正確；
選項(xiàng)，時(shí)， 距更遠(yuǎn)，則或， 錯(cuò)誤．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性綜合問(wèn)題
4. 對(duì)稱性與最值綜合
在《函數(shù)奇偶性及其應(yīng)用》一講，我們講到過(guò)：對(duì)于奇函數(shù)
而言，
的最大值 和
的
最小值 ，有．
這一性質(zhì)可以進(jìn)一步推廣到有對(duì)稱中心的函數(shù)．假設(shè)
，即函數(shù)
關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，則函數(shù)在關(guān)于直線對(duì)稱的區(qū)間上的最大值 和最小值 ，滿足．
若在處有意義，則．
經(jīng)典例題
23. 定義在
上的函數(shù)
滿足：對(duì)于任意 ，，有
，若的最大值和最小值分別為 、 ，則
的值
為．
【備注】關(guān)于中心對(duì)稱，即可快速得出答案．
【答案】
【解析】令
，則
，令
，
，則
，
∴，令，
∴，為奇函數(shù)，
∴，．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】求抽象函數(shù)的最值
鞏固練習(xí)
24. 已知函數(shù)在區(qū)間的最大值為 ，最小值為 ，若
，則．
【答案】
【解析】
，
設(shè)，
∵，
∴，
又∵為常數(shù)，時(shí)，時(shí)，，
∴，．
故答案為： ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用奇偶性求值；利用定義判斷函數(shù)奇偶性
三、 函數(shù)的周期性
1. 周期性的判定與簡(jiǎn)單應(yīng)用
函數(shù)的周期性需要抓住以下兩點(diǎn)，一是定義：對(duì)定義域中任意的 恒有
；二是找周
期：能找到適合這一等式的非零常數(shù) ．
一般來(lái)說(shuō)，周期函數(shù)的定義域均為無(wú)限集，迭代法是判斷周期性的常用方法，
關(guān)于函數(shù)的周期性有如下推廣結(jié)論，均可用迭代法推導(dǎo)證明：
若函數(shù)滿足如下關(guān)系，則的周期為
①
② ③ ④
．
經(jīng)典例題
25. 已知是定義在 上的函數(shù)，且，若，則
．
【備注】 求大值離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，常常要用到周期性，在沒(méi)有頭緒的時(shí)候，不妨多寫(xiě)幾
項(xiàng)．
【答案】
【解析】
，
，
，
，
∴，
∴周期為 ，
∴．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)周期性求函數(shù)值
26. 已知函數(shù)是周期為 的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的解
析式是．
【備注】 求周期函數(shù)某一周期的解析式，要點(diǎn)是求哪個(gè)周期，就設(shè)自變量 在哪個(gè)周期，利用周
期性，使落在已知解析式的周期內(nèi)，代入計(jì)算即可 ．
【答案】
【解析】
當(dāng)時(shí)，，
所以．
【標(biāo)注】【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)周期性求函數(shù)值
27. 設(shè) 是定義在 上，以 為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>則在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>【備注】 構(gòu)建類(lèi)周期函數(shù)是本題的核心步驟，需要注意的是，由于
在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性未知，因此不能直接指定端點(diǎn)值計(jì)算．
【答案】
【解析】當(dāng)
時(shí)，
，
，
由
，可得；
當(dāng)時(shí)，，，
由，
可得．
所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用單調(diào)性觀察法求值域
鞏固練習(xí)
28.對(duì)于任意實(shí)數(shù) 滿足條件，若，則（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵
，
∴，
∴是以 為周期的函數(shù)，
∴，
又∵，
∴，
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)周期性求函數(shù)值
29. 已知函數(shù)滿足：， ，且，則（
）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵
，
∴令，得，
即，
即①，
用替換 ，得②，
① ②得：，
再用替換 ，得．
∴，
函數(shù)是周期的周期函數(shù)．
因此，．
∵，
∴令，得，可得．
在中令，
得，
∴，解得，
同理在中令，
解得．
∴．
故選 ．
【標(biāo)注】【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理
【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)周期性求函數(shù)值；迭代法判斷周期；抽象函數(shù)
30. 已知是定義在 上的函數(shù)，且，
（ 1 ）試證（ 2 ）若
是周期函數(shù)；
，求
。
【答案】（ 1 ）依次求出
為
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）依次求出
為
（ 2 ）
（ ）， （
（ ）， （
）， （
）， （
）， （
）， （
）即可，發(fā)現(xiàn)周期
）即可，發(fā)現(xiàn)周期
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)周期性求函數(shù)值；迭代法判斷周期
2. 周期性與奇偶性、對(duì)稱性綜合
函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù) （其中 為常數(shù)）：
（1）函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若
為偶函數(shù)，則其周期為．
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，則函數(shù)是以為
周期的周期函數(shù)．
（3）函數(shù)
的圖象關(guān)于兩點(diǎn)
，
都對(duì)稱，則函數(shù)
是以
為周期的周期函數(shù)．
（4）函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對(duì)稱，則函數(shù)是以
為周期的周期函數(shù)．
經(jīng)典例題
31. 已知定義在 上的奇函數(shù)的滿足，且，則（ ）．
A.B.C.D.
