1.學(xué)會用動態(tài)思維、方程的思想去分析問題和解決問題；
2.學(xué)會抓住動中含靜的思路（動時兩個變量之間的關(guān)系，靜時兩個變量之間的關(guān)系）；
3.掌握數(shù)軸上動點的移動規(guī)律，結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想解決問題。
數(shù)軸動點問題屬于各版本七年級上冊必考壓軸題型，是高分考生必須要攻克的一塊內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。
1.知識儲備：
①求A、B兩點間的距離：若能確定左右位置：右—左 若無法確定左右位置：
②求A、B的中點：
2.數(shù)軸動點問題主要步驟：
①畫圖——在數(shù)軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；
②寫點——寫出所有點表示的數(shù)：
一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運動用“+”表示，向左運動用“—”表示；
③表示距離——右—左，若無法判定兩點的左右需加絕對值；
④列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。
注意：要注意動點是否會來回往返運動。
考點1、 單動點問題
例1.（2022·河北石家莊·七年級期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，在點P的運動過程中，M，N始終為AP，BP的中點，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
①B對應(yīng)的數(shù)是－4；②點P到達點B時，t＝6；③BP＝2時，t＝5；④在點P的運動過程中，線段MN的長度不變
A．1個B．2個C．3個D．4個
變式1．（2022秋·成都市·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點（點B在點A的右邊），點C是數(shù)軸上不與A，B兩點重合的一個動點，點M、N分別是線段AC，BC的中點，如果點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，求線段MN的長度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說法判斷正確的是（ ）
甲說：若點C在線段AB上運動時，線段MN的長度為；
乙說：若點C在射線AB上運動時，線段MN的長度為；
丙說：若點C在射線BA上運動時，線段MN的長度為．
A．只有甲正確B．只有乙正確C．只有丙正確D．三人均不正確
變式2．（2023春·河北保定·七年級專題練習(xí)）如圖，數(shù)軸上標(biāo)出的所有點中，相鄰兩點間的距離都相等，已知點A表示，點表示8．點為數(shù)軸上一點，且表示的數(shù)是整數(shù)，點到A點的距離與到點的距離之和為24，則這樣的點有 ___________個．
考點2、 單動點問題（規(guī)律變化）
例1．（2022秋·北京朝陽·七年級校考階段練習(xí)）一個動點P從數(shù)軸上的原點O出發(fā)開始移動，第1次向右移動1個單位長度到達點P1，第2次向右移動2個單位長度到達點P2，第3次向左移動3個單位長度到達點P3，第4次向左移動4個單位長度到達點P4，第5次向右移動5個單位長度到達點P5…，點P按此規(guī)律移動，則移動第158次后到達的點在數(shù)軸上表示的數(shù)為（ ）
A．159B．-156C．158D．1
變式1.（2023·廣西·七年級期中）如圖，在數(shù)軸上，點A表示﹣4，點B表示﹣1，點C表示8，P是數(shù)軸上的一個點．(1)求點A與點C的距離．(2)若PB表示點P與點B之間的距離，PC表示點P與點C之間的距離，當(dāng)點P滿足PB＝2PC時，請求出在數(shù)軸上點P表示的數(shù)．(3)動點P從點B開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動2個單位長度，第三次向左移動3個單位長度，第四次向右移動4個單位長度，依此類推…在這個移動過程中，當(dāng)點P滿足PC＝2PA時，則點P移動 次．
變式2．（2022秋·河北石家莊·七年級?？计谀┤鐖D，甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸和5的位置上，沿數(shù)軸做移動游戲．每次的移動游戲規(guī)則如下：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正另一面是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進行移動．
①若都對或都錯，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位；
②若甲對乙錯，則甲向東移動4個單位，同時乙向東移動2個單位；
③若甲錯乙對，則甲向西移動2個單位，同時乙向西移動4個單位．
(1)若第一次移動游戲，甲、乙兩人都猜對了，則甲、乙兩人之間的距離是_______________個單位；
(2)若完成了10次移動游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對一錯．設(shè)乙猜對n次，且他最終停留的位置對應(yīng)的數(shù)為m．請你用含n的代數(shù)式表示m；
(3)經(jīng)過_______________次移動游戲，甲、乙兩人相遇．
考點3、 雙動點問題（勻速）
例1．（2022秋·重慶·七年級專題練習(xí)）如圖，A、O、B兩點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為﹣20、0、40，C點在A、B之間，在A、B兩點處各放一個擋板，M、N兩個小球同時從C處出發(fā)，M以2個單位/秒的速度向數(shù)軸負方向運動，N以4個單位/秒的速度向數(shù)軸正方向運動，碰到擋板后則反方向運動，速度大小不變．設(shè)兩個小球運動的時間為t秒鐘（0＜t＜40），當(dāng)M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板．則：①C點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為0；②當(dāng)10＜t＜25時，N在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)可以表示為80﹣4t；③當(dāng)25＜t＜40時，2MA+NB始終為定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上結(jié)論正確的有（ ）
A．①②③④B．①③C．②③D．①②④
