人教A版 (2019)必修第一冊3.1 函數(shù)的概念及其表示優(yōu)秀導學案-學案下載-教習網(wǎng)

函數(shù)的概念及其表示
一、函數(shù)的概念
1. 函數(shù)的概念及表示方法
（一）函數(shù)的概念
設是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù) ，在集合
中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從數(shù)集到數(shù)集的一個函數(shù)，記作
，．
其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的；與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)
值形成的數(shù)集叫做函數(shù)的．因此根據(jù)函數(shù)的定義，有，即集合
必須包含值域的所有元素，但可以有更多的元素．
由定義可知，函數(shù)的值域完全由定義域和對應關(guān)系確定，所以確定一個函數(shù)只需要兩個要素：
．
（二）函數(shù)及表示方法
初中階段接觸過的函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法，在高中階段仍然可以使用．在使用解析法表示函數(shù)時，須留意加上定義域，在使用圖象法時，須留意邊界條件在圖象上的表示．
經(jīng)典例題
1. 下列各圖中，可表示函數(shù)的圖象的是（）．
A.yB.y
OxOx
C.yD.y
Oxx
2. 存在函數(shù)滿足，對于任意的都有（）．
A.B.
C.D.
鞏固練習
3. 下列式子中不能表示函數(shù)的是（）．
A.B.
C.D.
4. 下列對應關(guān)系中，不能成為函數(shù)關(guān)系的是（）．
A.B.
C.D.
二、函數(shù)的定義域
1. 具體函數(shù)的定義域
現(xiàn)階段，除了人為給出的定義域，有三種形式的函數(shù)對定義域有天然的限制（以后我們會學習到其
它的形式）：
（1）偶次根號下不能是負數(shù)，例如定義域為，又如定義域
．
（2）分式分母不為零，例如熟知的反比例函數(shù)定義域為．
（3）沒有意義，例如函數(shù)的定義域為．
經(jīng)典例題
5. 函數(shù)的定義域為（）．
A.
B.
C.
D.
6. 若函數(shù)的定義域為實數(shù)集，則實數(shù) 的取值范圍是（）．
A.B.
C.D.
鞏固練習
7. 函數(shù)的定義域是（）．
A.B.
C.D.
8. 函數(shù)
（ 1 ）若
的定義域為
．
，求實數(shù) 的值．
（ 2 ）若的定義域為，求實數(shù) 的取值范圍．
2. 抽象函數(shù)的定義域
我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)求解抽象函數(shù)的定義域的兩個要點：
（1）當題目求解時指的是自變量本身的范圍，
（2）括號內(nèi)的式子范圍一致，例如給定函數(shù)的定義域是，那么函數(shù)的
定義域則由決定，也即．
經(jīng)典例題
9. 已知的定義域為，則函數(shù)，則的定義域為（）．
A.B.
C.D.
鞏固練習
10. 若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）．
A.B.
C.D.
3. 同一函數(shù)的判定
由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應關(guān)系和值域．因為值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個．
簡而言之，判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的標準是：
．
例如，和，表面看二者是同一個函數(shù)，實則不然，后者等價于，所以對應關(guān)
系不同，不是同一函數(shù)．
再例如，
和
，表面看二者不是同一個函數(shù)，實則不然，兩者都是
將對應到，定義域和對應關(guān)系都相同，因此它們是同一函數(shù)！
經(jīng)典例題
11. 下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）．
A.
B. C. D.
與
與
與
，
與
，
鞏固練習
12. 下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（）．
