1.知道有理數(shù)的定義；會判斷一個數(shù)是否為有理數(shù)；會對有理數(shù)進行分類。
2.能正確地畫出數(shù)軸，掌握數(shù)軸的三要素；
3.能將已知數(shù)在數(shù)軸上表示出來，能指出數(shù)軸上的點所表示的數(shù)；
4.會用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大??；初步感受數(shù)形結(jié)合的思想．
【思考1】我們在小學(xué)和上一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過那些數(shù)？這些數(shù)能否寫乘分?jǐn)?shù)的形式呢？
【思考2】請讀出下列溫度計的讀數(shù)。
【思考3】在一條東西向的馬路上，有一個汽車站，汽車站東3m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站西3m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿。試畫圖表示這一情景。
1.有理數(shù)的相關(guān)概念
1）整數(shù)：正整數(shù)、、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)．
所有的正整數(shù)組成正整數(shù)集合，所有的負(fù)整數(shù)組成負(fù)整數(shù)集合．
2）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)．
有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以我們也把它們看成分?jǐn)?shù)．
3）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．
4）有理數(shù)的分類：
（1）（2）
注意：整數(shù)與分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)的范疇，有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；
5）常用數(shù)學(xué)概念的含義
1）正整數(shù)：既是正數(shù)，又是整數(shù) 2）負(fù)整數(shù)：既是負(fù)數(shù)，又是整數(shù)
3）正分?jǐn)?shù)：既是整數(shù)，又是分?jǐn)?shù) 4）負(fù)分?jǐn)?shù)：既是負(fù)數(shù)，又是分?jǐn)?shù)
5）非正數(shù)：負(fù)數(shù)和0 6）非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0
7）非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和0 8）非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和0
2.數(shù)軸
1）數(shù)軸定義：在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸．它滿足以下要求：
①原點：在直線上任取一個點表示數(shù)，這個點叫做原點．原點是數(shù)軸的基準(zhǔn)點．
②正方向：通常規(guī)定直線上從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負(fù)方向．
③選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示，，，…；從原點向左，用類似的方法依次表示，，，…．原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素．
2）數(shù)軸的畫法
①畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）；②在這條直線上適當(dāng)位置取一實心點作為原點；
③確定向右的方向為正方向，用箭頭表示； ④選取適當(dāng)?shù)拈L度作單位長度，用細(xì)短線畫出，并對應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時要注意同一數(shù)軸的單位長度要一致．
3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系
①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來．
②數(shù)軸上的點并不全是有理數(shù)，如也可以在數(shù)軸上表示，但并不是有理數(shù)．
③正有理數(shù)位于原點的右邊，負(fù)有理數(shù)位于原點的左邊．
④與原點的距離是a（a>0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）
注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向
4）利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。涸跀?shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大．因此，正數(shù)總大于零，負(fù)數(shù)總小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．
考點1、有理數(shù)的概念辨析
【解題技巧】正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．
例1．（2023秋·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）下面的說法中，正確的是（ ）
A．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)B．整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)
C．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D．整數(shù)、零和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類進行判斷即可．
【詳解】解：A.正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故本選項錯誤；
B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故本選項錯誤；
C.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故本選項正確；D.整數(shù)包括零，故本選項錯誤；故選C．