變式1．（2022·浙江七年級課時練習(xí)）如圖，數(shù)軸上線段，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是－10，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是16，若線段以6個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動．當(dāng)點運動到線段上時，是線段上一點，且有關(guān)系式成立，則線段的長為_________．
變式2．（2023春·廣東·七年級期末）已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為、3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x．
(1)若點P到點A，點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù)；
(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為6？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由；(3)點A、點B分別以2個單位長度/分、1個單位長度/分的速度向右運動，同時點P以6個單位長度/分的速度從O點向左運動．當(dāng)遇到A時，點P立即以同樣的速度向右運動，并不停地往返于點A與點B之間，求當(dāng)點A與點B重合時，點P所經(jīng)過的總路程是多少？
考點4、 雙動點問題（變速）
例1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┮阎獢?shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，M、N、P為數(shù)軸上三個動點，點M從A點出發(fā)速度為每秒2個單位長度，點N從點B出發(fā)速度為點M的3倍，點P從原點出發(fā)速度為每秒1個單位長度．
（1）求A、B兩點的距離為 個單位長度．
（2）若點M向右運動，同時點N向左運動，求經(jīng)過多長時間點M與點N相距54個單位長度？
（3）若點M、N、P同時都向右運動，當(dāng)點M與點N相遇后，點M、P繼續(xù)以原來的速度向右運動，點N改變運動方向，以原來的速度向左運動，求從開始運動后，經(jīng)過多長時間點P到點M、N的距離相等？
變式1．（2022秋·七年級課時練習(xí)）已知點O是數(shù)軸的原點，點A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，O、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢?fù)原速，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢復(fù)原速，運動時間為 _____秒時，P、Q兩點到點B的距離相等．
變式2．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸上點A表示，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點O和點B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離．例如，點A和點D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負方向向終點A運動，其中一點到達終點時，兩點都停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．
(1)當(dāng)秒時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；
(2)當(dāng)點M、N都運動到折線段上時，O、M兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點間的和諧距離_______（用含有t的代數(shù)式表示）；______時，M、N兩點相遇；(3)當(dāng)________時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；當(dāng)______時，M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．
考點5、 多動點問題
例1．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點A與點B之間的距離表示為AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動．請問：2BC－AC的值是否隨著運動時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求其值．（3）若點C以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時，點A和點B分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運動．求隨著運動時間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．
變式1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，記AB＝|a﹣b|．
（1）求AB的值；
（2）如圖，點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)沿數(shù)軸向右運動，點P的速度是每秒1個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，當(dāng)BQ＝2BP時，P點對應(yīng)的數(shù)是多少？
（3）在（2）的條件下，點M從原點與P、Q點同時出發(fā)沿數(shù)軸向右運動，速度是每秒x個單位長度（1＜x＜2），若在運動過程中，2MP—MQ的值與運動的時間t無關(guān)，求x的值．
變式2.（2022·福建·廈門市七年級期中）已知數(shù)軸上兩點A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點；
(1) a＝ ，b＝ .(2) 若點C從O點出發(fā)向右運動，經(jīng)過3秒后點C到A點的距離等于點C到B點距離，求點C的運動速度？（結(jié)合數(shù)軸，進行分析.）
(3) 若點D以2個單位每秒的速度從點O向右運動，同時點P從點A出發(fā)以3個單位每秒的速度向左運動，點Q從點B出發(fā)，以6個單位每秒的速度向右運動．在運動過程中，M、N分別為PD、OQ的中點，問的值是否發(fā)生變化，請說明理由.（注：PD指的是點P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長度的差.類似的，其它的兩個大寫字母寫在一起時意義一樣 .