A.
B.
，
，
C.，
D.，
13. 下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）．
A.B.
C.D.
三、求函數(shù)的解析式的方法
1. 直接代入法
已知的解析式，求的解析式常用此法．
例一：已知，則，
．
在帶入的過程中我們注意用括號內(nèi)的整體代替原來的．
經(jīng)典例題
14. 設，則的函數(shù)表達式是（）．
A.B.
C.D.
鞏固練習
15. 下列函數(shù)中，滿足的是（）．
A.B.
C.D.
2. 配湊法
例一：
，可以將右邊湊成
的形式再求解
但此時需要注意所求函數(shù)的定義域，上述函數(shù)，，，后面的
范圍必須做標注；
例二：
，可以將右邊湊成
的形式再求解．
經(jīng)典例題
16. 若，，則（）．
A.B.C.D.
17. 已知函數(shù)，則的解析式為（）．
A. B. C. D.
鞏固練習
18. 已知，則的解析式為（）．
A.B.
C.D.
19. 已知函數(shù)滿足且，則實數(shù) 的值為（）．
A.B.C.D.
3. 換元法
換元思想是高中解決問題常用的思想之一，換元的目的是使函數(shù)變得更加簡潔，如果題目通過換元
變得更復雜，那么我們就要考慮嘗試其他的方法了．
例一：已知，求解析式．
解：令，代入原式變?yōu)?，，?br>（注意定義域是否有限制）．
有相當部分可以配湊的題目，實際上都可以通過換元來完成．
經(jīng)典例題
20. 設，則的解析式可以是（）．
A. B. C. D.
鞏固練習
21. 已知函數(shù)，則函數(shù)的表達式為（）．
A.B.
C.D.
4. 待定系數(shù)法
如果已知函數(shù)類型，可用待定系數(shù)法，先設出函數(shù)的解析式，再利用條件制造方程（組）求出參
數(shù)，由此確定函數(shù)的解析式．
二次函數(shù)解析式設法相對多樣，可根據(jù)題干條件靈活選擇．一般來說，如已知對稱軸或頂點可
設；如已知與軸交點則可設；如題干中給出的都是一般點或者沒有幾何特征則
設．
例如，已知二次函數(shù)經(jīng)過原點且在時取得最大值，要求解析式，可根據(jù)題意將
的解析式設為頂點式：，再利用解出，帶回原解析式得到
．
經(jīng)典例題
22. 已知是一次函數(shù)，且，求的解析式．
23. 已知函數(shù)是二次函數(shù)，且滿足，則．
鞏固練習
24. 已知二次函數(shù)滿足，且，則的解析式為．
25. 已知二次函數(shù)的圖象過點，，且頂點到軸的距離等于，求此二次函數(shù)的解析式．
26. 請解答下列各題：
（ 1 ）已知，求
（ 2 ）已知是一次函數(shù)，且滿足
的解析式．
，求
的解析式．
5. 用解方程組的思想求解函數(shù)解析式
如果已知信息是與組成的等式（或與，這樣具有"對稱性"的形式），可對原
等式進行處理，令(或)，可得到第二個等式，這時將與看成兩個未知數(shù)，我
們剩下的工作就是解一個二元方程組，為求簡便，消去求解即可．
經(jīng)典例題
27. 已知函數(shù)
滿足
，則函數(shù)
的解析式為
．
鞏固練習
28. 已知
，則
．
四、函數(shù)的值域
1. 直接求解法
經(jīng)典例題
29. 函數(shù)的定義域是，其值域是（）．
A.
B.
C.
D.
鞏固練習
30. 已知函數(shù)
，
，對任意的
，都存在
，
使得，則實數(shù) 的取值范圍是（）．
A.B.
C.D.
2. 換元法
換元是一種十分重要的思想，這里我們再次提到，對于一些解析式并非一次函數(shù)二次函數(shù)的函數(shù)，有的時候我們運用等價代換可以把函數(shù)等價成一個熟悉的函數(shù)．這種方法是求解函數(shù)值域的一種極重要的方法．
例如，求的值域．
可令（）原式等價于（），轉(zhuǎn)化為熟知的二次函數(shù)處理，當然
在求值域時，需要注意定義域．
經(jīng)典例題
31. 函數(shù)，的值域為（）．
A.B.
C.D.
鞏固練習
32. 函數(shù)的值域是（）．
A.B.
C.D.
33. 函數(shù)的值域為（）．
A.B.C.D.
3. 分離常數(shù)法
對于形如
的函數(shù)，可采用分離常數(shù)的方法．
例如：求函數(shù)的值域．
解：原式等價于，而，所以函數(shù)的值域為．
對于某些特殊形式的二次型分式，分離常數(shù)法也是有效的處理方法，例如：
，然后依據(jù)，就可求出函數(shù)值域．
經(jīng)典例題
34. 函數(shù)的值域是．
鞏固練習