【點睛】本題考查有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022秋·山東日照·七年級?？计谀┫铝姓f法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，其中正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)定義及其分類解答即可．
【詳解】沒有最小的整數(shù)，故①錯誤；有理數(shù)包括正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，故②錯誤；
非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0，故③正確；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，故④正確；故選：C
【點睛】本題側(cè)重考查的是有理數(shù)，掌握有理數(shù)定義及其分類是解決此題的關(guān)鍵．
變式1．（2022秋·河南三門峽·七年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（ ）
A．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)． B．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)．
C．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)． D．0是最小的整數(shù)．
【答案】A
【分析】依據(jù)有理數(shù)的概念和分類進行回答即可．
【詳解】解：A．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，說法正確，故此選項符合題意；
B．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為整數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；
C．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；
D．沒有最小的整數(shù)，0是最小的自然數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意．故選：A．
【點睛】本題考查有理數(shù)的概念和分類，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022秋·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法中：（1）一個整數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；（2）最小的整數(shù)是零；（3）負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)；（4）自然數(shù)一定是正整數(shù)；（5）有理數(shù)包括正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)；（6）整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)；（7）零是整數(shù)但不是正數(shù)；（8）正數(shù)、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；（9）非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0．正確的個數(shù)有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念和有理數(shù)的分類，正、負(fù)數(shù)依次進行判斷即可．
【詳解】解：整數(shù)分為正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，
∴一個整數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)錯誤，故（1）不符合題意；
沒有最小的整數(shù)，故（2）不符合題意；負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)，故（3）符合題意；
自然數(shù)包括0，∴自然數(shù)一定是正整數(shù)錯誤，故（4）不符合題意；
有理數(shù)包括正有理數(shù)，零和負(fù)有理數(shù)，故（5）符合題意，
整數(shù)包括正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，故（6）不符合題意；
零食整數(shù)但不是正數(shù)，故（7）符合題意；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故（8）不符合題意；
非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0，故（9）符合題意，
綜上所述，正確的有（3）（5）（7）（9），共4個，故選：D．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的概念和分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．
考點2、有理數(shù)的分類
【解題技巧】
正整數(shù)：像1，2，3，4等這樣的數(shù)叫作正整數(shù)；負(fù)整數(shù)：像－1，－2，－3等這樣的數(shù)叫作負(fù)整數(shù)；
正分?jǐn)?shù)：像，0.24等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)； 負(fù)分?jǐn)?shù)：像－，－3.56等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；
整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)； 分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；
有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。
例1．（2023秋·河北廊坊·七年級?？计谀┫铝懈鲾?shù)：，，，0，，……，其中有理數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，進行判斷即可．
【詳解】解：，，，0，，……，中，，，0，是有理數(shù)，共5個；故選D．