考點6、 新定義問題
例1．（2022·北京西城·七年級?？计谥校cA、B、C為數(shù)軸上三點，如果點C在A、B之間且到A的距離是點C到B的距離3倍，那么我們就稱點C是的奇點．
例如，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為1．表示0的C點到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點是的奇點；又如，表示的點D到點A的距離是1，到點B的距離是3，那么點D就不是的奇點，但點D是的奇點．（1）P、Q為數(shù)軸上兩點，點P所表示的數(shù)為，點Q所表示的數(shù)為7．則數(shù)_______所表示的點是的奇點；數(shù)_______所表示的點是的奇點；（2）M、N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為m，點N所表示的數(shù)為n，．現(xiàn)有一動點H從點M出發(fā)向右運動，當(dāng)H點運動到數(shù)軸上的什么位置時，H、M、N中恰有一個點為其余兩點的奇點？
變式1．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）“幸福是奮斗出來的”，在數(shù)軸上，若C到A的距離剛好是3，則C點叫做A的“幸福點”，若C到A、B的距離之和為6，則C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如圖1，點A表示的數(shù)為-1，則A的幸福點C所表示的數(shù)應(yīng)該是______；
（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為4，點N所表示的數(shù)為-2，點C就是M、N的幸福中心，則C所表示的數(shù)可以是______（填一個即可）；（3）如圖3，A、B、P為數(shù)軸上三點，點A所表示的數(shù)為-1，點B所表示的數(shù)為4，點P所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點P出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心嗎？請說明理由．
變式2.（2022·江西贛州·七年級期中）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是的美好點．
例如；如圖1，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為2．表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距高是2，那么點D就不是的美好點，但點D是的美好點．
如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為，點N所表示的數(shù)為2．
（1）點E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，6.5，11，其中是美好點的是________；寫出美好點H所表示的數(shù)是___________．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動．當(dāng)t為何值時，點P恰好為M和N的美好點？
A級（基礎(chǔ)過關(guān)）
1．（2022秋·七年級課時練習(xí)）已知數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是-2，點B在點A的右側(cè)8個單位長度處，動點M從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，動點N從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，已知點M，N同時出發(fā)，相向運動，運動時間為t秒．當(dāng)時，運動時間t的值為（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2022秋·山東煙臺·七年級?？计谀┤鐖D，A，B兩點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a，b，且點A在點B的左側(cè)，，．(1)直接寫出a= ___________，b= ___________；
(2)現(xiàn)有一只螞蟻P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度向右運動，同時另一只螞蟻Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向右運動．①兩只螞蟻經(jīng)過多長時間相遇？②設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點C處相遇，求點C對應(yīng)的數(shù)；③經(jīng)過多長時間，兩只螞蟻在數(shù)軸上相距個單位長度？
3．（2022秋·廣東·七年級專題練習(xí)）如圖，已知點，，是數(shù)軸上三點，點對應(yīng)的數(shù)為，，．(1)求點，對應(yīng)的數(shù)；(2)動點，同時從，出發(fā)，分別以每秒個單位和個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動，為的中點，在上，且，設(shè)運動時間為。
①求點，對應(yīng)的數(shù)用含的式子表示；②為何值時，
4．（2022秋·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，點O為線段AB上一點，且．動點P以1cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OB方向運動，運動到點B停止；點P出發(fā)1s后，點Q以4cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OA方向運動，運動到點A時，停留2s，按原速沿AB方向運動到點B停止．設(shè)P的運動時間為t s．(1)OA=__________cm，OB=__________cm；(2)當(dāng)Q從O向A運動時，若，求t的值．(3)當(dāng)時，直接寫出t的值．