35. 函數(shù)，當時，函數(shù)的值域為()
A.B.
C.D.
4. 配方法
若函數(shù)為二次函數(shù)，則可以通過配方轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間求二次函數(shù)值域的問題，此種方法多與換元法
綜合使用．
例如：求的值域．
解：注意到，所以直接求出，函數(shù)值域
為
．
經(jīng)典例題
36. 若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍為（）．
A.B.
C.D.
37. 已知，則的值域為（）．
A.B.
C.D.
鞏固練習
38. 知滿足，則的最小值為．
5. 判別式法求值域
對形如
的函數(shù)，可設
，整理成類似一元二次
方程的形式，該方程應有實根．此時須分類討論，①二次項系數(shù)為，求出值，判斷方程是否有實根；
②二次項系數(shù)不為，令，求的范圍．
如的二次比二次的形式，也可依此法操作．
經(jīng)典例題
39. 函數(shù)的值域為．
鞏固練習
40. 函數(shù)
的值域為
．
6. 分段函數(shù)求值域
生活中我們常常遇到分段問題．例如;某地實行節(jié)約用水政策，當每個家庭每月用水不超過立方米時，每立方米水價元，當用水量超過立方米不足立方米時，超出部分每立方米水價元，用水超過立方米時，每立方米水價元，如果將用水量和水費寫成函數(shù)，則函數(shù)如下：
這類函數(shù)叫做分段函數(shù)，定義域取不同的數(shù)值，有可能對應不同的解析式．
分段函數(shù)求值域，一般就是分段求，然后取并集．
經(jīng)典例題
41. 若，則值域為（）．
A.B.C.D.
42. 如圖，李老師早晨出門鍛煉，一段時間內(nèi)沿⊙ 的半圓形路徑勻速慢跑，
那么李老師離出發(fā)點的距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）．
A.B.
C.D.
鞏固練習
43. 函數(shù)
的值域為
．
44. 如圖，點在邊長為的正方形邊上運動，是的中點，則當沿運動時，
點經(jīng)過的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是下圖中的（）．
A.B.
C.D.
五、函數(shù)的新定義問題
經(jīng)典例題
45.，表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀，被“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名高斯函
數(shù)，人們更習慣稱之為“取整函數(shù)”．則下列命題中正確的是（）．
A.，
B.，
C.，，
D. 函數(shù)的值域為
46. 已知函數(shù)．若存在常數(shù) ，對任意存在，使得，
則稱函數(shù)在上的均值為．已知，，則函數(shù)在上的
均值為（）．
A.B.C.D.
鞏固練習
47. 在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，
并構(gòu)成一般不動點定理的基石．布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布勞威爾（
），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得
，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（）．
A.
B.
C.
D.
48. 設定義在上的函數(shù)，對于給定的正數(shù) ，函數(shù)，則稱函數(shù)為
的“ 界函數(shù)”．關(guān)于函數(shù)的“ 界函數(shù)”，下列等式不. 成. 立. 的是（）．
A.B.
C.D.
導圖總結(jié)
你學會了嗎？快來用思維導圖總結(jié)本節(jié)課所學吧！
出門測
49. 下列各組中，函數(shù)
A.，
B.，
C.，
D.，
和
的圖像相同的是（）．
50. 已知是一次函數(shù)，且滿足，則=（）．
A.B.
C.D.
51. 已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為．
52. 求函數(shù)的值域．
53. 對，，記，函數(shù)的最小值是（
）．
A.B.C.D.
13

相關(guān)學案

相關(guān)學案更多

相關(guān)學案

相關(guān)學案 更多

相關(guān)學案更多