【點睛】本題考查有理數(shù)的定義．熟練掌握整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）將下列各數(shù)填入所屬的集合中：
0，，，，，3.5，0.6，，10，，，6.5
正數(shù)集合：{ …}；整數(shù)集合：{ …}；分?jǐn)?shù)集合：{ …}；
負(fù)整數(shù)集合：：{ …}；正分?jǐn)?shù)集合：{ …}；
【答案】見解析
【分析】根據(jù)正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，即可得出答案．
【詳解】正數(shù)集合：；整數(shù)集合：；
分?jǐn)?shù)集合：；負(fù)整數(shù)集合：；正分?jǐn)?shù)集合：；
【點睛】本題考查了正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，掌握以上內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
例3．（2022秋·陜西西安·七年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，下面兩個圈分別表示負(fù)數(shù)集合和分?jǐn)?shù)集合，請你把下列各數(shù)填入它所在數(shù)集的圈里．3.5，，0，，，3，，．
（2）在（1）圖中兩個圈的重疊部分表示______數(shù)的集合．
【答案】（1）見解析；（2）負(fù)分?jǐn)?shù)
【分析】（1）根據(jù)負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念即可得出答案；（2）根據(jù)負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念即可得出答案．
【詳解】（1）負(fù)數(shù)為：，，，；分?jǐn)?shù)為：3.5，，，；
既是負(fù)數(shù)又是分?jǐn)?shù)的為：，；
（2）在（1）圖中兩個圈的重疊部分表示負(fù)分?jǐn)?shù)．
【點睛】本題考查了分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的概念，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2022秋·貴州銅仁·七年級?？计谥校┰?.67，0，1，，，，中，非負(fù)整數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)非負(fù)整數(shù)的概念求解即可．
【詳解】解：，∴在3.67，0，1，，，，中，
非負(fù)整數(shù)有：0，1，，共3個，故選：C．
【點睛】此題考查了非負(fù)整數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)整數(shù)的概念．非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和零．
變式2．（2022秋·云南昆明·七年級?？计谥校┫铝懈鲾?shù)中，既是分?jǐn)?shù)又是負(fù)數(shù)的是（ ）
A．B．C．0D．2.8
【答案】A
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類解答即可．
【詳解】解：是分?jǐn)?shù)的只有和，而是負(fù)數(shù)的是，即選項A符合題意；故選：A．
【點睛】此題考查了有理數(shù)的分類，正確掌握有理數(shù)的定義及分類是解題的關(guān)鍵．
變式3．（2022秋·貴州遵義·七年級?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：2，，，，，，
(1)正數(shù)集合：{ …}；(2)負(fù)數(shù)集合：{ …}；
(3)整數(shù)集合：{ …}；(4)分?jǐn)?shù)集合：{ …}；
【答案】(1)2，， (2)，， (3)2， (4)，
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類方法求解即可．
【詳解】（1）解：正數(shù)有：2，，，故答案為：2，，；
（2）解：負(fù)數(shù)有：，，；故答案為：，，；
（3）解：整數(shù)有：2，；故答案為：2，；
（4）解：分?jǐn)?shù)有：，；故答案為：，．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，熟知有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵．
變式4．（2022秋·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的圓圈里（每個數(shù)只能寫在一個對應(yīng)區(qū)域內(nèi)）：，，，，，0，，，．
【答案】答案見解析
【分析】先填圖中兩個圓的公共部分的數(shù)，再添兩邊的數(shù)，從而可得答案．
【詳解】解：把各數(shù)分別填入如下圖：
【點睛】本題考查的是有理數(shù)的分類，掌握“有理數(shù)的分類”是解本題的關(guān)鍵．
考點3、有理數(shù)中的新定義集合
【解題技巧】所謂新定義問題，就是在題目中給出一個從未接觸過的新概念，要求我們通過認(rèn)真閱讀，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，是近年來中考數(shù)學(xué)的新亮點、新題型，解決此類問題步驟如下：1）讀懂題意（最關(guān)鍵）；2）根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移。
常見類型有：（1）定義一種新運算；（2）定義一種新法則。
例1．（2022秋·貴州遵義·七年級校考階段練習(xí)）我們把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)”，那為什么叫有理數(shù)呢？有理數(shù)在英語中是“ratinalnumber”，而“ratinal”通常的意思是“理性的”，中國近代譯著者在翻譯時參考了這種方法，而“ratinal”這個詞的詞根“rati”源于古希臘，是“比率”的意思，這個詞的意思就是整數(shù)的“比”，所謂有理數(shù)，就是可以寫成兩個整數(shù)之比的形式的數(shù)．
(1)對于是不是有理數(shù)呢？我們不妨設(shè)，則，即，故，即，解得，由此得：無限循環(huán)小數(shù) 有理數(shù)（填“是”或“不是”）；
(2)請仿照（1）的做法，將寫成分?jǐn)?shù)的形式（寫出過程）；
(3)在中，屬于非負(fù)有理數(shù)的是 ．