5．（2022秋·江蘇·七年級期末）對于數(shù)軸上的點M，線段AB，給出如下定義：P為線段AB上任意一點，如果M，P兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為點M，線段AB的“近距”，記作d1（點M，線段AB）；如果M，P兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為點M，線段AB的“遠距”，記作d2（點M，線段AB），特別的，若點M與點P重合，則M，P兩點間距離為0，已知點A表示的數(shù)為﹣2，點B表示的數(shù)為3．如圖，若點C表示的數(shù)為5，則d1（點C，線段AB）＝2，d2（點C，線段AB）＝7．
(1)若點D表示的數(shù)為﹣3，則d1（點D，線段AB）＝ ，d2（點D，線段AB）＝ ；
(2)若點E表示數(shù)為x，點F表示數(shù)為x+1．d2（點F，線段AB）是d1（點E，線段AB）的3倍．求x的值．
6．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為、1，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點P到點A，點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù)．(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為6？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．(3)點A、點B分別以2個單位長度/分、1個單位長度/分的速度向右運動，同時點P以6個單位長度/分的速度從O點向左運動．當(dāng)遇到A時，點P立即以同樣的速度向右運動，并不停地往返于點A與點B之間，求當(dāng)點A與點B重合時，點P所經(jīng)過的總路程是多少？
7．（2022·江西南昌·七年級?？计谥校┤鐖D，記數(shù)軸上A、B兩點之間線段長為，（單位長度），（單位長度），在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．
(1)點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，線段BC的長＝_____．
(2)若線段以1個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動，當(dāng)點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？
(3)若線段以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)時，M為中點，N為中點．
①若數(shù)軸上兩個數(shù)為a、b，則它們的中點可表示為．則點M表示的數(shù)為_____，點N表示的數(shù)為______．（用代數(shù)式表示）②線段MN的長是否為定值，如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．
8．（2022秋·江蘇·七年級期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的美好點．
例如：如圖1，點A表示的數(shù)為－1，點B表示的數(shù)為2.表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是【A，B】的美好點，但點D是【B，A】的美好點．
如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為－7，點N所表示的數(shù)為2
(1)點E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點的是 ；寫出【N，M】美好點H所表示的數(shù)是 ．
(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動．當(dāng)t為何值時，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點？
9．（2022秋·廣東珠海·七年級?？计谥校┯^察數(shù)軸，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想．若點A，在數(shù)軸上分別表示數(shù)，，則A，兩點的距離可表示為．根據(jù)以上信息回答下列問題：已知多項式的次數(shù)是，且與互為相反數(shù)，在數(shù)軸上，點是數(shù)軸原點，點A表示數(shù)，點表示數(shù)．設(shè)點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為．
(1)由題可知：A，兩點之間的距離是 ．(2)若滿足，求．
(3)若動點從點A出發(fā)第一次向左運動1個單位長度，在此新位置第二次運動，向右運動2個單位長度，在此位置第三次運動，向左運動3個單位長度按照此規(guī)律不斷地左右運動，當(dāng)運動了1009次時，求出所對應(yīng)的數(shù)．
10．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）我們規(guī)定：數(shù)軸上的點到原點的距離為，如果數(shù)軸上存在某點，到點的距離是的整數(shù)倍，就把點稱作點的倍關(guān)聯(lián)點．
當(dāng)點所表示的數(shù)是時，
(1)如果存在點的倍關(guān)聯(lián)點，則_______；點所表示的數(shù)是_______；
(2)如果點在數(shù)軸上所表示的兩點之間運動，若存在點最大的倍關(guān)聯(lián)點，則_______．
B級（能力提升）
1．（2023·河南洛陽·七年級?？茧A段練習(xí)）一個電子跳蚤在一條數(shù)軸上從原點開始，第一次向右跳1個單位長度，緊接著第二次向左跳2個單位長度，第三次向右跳3個單位長度，第四次向左跳4個單位長度…以此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第100次落下時，落點處距離原點（ ）個單位長度．
A．0B．100C．50D．－50
