一、單選題1．已知函數(shù)，若成立，則的最小值為（    ）A. B. C. D. 【答案】C【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進而求最值，屬于難題. 求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，首先確定函數(shù)的定義域，然后準確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)的最值即可. 二、填空題2．已知f(x)＝(x＋1)3e－x＋1，g(x)＝(x＋1)2＋a，若?x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】?x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，即為f(x)max≥g(x)min.又f′(x)＝(x＋1)2e－x＋1(－x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－1或2，且當x＜2時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當x＞2時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(2)＝，又g(x)min＝a，則a≤，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，]．點睛：對于不等式任意或存在性問題，一般轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值大小關(guān)系，即；，3．若不等式x2－2y2≤cx(y－x)對任意滿足x＞y＞0的實數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)c的最大值為__________．【答案】點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 三、解答題4．已知函數(shù)（為常數(shù)）與軸有唯一的公關(guān)點．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）曲線在點處的切線斜率為，若存在不相等的正實數(shù)，滿足，證明：．【答案】（Ⅰ）當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間．（Ⅱ）證明見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）因為函數(shù)的定義域為，且，故由題意可知曲線與軸存在公共點，又，對a進行討論分，四種情況進行可得解（Ⅱ）容易知道函數(shù)在處的切線斜率為，得，由（Ⅰ）可知，且函數(shù)在區(qū)間上遞增．不妨設(shè)，因為，則，則有，整理得，利用基本不等式構(gòu)建關(guān)于不等關(guān)系即可證得.②若，則函數(shù)的極小值為，符合題意；③若，則由函數(shù)的單調(diào)性，有，取，有．下面研究函數(shù)，，因為恒成立，故函數(shù)在上遞增，故，故成立，函數(shù)在區(qū)間上存在零點．不符合題意．綜上所述：當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間．點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用基本不等式來證明，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.5．已知函數(shù) (a為常數(shù))有兩個極值點．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)f(x)的兩個極值點分別為x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，轉(zhuǎn)化為對應一元二次方程有兩個正根，再根據(jù)實根分布列不等式組，解得實數(shù)a的取值范圍；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題： 最大值，再化簡為a的函數(shù)，利用導數(shù)可得其值域，即得λ的最小值．試題解析：(1)f′(x)＝＋x－a＝ (x＞0)，于是f(x)有兩個極值點等價于二次方程x2－ax＋a＝0有兩正根，設(shè)其兩根為x1，x2，則，解得a＞4，不妨設(shè)x1＜x2，此時在(0，x1)上f′(x)＞0，在(x1，x2)上f′(x)＜0，在(x2，＋∞)上f′(x)＞0.因此x1，x2是f(x)的兩個極值點，符合題意．所以a的取值范圍是(4，＋∞)．點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件. 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.(1)證明：f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有，求m的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，再根據(jù)m正負以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論得導函數(shù)符號（2）先利用最值轉(zhuǎn)化不等式恒成立得f(x)最大值與最小值的差不大于e-1,再利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，解對應不等式得m的取值范圍．試題解析：(1)f′(x)＝m(emx－1)＋2x.若m≥0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f′(x)＜0；當x∈(0，＋∞)時，emx－1≥0，f′(x)＞0.若m＜0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1＞0，f′(x)＜0；當x∈(0，＋∞)時，emx－1＜0，f′(x)＞0.所以，f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增．點睛：不等式有解問題與不等式恒成立問題這兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即恒成立?，恒成立?.7．已知（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求證：．【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）（1）；（2） 見解析.【解析】試題分析：（I）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（II）（1）由（Ⅰ）知，當時， 在R上為增函數(shù)，不合題意；當時， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，只需，即可解得的取值范圍；（2）分離參數(shù),問題轉(zhuǎn)化為證明證明,不妨設(shè),記,則,因此只要證明：，即根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.試題解析：（Ⅰ）的定義域為R，，（1）當時，在R上恒成立，∴在R上為增函數(shù)； （2）當時，令得，令得，∴的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為； （2）由（Ⅱ）（1），當時，有兩個零點，且在上遞增， 在上遞減，依題意，，不妨設(shè)． 要證，即證，又，所以，而在上遞減，即證， 又，即證，（）． 構(gòu)造函數(shù)， ，∴在單調(diào)遞增，∴，從而，∴，（），命題成立．8．已知函數(shù) (其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k∈R)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當函數(shù)有兩個零點時，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導數(shù)證明不等式的問題。（1）求導數(shù)后，根據(jù)導函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性。（2）根據(jù)題意將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。