專題07  利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題一．選擇題(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【解析】由，則，因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以，即 ，， ，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.所以，所以的取值范圍是，故選：B2．設(shè)函數(shù)，，若對(duì)任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?/span>在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得.故選：D3．已知函數(shù)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【解析】的定義域，，令，則必有兩根，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以的最小值為，故選：A.4．已知函數(shù)，若，其中，則的最大值為（    ）A． B．  C． D．【解析】由題意，， ，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，作函數(shù)的圖象如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，有唯一解，故，且，∴，設(shè)，，則，令，解得，易得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，即的最大值為.故選：A.5．已知函數(shù)，，若對(duì)，，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【解析】，()，若，，為增函數(shù)，若，或，為減函數(shù)，在上有極值，在處取極小值也是最小值，∵，對(duì)稱軸，，當(dāng)時(shí)，在處取最小值，當(dāng)時(shí)，在處取最小值，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，，∵對(duì)，，使，∴只要的最小值大于等于的最小值即可，當(dāng)時(shí)，，解得，故無解，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)無解，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，，故選：D.6．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)于，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以函數(shù)取得最小值.因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，不成立；當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，解得，此時(shí)；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A7．已知函數(shù)，，實(shí)數(shù)，滿足．若，，使得成立，則的最大值為（    ）A．3 B．4 C．5 D．【解析】， ，，，，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，所以在的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)取得最小值， ，，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，所以，，令，解得：或，由條件可知的值域是值域的子集，所以的最大值是，的最小值是，故的最大值是.故選：A8．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，存在唯一的 [，2]，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（　?。?/span>A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]【解析】在[，2]的值域?yàn)?/span>，但在（,2]遞減,此時(shí)∈[﹣4，）．的導(dǎo)數(shù)為，可得在遞減，遞增，則在的最小值為，最大值為，即值域?yàn)?/span>[0，e]．對(duì)任意的，存在唯一的[，2]，使得可得，可得，解得．故選：B．9．已知函數(shù)，，曲線上總存在兩點(diǎn)，，使曲線在兩點(diǎn)處的切線互相平行，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【解析】由題得函數(shù)的導(dǎo)數(shù).由題意可得（，且）.即有，化為，而，∴，化為對(duì)都成立，令，，，對(duì)恒成立，即在遞增，∴，∴，∴，即的取值范圍是.故選：B.10．已知函數(shù)滿足對(duì)于任意，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【解析】由函數(shù)在定義域單調(diào)遞增，對(duì)于任意，存在，使得成立，即任意，存在，使得成立，即滿足，令，對(duì)稱軸方程為，在可得令，求導(dǎo)可得，，可得，在，，單調(diào)遞增，所以在，，即，解得，故選C.11．已知函數(shù)，，，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【解析】已知函數(shù)，令，所以在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即的值域?yàn)?/span>.因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，所以在時(shí)遞減，所以的值域?yàn)?/span>.因?yàn)閷?duì)于任意，總存在，使得成立，所以的值域包含的值域，即，所以，解得.故選：A12．已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（   ）A．7 B．8 C．9 D．11【解析】由題干條件可知：等價(jià)于，令，，則 ， ，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值.令，，則，當(dāng)時(shí)，此題無解，所以，則，當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有最小值.若成立，只需，即，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得：.時(shí)，等式成立，當(dāng)時(shí)，有，令，本題即求的最大的正整數(shù).恒成立，則在上單調(diào)遞減，，，，所以的最大正整數(shù)為9.故選：C.二、填空題13．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得在該點(diǎn)處的切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【解析】，設(shè)存在兩點(diǎn)滿足在該點(diǎn)處的切線相互垂直，則，因?yàn)?/span>，所以，從而，或，故答案為：14．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，則的取值范圍為_________.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，依題意，方程有兩個(gè)不等的正根、（其中），則，由韋達(dá)定理得，，所以 ，令，則，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.因此，的取值范圍是.15．已知函數(shù)f（x）=x2ax3（a＞0），x∈R.若對(duì)任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，則a的取值范圍是_____.【解析】因?yàn)?/span>=﹣2ax2+2x，令=0得，①：當(dāng)，即a≥1時(shí)，＜0，在x∈[1，+∞）恒成立，所以f（x）在[1，+∞）遞減，∵，，若對(duì)任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，所以f（x1）的值域?yàn)椋?/span>），f（x2）的值域?yàn)椋?/span>），由f（x1）f（x2）=1得：.顯然，當(dāng)f（x1）→﹣∞時(shí)，→0（負(fù)數(shù)），故要滿足結(jié)論，首先需滿足：，，解得.所以.②當(dāng)，即時(shí)，f（x1）在（2，+∞）上遞減，故此時(shí)f（x1），f（x2）在（1，）遞增，在遞減，故0.此時(shí)只需即可，解得.③當(dāng)，即時(shí)，f（x1），f（x2）的最大值都是0，所以能取到所有正實(shí)數(shù)，而，故此時(shí)不滿足題意.綜上，a的取值范圍是[].16．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【解析】令，，.當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)，故在上的值域?yàn)?/span>.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).令，因?yàn)閷?duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，故對(duì)直線與函數(shù)的圖象有且只要一個(gè)公共點(diǎn)，而，且在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，所以，即.三．解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的范圍.【解析】（1）∵，∴只要，即時(shí)恒成立，在定義域上單調(diào)遞增.（2）由（1）知有兩個(gè)極值點(diǎn)則，的二根為，則，，，設(shè)，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是.18．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)(其中是的導(dǎo)函數(shù))，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)?/span>，而，令，則①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，有兩根，.所以增區(qū)間，；減區(qū)間.綜上述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），則的定義域?yàn)?/span>，，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則方程的判別式，且，，得，且.所以設(shè)，則在上恒成立，故在單調(diào)遞減，從而，，所以的取值范圍是.19．已知函數(shù)在和時(shí)取極值，且.（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范圍.【解析】⑴∵，∴，∵在和時(shí)取極值，∴，∴，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴ ，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意. ⑵由⑴知，，∴∵，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴，，∴，，∴設(shè)，∵，∴，①又，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴△=，得，②由①②知， 而，設(shè)，則，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上恒成立，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，而，，故的取值范圍為.20．已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)于任意，存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題意得，，①當(dāng)時(shí)，令，則，∴在上遞減；令，則，∴在上遞增；②當(dāng)時(shí)，則，令，則或，∴在和上遞減；令，則，∴在上遞增；③當(dāng)時(shí)，則，∴在上遞減；④當(dāng)時(shí)，則，令，則或，∴在和上遞減；令，則，∴在上遞增；（2）由題意得在恒成立，∴在上遞增，∴，∴存在使得成立，即成立，令，，則，∴在上遞增，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.21．已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)是.（1）求a與b的關(guān)系式，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，若存在，，使得成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.【解析】（1）可求得，的一個(gè)極值點(diǎn)是，，解得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)沒有極值點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2），由（1）可知，時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，，，在單調(diào)遞增，，，存在，，使得成立，即存在，，使得成立，，解得.22．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，證明：.【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以.令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）證明：方程可化為.設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，又，所以有，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.由（1）可知，則有，所以的取值范圍為.因?yàn)榉匠?/span>有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，所以，則，要證，即證.，需證.需證.不妨設(shè)，令，則，即要證.設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，，即成立，故原式成立.  

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