常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 雙變量問題
典例1．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值．
變式1-1．已知函數(shù)（為常數(shù)）.
（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的范圍.
變式1-2．已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍.
變式1-3．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：.
典例2．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在上的最大值；
（3）若存在，使得，證明：.
變式2-1．已知函數(shù)在時(shí)取得極值且有兩個(gè)零點(diǎn).
（1）求的值與實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）記函數(shù)兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.
變式2-2．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：，，.
16．已知函數(shù)，且是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
(1)求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）證明：．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 雙變量問題
1．已知函數(shù)
(1)當(dāng)，研究的單調(diào)性；
(2)令，若存在使得，求證.
2．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，（）是的兩個(gè)零點(diǎn)，是的導(dǎo)函數(shù)，證明：.
3．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，且，證明：.
4．已知函數(shù).
(1)若在定義域上單調(diào)遞增，求ab的最小值；
(2)當(dāng)，，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，證明：.
5．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．
6．設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若，求的最大值（注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
7．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.
8．已知函數(shù)（），.
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求證：.
第六篇 導(dǎo)數(shù)
專題07 利用導(dǎo)數(shù)處理雙變量問題
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 雙變量問題
典例1．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值．
【答案】（1）在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）.
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；
（2）先由為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，得到，令，則由，求出；
對(duì)于換元后得到利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最大值即可.
【詳解】
定義域?yàn)?
（1）當(dāng)時(shí)，
令，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∴在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．
（2）由題得，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則為方程的兩個(gè)實(shí)根，∴，所以
∴，∴，
所以令，則有，∴，∴
對(duì)于，
令則
當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)，有，
所以在為增函數(shù)，時(shí)為減函數(shù)，所以
所以y有最大值為．
【點(diǎn)睛】
（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：
已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，①如果>0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果

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