【答案】(1)是(2)(3)，0，，16.2
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的概念求解即可；（2）根據(jù)題目中給出的運算方法；
（3）根據(jù)有理數(shù)的概念求解即可．
【詳解】（1）由解題過程可知，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故答案為：是；
（2）設(shè)，則，即，故，即，解得，即；
（3）在中，屬于非負(fù)有理數(shù)的是，0，，，
故答案為：，0，，．
【點睛】此題考查有理數(shù)的概念，無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的概念．
例2.（2022?江陰市期中）把幾個數(shù)用大括號圍起來，中間用逗號斷開，如：{1，2，﹣3}，我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素．如果一個集合滿足：當(dāng)有理數(shù)a是集合的元素時，有理數(shù)﹣a+10也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為和諧的集合．例如集合{10，0}就是一個和諧集合．
（1）請你判斷集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和諧集合？
（2）請你再寫出兩個和諧的集合（至少有一個集合含有三個元素）．
（3）寫出所有和諧的集合中，元素個數(shù)最少的集合．
【分析】（1）根據(jù)和諧集合的定義，只要判斷兩數(shù)相加是否等于10即可．
（2）根據(jù)和諧集合的定義，即可寫出兩個和諧的集合（至少有一個集合含有三個元素）．
（3）根據(jù)和諧集合的定義，確定元素個數(shù)最少的集合．
【解答】解：（1）若a＝1，則﹣a+10＝9不在集合{1，2}內(nèi)，∴{1，2}不是和諧集合．
∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和諧集合．
（2）根據(jù)和諧集合的定義可知a+10﹣a＝10，只要集合中兩個數(shù)之和為10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，
∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和諧集合．
（3）∵5+5＝10，∴要使素個數(shù)最少，則集合{5}，滿足條件．
【點評】本題主要考查新定義，利用和諧集合的定義，只要確定集合元素之和等于10即可．
變式1.（2022?濱江區(qū)期末）把幾個數(shù)用大括號括起來，相鄰兩個數(shù)之間用逗號隔開，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我們稱之為集合，其中的每一個數(shù)稱為該集合的元素，如果一個所有元素均為有理數(shù)的集合滿足：當(dāng)有理數(shù)x是集合的一個元素時，2018﹣x也必是這個集合的元素，這樣的集合我們又稱為對稱集合，例如{2，2016}就是一個對稱集合，若一個對稱集合所有元素之和為整數(shù)M，且23117＜M＜23897，則該集合總共的元素個數(shù)是（ ）
A．22B．23C．24D．25
【分析】根據(jù)題意可知對稱集合都是成對出現(xiàn)的，并且這對對應(yīng)元素的和為2018，然后通過估算即可解答本題．
【解答】解：∵在對稱集合中，如果一個元素為a，則另一個元素為2018﹣a，
∴對稱集合中的每一對對應(yīng)元素的和為：a+2018﹣a＝2018，2018×11＝22198，2018×11.5＝23207，2018×12＝24216，
又∵一個對稱集合所有元素之和為整數(shù)M，且23117＜M＜23897，
∴該集合總共的元素個數(shù)是11.5×2＝23．故選：B．
【點評】本題考查有理數(shù)、是探究性問題，關(guān)鍵是明確什么是對稱集合，集合中的各個數(shù)都是元素，明確對稱集合中的元素個數(shù)，在此還要應(yīng)用到估算的知識．
變式2.（2022?山西月考）閱讀下面文字，根據(jù)所給信息解答下面問題：把幾個數(shù)用大括號括起來，中間用逗號隔開，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括號內(nèi)的數(shù)稱其為集合的元素，如果一個集合滿足：只要其中有一個元素a，使得a+12也是這個集合的元素，這樣的集合就稱為對偶集合．
例如：{13，1}，因為1+12＝13，13恰好是這個集合的元素，所以{13，1}是對偶集合，例如：{12，3，0}，因為12+0＝12，12恰好是這個集合的元素，所以{12，3，0}是對偶集合．在對偶集合中，若所有元素的和為0，則稱這個集合為完美對偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因為﹣2+2＝0，0恰好是這個集合的元素，所以{﹣2，0，2}是對偶集合，又因為﹣2+0+2＝0，所以這個集合是完美對偶集合．
（1）集合{﹣4，8} （填“是”或“不是”）對偶集合．
（2）集合{?112，1012，2}是否是完美對偶集合？請說明理由.
【分析】（1）依據(jù)一個集合滿足：如果一個集合滿足：只要其中有一個元素a，使得a+2也是這個集合的元素，這樣的集合就稱為對偶集合，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)在對偶集合中，若所有元素的和為0，則稱這個集合為完美對偶集合，即可得到結(jié)論；
【解答】解：（1）因為﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是對偶集合，故答案為：是；
（2）不是；理由如下：
因為?112+12=1012，所以{?112，2，1012}是對偶集合，
又因為?112+2+1012≠0，所以{?112，2，1012}不是完美對偶集合；
【點評】本題主要考查了有理數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)條件集合的定義進行計算．
考點4、數(shù)軸的三要素及其畫法
【解題技巧】數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．
數(shù)軸的畫法：①在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做原點，②通常規(guī)定直線上從原點向右為正方向，從原點向左為負(fù)方向；③選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，……；從原點向左用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…….