2．（2022秋·安徽滁州·七年級?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點、點表示的數(shù)分別是、，則、兩點間的距離可以表示為，例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)和數(shù)的兩點間的距離是，表示數(shù)和數(shù)的兩點間的距離是，利用上述結(jié)論，解決問題：
(1)若，則=_____；(2)若有一個半徑為的圓上有一點，與數(shù)軸上表示的點重合，將圓沿數(shù)軸無滑動的滾動周，點到達點的位置，則點表示的數(shù)為______用含有的代數(shù)式表示；
(3)，為數(shù)軸上的兩個動點，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，且，點C表示的數(shù)為，若點、、、三點中的某一點到另外兩點的距離相等，求、的值．
3．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上有A， B兩點，分別表示的數(shù)為，，且．點P從A點出發(fā)以每秒13個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，當(dāng)它到達B點后立即以相同的速度返回往A點運動，并持續(xù)在A，B兩點間往返運動．在點P出發(fā)的同時，點Q從B點出發(fā)以每秒2個單位長度向左勻速運動，當(dāng)點Q達到A點時，點P，Q停止運動．（1）填空： ， ；（2）求運動了多長時間后，點P，Q第一次相遇，以及相遇點所表示的數(shù)；（3）求當(dāng)點P，Q停止運動時，點P所在的位置表示的數(shù)；（4）在整個運動過程中，點P和點Q一共相遇了幾次．（直接寫出答案）
4．（2022秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）問題一：
如圖1，數(shù)軸上的點A表示2，點B表示5，點C表示7，易得，我們記為．
(1)現(xiàn)將數(shù)軸的原點向左拖動1個單位長度，如圖2所示，此時還成立嗎？若不成立，怎樣移動點C就能使之成立？(2)若將數(shù)軸的原點向左拖動x個單位長度，為了使成立，應(yīng)該怎樣移動點C？
(3)若點A表示m，點B表示n，點C表示t，如果，那么仍然有．現(xiàn)將數(shù)軸的原點向左拖動x個單位長度，①為了使成立，應(yīng)該怎樣移動點C？②為使成立，應(yīng)該怎樣移動點B？
問題二：如圖3，數(shù)軸上的點A表示，點B表示1，點C表示5，易得，我們記為．
(4)現(xiàn)將數(shù)軸的原點向左拖動x個單位長度，還成立嗎？請說明理由．
(5)若點A表示m，點B表示n，點C表示t，當(dāng)m，n，t滿足什么關(guān)系時，都能使成立？
5．（2022秋·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）操作探究：已知在紙上有一數(shù)軸（如圖所示）．
(1)操作一：折疊紙面，若使1表示的點與表示的點重合，則表示的點與________表示的點重合．
(2)操作二：折疊紙面，若使表示的點與3表示的點重合，回答以下問題：
①5表示的點與數(shù)________表示的點重合；②若數(shù)軸上A，B兩點之間距離為10（A在B左側(cè)），且A，B兩點經(jīng)折疊后重合，則點A表示的數(shù)為________，點B表示的數(shù)為________；
(3)操作三：點E以每秒3個單位長度的速度從數(shù)5對應(yīng)的點沿著數(shù)軸的負方向運動，點F以每秒1個單位長度的速度從數(shù)對應(yīng)的點沿著數(shù)軸的負方向運動，且兩個點同時出發(fā)，請直接寫出多少秒后，折疊紙面，使1表示的點與表示的點重合時，點E與點F也恰好重合．
6.（2023·陜西·西安七年級期中）如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，C點表示數(shù)c，且a，b滿足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝ ，b＝ ；（2）點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，則當(dāng)x 時，代數(shù)式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值為 ；
（3）點P從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時點Q從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，在點Q到達點C后，以原來的速度向相反的方向運動，設(shè)運動的時間為t（t≤8）秒，求第幾秒時，點P、Q之間的距離是點B、Q之問距離的2倍？
7．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）已知數(shù)軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數(shù)，4，6．
(1)畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點表示點A，點B，點C；
(2)動點P從點C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向數(shù)軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸返回到點C，到達點C后停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
①當(dāng)時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________
8．（2022·河南洛陽·七年級期末）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數(shù)為2，點B表示的數(shù)為3，則．
問題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數(shù)為______．