（2）證明：當時，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個零點。所以。設(shè)函數(shù)的兩個零點為，則，設(shè)，解得，所以，要證，只需證，設(shè)設(shè)單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故．9．已知函數(shù)與，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【答案】（1） （2）(2)很明顯，原問題等價于，結(jié)合導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于的不等式：，求解不等式可得實數(shù)m的取值范圍是 .試題解析：（1）定義域為，，，又，故曲線在處的切線方程為，即.10．函數(shù) ,其中 .(1)試討論函數(shù) 的單調(diào)性;(2)已知當 (其中 是自然對數(shù)的底數(shù))時,在 上至少存在一點,使 成立,求 的取值范圍;(3)求證:當 時,對任意,有.【答案】(1)見解析(2) (3)見解析【解析】試題分析：試題解析：(1)易知的定義域為．∵，∴=．由 得: 或．∵，∴．①當時，則單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減；單調(diào)遞增．②當時，則當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增．③當時，單調(diào)遞增．綜上，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增．(3)當時，．設(shè)，則．故當時，單調(diào)遞減．∴對任意，都有成立，∴．即．又，∴．點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題時，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.11．設(shè)f(x)＝lnx，g(x)＝x|x|.(1)求g(x)在x＝－1處的切線方程；(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1>x2，都有m[g(x1)－g(x2)]>x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).試題解析：(1)x<0時，g(x)＝－x2，g′(x)＝－x，故g(－1)＝－，g′(－1)＝1，故g(x)在x＝－1處的切線方程是：y＋＝1×(x＋1)，即x－y＋＝0.(2)由題意知F(x)＝xlnx－x|x|＝xlnx－x2(x>0)，F′(x)＝lnx－x＋1，令t(x)＝F′(x)＝lnx－x＋1，則t′(x)＝－1，令t′(x)>0，解得0<x<1，令t′(x)<0，解得x>1，故F′(x)在(0，1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，故F′(x)≤F′(1)＝0，故F(x)在(0，＋∞)上遞減；點睛：構(gòu)造函數(shù)的題型需要觀察題目函數(shù)的關(guān)系，本題中第（3）問將式子整理可得x1>x2≥1時，mg(x1)－x1f(x1)≥mg(x2)－x2f(x2)恒成立，則聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xlnx，再結(jié)合單調(diào)性進行解題。12．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3）若且，求證：.【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】試題分析：(1)對函數(shù)求導有，則原問題等價于方程有大于零的實根，結(jié)合二次方程根的分布理論可得；(2)原問題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得；(3)當時，不等式顯然成立，當，等價轉(zhuǎn)化后結(jié)合（2）的結(jié)論即可證得題中的結(jié)論.（2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立在時取得最小值，（3）當時，不等式顯然成當，只需證明，令，則只需證明成立，由（2）可知在上是增函數(shù)，點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．13．已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)e－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x，存在實數(shù)x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)見解析 (2) (－∞，3－2e)∪.【解析】試題分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)．利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)存在，使得成立成立，則，分類討論求最值，即可求實數(shù)的取值范圍．(2)假設(shè)存在，使得成立，則.∵∴.對于，當時，， 在上單調(diào)遞減，∴，即.②當時，，在上單調(diào)遞增，∴，即.③當時，若，則，在上單調(diào)遞減；若，則，在上單調(diào)遞增，∴，即.(*)由(1)知，在上單調(diào)遞減，故，而∴不等式(*)無解．綜上所述，的取值范圍為14．設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.(1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍．【答案】(1) 見解析(2) [－1,1]．【解析】試題分析：（1）利用說明函數(shù)為增函數(shù)，利用說明函數(shù)為減函數(shù)，要注意參數(shù)的討論；（2）由（1）知，對任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題．從而求得的取值范圍．(2)由(1)知，對任意的，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是即①設(shè)函數(shù)，則當時，；當時，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用導數(shù)解決恒成立求參的問題，對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或小于0，或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù). 15．已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若,,,使得（），求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；（2）設(shè)在上的值域為A，函數(shù)在上的值域為B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出實數(shù)的取值范圍．（Ⅱ）當時，因為，，使得（），故；設(shè)在上的值域為A，函數(shù)在上的值域為B，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，又.（i）當時，在上單調(diào)遞減，此時的值域為，因為，又，故，即；（ii）當時，在上單調(diào)遞增，此時的值域為，因為，又，故，故；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．16．已知(1)證明:圖象恒在直線的上方;(2)若在恒成立,求的最小值.【答案】(1)見解析(2)的最小值為試題解析：(1)由題意只需證即證明在上恒成立.令,即在單調(diào)遞增.又,所以在在唯一的解,記為,且,可得當,所以只需最小值,易得,所以.所以結(jié)論得證.(2)令,則,所以,當時,,要使,只需,當時, 此時有,不符合題意,舍去.當時,令得,可得當時,.即時,,不符合題意,舍去.綜上,,又,所以的最小值為.點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 

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