例1．（2023秋·廣東·七年級專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．有原點、正方向的直線是數(shù)軸B．?dāng)?shù)軸上兩個不同的點可以表示同一個有理數(shù)
C．有些有理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來D．任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義及意義，依次分析選項可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項可得，
A、根據(jù)數(shù)軸的概念，有原點、正方向且規(guī)定了單位的直線是數(shù)軸，A錯誤，不符合題意；
B．?dāng)?shù)軸上兩個不同的點不可以表示同一個有理數(shù)，故選項B不符合題意；
C．∵任意有理數(shù)都能在數(shù)軸上表示出來，故選項C不符合題意；
D、∵任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示，故選項D符合題意；故選：D．
【點睛】此題考查了運用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用以上知識．
例2．（2023秋·吉林延邊·七年級統(tǒng)考期末）下面是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點，正方向，單位長度判斷所給出的四個數(shù)軸哪個正確．
【詳解】解：A、沒有原點，故此選項錯誤，不符合題意；
B、單位長度不統(tǒng)一，故此選項錯誤，不符合題意；
C、符合數(shù)軸的概念，故此選項正確，符合題意．
D、沒有正方向，故此選項錯誤，不符合題意；故選：C．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸．特別注意數(shù)軸的三要素缺一不可．
變式1．（2023·河北衡水·二模）如圖，，，，中有一個點在數(shù)軸上，請借助直尺判斷該點是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義即可解答．
【詳解】解：由規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸，結(jié)合圖形即可得出點在數(shù)軸上．故選C．
【點睛】本題考查數(shù)軸的定義．掌握規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸是解題關(guān)鍵．
變式2．（2022秋·陜西榆林·七年級?？茧A段練習(xí)）下列說法：
①規(guī)定了原點、正方向的直線是數(shù)軸；②數(shù)軸上兩個不同的點可以表示同一個有理數(shù)；
③有理數(shù)在數(shù)軸上無法表示出來；④任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對應(yīng)的唯一點
其中正確的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．③④D．④
【答案】D
【分析】①根據(jù)數(shù)軸的定義，可判斷①，②數(shù)軸上的點與數(shù)的關(guān)系，可判斷②，③根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，可判斷③，④根據(jù)數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，可判斷④
【詳解】解：①規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線是數(shù)軸，故原說法錯誤；
②數(shù)軸上兩個不同的點不可以表示同一個有理數(shù)，故原說法錯誤；
③有理數(shù)在數(shù)軸上可以表示出來，故原說法錯誤；
④任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對應(yīng)的唯一點，說法正確；故選：D．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)，利用了數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸與無理數(shù)的關(guān)系，熟練掌握規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．
變式3．（2023秋·山西晉中·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們畫出數(shù)軸，下列作圖表示數(shù)軸正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判斷數(shù)軸畫得正確的標(biāo)準(zhǔn)：必須體現(xiàn)數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度．
【詳解】解：A．畫出的數(shù)軸，沒有標(biāo)出原點，故此選項不符合題意；
B．畫出的數(shù)軸，沒有標(biāo)出正方向，故此選項不符合題意；
C．畫出的數(shù)軸，數(shù)的位置標(biāo)得不對，故此選項不符合題意
D．畫出的數(shù)軸正確，故此選項符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查數(shù)軸的知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度．
考點5、用數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系
【解題技巧】數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關(guān)系
①每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點來表示，也可以說每個有理數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的一點；
②一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度；表示-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度.