【備注】 由對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，可知該函數(shù)周期為 ，記住結(jié)論可以減少做題時(shí)耗；
本題推導(dǎo)起來(lái)也不麻煩，只需用對(duì)稱性和奇函數(shù)的性質(zhì)交替迭代即可得到周期，如下：
．
【答案】A
【解析】為 上的奇函數(shù)，
∴且關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱，
又∵，
∴關(guān)于直線對(duì)稱，
∴的最小正周期，
∴．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性；函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題
32. 已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則
（ ）．
A.B.C.D.
【備注】 由奇函數(shù)（對(duì)稱中心）和對(duì)稱軸，易得周期為 ，每四個(gè)一組求和，最后加
上"零頭"即可．
【答案】C
【解析】是奇函數(shù)，且，
，
∴，∴，
即函數(shù)
是周期為 的周期函數(shù)，，
，
，
則，
則
，
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題；奇偶性
鞏固練習(xí)
33. 已知是定義在 上的函數(shù)，且對(duì)任意都有，若函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)．
對(duì)任意都有，
令，即，得．
由知，
所以是周期為 的周期函數(shù)，
．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性
34.是定義在 上的以 為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)的
最小值是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
是定義在 周期為 的奇函數(shù)，∴
，
，∴，∴選D.
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題；求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題（不含參）
35. 函數(shù)的定義域?yàn)?，若與都是奇函數(shù)，則（ ）．
A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)
C.D.是奇函數(shù)
【答案】D
【解析】方法一：
與
都是奇函數(shù)，
，，
即，
函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是周期的周期
函數(shù)．
，，則是奇函
數(shù)．
故選 ．
方法二：函數(shù)
的圖像是由函數(shù)
的圖像向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，因?yàn)?br>是奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此的圖像一定關(guān)于點(diǎn)
成中心對(duì)稱，即．函數(shù)也是奇函數(shù)，所以同理，
關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，即，所以
，因?yàn)?br>是奇函數(shù)，所以也是奇數(shù)．
故選 ．
【標(biāo)注】【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)】周期性
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)稱性
四、 函數(shù)性質(zhì)大雜燴
經(jīng)典例題
36. 定義在 上的偶函數(shù)滿足：，且在上是增函數(shù)，下面關(guān)于的判斷：
①是周期函數(shù)；
②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
③在上是減函數(shù)；
④在是減函數(shù)．
其中正確的判斷是．（把你認(rèn)為正確的判斷都填上）
【備注】 需要指出的是，可得函數(shù)的周期性，再結(jié)合偶函數(shù)（對(duì)稱軸），
可以求得函數(shù)存在對(duì)稱中心，相鄰對(duì)稱軸（對(duì)稱中心）之間的距離為半個(gè)周期．軸對(duì)稱的
兩段函數(shù)增減性相反，中心對(duì)稱的兩端函數(shù)增減性相同，可類(lèi)比奇偶性與單調(diào)性的綜合．
【答案】①②③
【解析】
，所以函數(shù)
是以 為周期的偶函數(shù)，所以①正確；
，所以②正確；
又函數(shù)在上是增函數(shù)，關(guān)于直線對(duì)稱，所以在上是減函數(shù)，所以
③正確；
因?yàn)?br>是偶函數(shù)，所以
在
上是增函數(shù)，所以④錯(cuò)誤；
綜上，①②③正確．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)
37. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足下列三個(gè)條件：
①對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有恒成立；
②；③是偶函數(shù)；
若，，，則 ， ， 的大小關(guān)系正確的是（ ）．
A.B.C.D.