例1．（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）如圖，數(shù)軸上點Q所表示的數(shù)可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)數(shù)軸上Q點的位置確定Q的取值范圍，再根據(jù)每個選項中的數(shù)值進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知：點Q在的右邊，0的左邊，∴點Q表示的數(shù)大于，小于0，故選：C．
【點睛】本題考查的是數(shù)軸的特點，能根據(jù)數(shù)軸的特點確定出Q的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．
例2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上(數(shù)軸的單位長度是，刻度尺上“”和“”分別對應(yīng)數(shù)軸上的和，那么刻度尺上“”對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)刻度尺上“”在原點的左側(cè)的位置即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可知刻度尺上“”在原點的左側(cè)的位置，
∴刻度尺上“”對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為，故選：B．
【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
例3．（2022秋·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．
(1)若1表示的點與表示的點重合，則表示的點與數(shù)______表示的點重合；
(2)若表示的點與3表示的點重合，回答以下問題：①6表示的點與數(shù)______表示的點重合；②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，寫出A、B兩點表示的數(shù)是多少？
【答案】(1)2 (2)①；②點表示，點表示5
【分析】（1）先確定折痕為原點，即可得結(jié)論；（2）①先確定折痕：，即可得結(jié)論；②設(shè)折痕為點，則，根據(jù)左邊減，右邊加可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：若1表示的點與表示的點重合，則折痕為原點，
表示的點與數(shù)2表示的點重合；故答案為：2；
（2）①若表示的點與3表示的點重合，則折痕為，∴，
∴6表示的點與數(shù)表示的點重合；故答案為：；
②設(shè)折痕為點，則，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為．
【點睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點的距離，掌握數(shù)軸上兩點距離以及數(shù)軸上有理數(shù)的表示是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2022秋·廣西七年級期中）如圖，數(shù)軸上的點、分別表示和，點在數(shù)軸上且到和的距離相等，則點表示的數(shù)是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點解答即可．
【詳解】解：∵數(shù)軸上的點A、B分別表示1和2，點C在數(shù)軸上且到A和B的距離相等，
∴點C表示的數(shù)為，故答案為：．
【點睛】本題考查了數(shù)軸上對應(yīng)的點，熟記概念是解題關(guān)鍵．
變式2．（2023秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知紙面上有一數(shù)軸，折疊紙面，使表示的點與表示4的點重合，則3表示的點與______表示的點重合．
【答案】
【分析】先根據(jù)已知條件確定對稱點，然后再求出結(jié)論即可．
【詳解】解：∵表示的點與表示4的點重合，
∴折痕處所表示的數(shù)為：，∴3表示的點與數(shù)表示的點重合．故答案為：．
【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的點和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸，找到對稱中心是解決問題的關(guān)鍵．
變式3．（2022秋·湖南衡陽·七年級校考期末）數(shù)軸上點A，B，C分別表示數(shù)，m，，下列說法正確的是（ ）
A．點C一定在點A的右邊B．點C一定在點A的左邊
C．點C一定在點B的右邊D．點C一定在點B的左邊
【答案】D
【分析】由于不知道數(shù)m的數(shù)值，所以不清楚點A與點C，點A與點B的位置關(guān)系，再根據(jù)點B，C分別表示數(shù)m，即可判斷．
【詳解】解：∵m的數(shù)值未知，∴點A與點C，點A與點B的位置關(guān)系未知，
∵點B，C分別表示數(shù)m，，即點B向左移動一個單位得到C，
∴點C一定在點B的左邊，故選：D．
【點睛】本題主要考查數(shù)軸，掌握在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊大是解題關(guān)鍵．
考點6、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小
【解題技巧】1）正方向上，離原點越遠，數(shù)越大；
2）負(fù)方向上，離原點越近，數(shù)越大（負(fù)數(shù)數(shù)字越大，結(jié)果反而越?。?
注：數(shù)軸從負(fù)方向向正方向，數(shù)值逐漸增大。
例1．（2023秋·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末）請寫出一個大于且小于0的整數(shù)______．
【答案】
【分析】根據(jù)有理數(shù)大小比較方法解答即可．
【詳解】解：∵大于且小于0的整數(shù)是．故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，熟練掌握有理數(shù)大小比較的方法是解答本題的關(guān)鍵．
例2．（2023秋·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期末）點A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示：
(1)點A表示的數(shù)是___________，點B表示的數(shù)是___________．
(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，，，．(3)把（1）（2）中的六個有理數(shù)用“”號連接起來
【答案】(1)，；(2)見解析；(3)．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸即可得到答案；（2）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可得到答案；
（3）根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)，即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，故答案為：，；
（2）解：在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：
（3）解：各數(shù)大小關(guān)系排列如下：．
【點睛】本題考查了數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握用數(shù)軸表示有理數(shù)，熟記數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)．
變式1．（2023·廣西賀州·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)m，n在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則m_______n．（填“”或“=”）

【答案】

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