【備注】
對(duì)題干條件一一翻譯是解決此類(lèi)包含多種函數(shù)性質(zhì)的題目的關(guān)鍵，要最終實(shí)現(xiàn)比較大
【答案】B
【解析】由①知，函數(shù)
在區(qū)間
上為增函數(shù)，
由②知，，即函數(shù)的周期為 ，
由③知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
，，
，故；
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題
38. 已知是定義在 上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列
結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）．
A. 方程最多有四個(gè)解
B.
C.
D.
函數(shù)
函數(shù)
的值域?yàn)?br>的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱
【備注】
y
–2
–1
2
1
O
–1
–2
1
2
3
x
針對(duì)選項(xiàng) 的討論可以數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行：
不難發(fā)現(xiàn)，如直線與函數(shù)最多有 個(gè)交點(diǎn)．
【答案】A
【解析】 ．由
可得：
，
則，所以函數(shù)的周期為 ，
所以，故 正確；
．再由以及，
所以，則函數(shù)的對(duì)稱軸為，故 正確；
．當(dāng)時(shí)，，
又函數(shù)是奇函數(shù)，時(shí)，，
即時(shí)，
又因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，
所以時(shí)，
所以時(shí)，
又因?yàn)楹瘮?shù)的周期為 ，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，?正確．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題
鞏固練習(xí)
39. 已知是定義在 上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則下面關(guān)
于
A.
的判斷正確的是（ ）．
的一個(gè)周期是
B. C. D.
在
是
單調(diào)遞增
的一個(gè)對(duì)稱中心
【答案】ABD
【解析】由題意，函數(shù)
是定義在 上的奇函數(shù)，可得
，
又由是偶函數(shù)，可得其圖象關(guān)于 軸對(duì)稱，
根據(jù)函數(shù)的圖象變換，可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即，
聯(lián)立可得，即，即，
所以函數(shù)的一個(gè)周期是 ，故 正確；
又由當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)是定義在 上的奇函數(shù)，
可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，再由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
可得在單調(diào)遞增，故 正確；
由函數(shù)是定義在 上的奇函數(shù)，可得，
即原點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，又由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且周期，
可得，，，，且，為函數(shù)的對(duì)稱中心，
故 不正確， 正確．
故選．
【標(biāo)注】【方法】定義法
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題；函數(shù)對(duì)稱性與周期性綜合問(wèn)題
40. 定義在 上的函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上是減函
數(shù)，設(shè)，，，則 ， ， 的大小順序是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A【解析】
具有周期性，
，
將所示換至同一單調(diào)區(qū)間比較，
且偶函數(shù)，
，，
，
，
∵，且在上，
∴，
即．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題
41. 已知定義在 上的偶函數(shù)滿足：，對(duì)，當(dāng)時(shí)，
，且，則不等式在上的解集為．
【答案】
【解析】由題意，
在
上單調(diào)遞減，而
，由偶函數(shù)得：當(dāng)
時(shí)，
，
又可得周期，
所以當(dāng)時(shí)，，
于是的解集為．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式；函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題；函數(shù)對(duì)稱性與周期
性綜合問(wèn)題
導(dǎo)圖總結(jié)
你學(xué)會(huì)了嗎？快用思維導(dǎo)圖來(lái)總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！
【備注】
出門(mén)測(cè)
42. 設(shè)是定義在 上以 為周期的函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞減，且的圖象關(guān)于直線對(duì)
稱，則下面正確的結(jié)論是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
是以 為周期的函數(shù)，即
，
．
又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，
又在上單調(diào)遞減，，
即．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性綜合問(wèn)題；用單調(diào)性比較大??；利用函數(shù)周期性求函數(shù)值
43. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)
時(shí)，．則（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因?yàn)楫?dāng)
時(shí)，
，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，周期為 ，
故有，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，
故而，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，
則有．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性
44. 已知是 上的奇函數(shù)，對(duì)都有成立，若，則等
于()．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵
是 上的奇函數(shù)，對(duì)
都有
)成立，
∴可令，則，
解得，而，
∴．
∴．
∴．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性與奇偶性綜合問(wèn)題；利用函數(shù)周期性求函數(shù)值
【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算
45. 設(shè)是定義在 上且周期為 的函數(shù)，在區(qū)間上其中，
若，則的值是．
【答案】
【解析】∵
是周期為 的函數(shù)，
∴，
．
又∵，
所以，
即，解得，
則．
【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)求值問(wèn)題；分段函數(shù)
31

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