(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設(shè)運動時間為t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數(shù)為______；點Q表示的數(shù)為______；
②求當(dāng)t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)．
(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當(dāng)各自到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運動，那么再經(jīng)過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數(shù)．
9.（2022·四川綿陽·七年級期中）已知a、b為常數(shù)，且關(guān)于x、y的多項式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值與字母x取值無關(guān)，其中a、b分別為點A、點B在數(shù)軸上表示的數(shù)，如圖所示．動點E、F分別從A、B同時開始運動，點E以每秒6個單位向左運動，點F以每秒2個單位向右運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）求a、b的值；（2）請用含t的代數(shù)式表示點E在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為： ，點F在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為： ．（3）當(dāng)E、F相遇后，點E繼續(xù)保持向左運動，點F在原地停留4秒后向左運動且速度變?yōu)樵瓉淼?倍．在整個運動過程中，當(dāng)E、F之間的距離為2個單位時，求運動時間t的值（不必寫過程）．
10．（2022·劍閣縣七年級月考）已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足（c-6）2+|a+b|=0，請回答問題（1）請直接寫出a、b、c的值．a(chǎn)=___，b=___，c=___．（2）a、b、c所對應(yīng)的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，點P在A、B之間運動時，請化簡式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（請寫出化簡過程）
（3）在（1）的條件下，數(shù)軸上的A，B，M表示的數(shù)為a，b，y，是否存在點M，使得點M到點A，點B的距離之和為5？若存在，請求出y的值；若不存在，請說明理由．
（4）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒n（n>0）個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2n個單位長度和5n個單位長度的速度向右運動，假設(shè)經(jīng)過t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC-AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．
C級（培優(yōu)拓展）
1．（2022·北京·七年級期末）已知有理數(shù)滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點是原點，點所對應(yīng)的數(shù)是，線段在直線上運動（點在點的左側(cè)），，
下列結(jié)論①；②當(dāng)點與點重合時，；
③當(dāng)點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；
④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．
其中正確的是（ ）
A．①③B．①④C．①②③④D．①③④
2．（2022·浙江嘉興·七年級期末）一個機器人從數(shù)軸原點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向，以每前進3步后退2步的程序運動，設(shè)該機器人每秒鐘前進或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是_______．
3.（2023·江蘇·無錫市七年級期中）已知點O是數(shù)軸的原點，點A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，O、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄罅⒖袒謴?fù)原速，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢復(fù)原速，運動時間為 _____秒時，P、Q兩點到點B的距離相等．
4．（2023春·廣東梅州·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖1，在數(shù)軸上有，兩點，點表示的數(shù)為4，點在點的左邊，且，若有一動點從數(shù)軸上點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運動．若點，分別從，兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為秒．
(1)寫出數(shù)軸上點表示的數(shù)為______，P所表示的數(shù)為_______（用含的代數(shù)式表示）．
(2)問點運動多少秒與相距3個單位長度．
(3)如圖2，分別以和為邊，在數(shù)軸上方作正方形和正方形，如圖所示，求當(dāng)為何值時，兩個正方形的重疊部分面積是正方形面積的一半，請直接寫出結(jié)論．______秒．
5．（2022秋·福建福州·七年級?？计谀c在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為，且滿足．
(1)如圖，求線段的長；(2)若點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點P使，若存在，求出點P對應(yīng)的數(shù)，若不存在，說明理由；(3)如圖，點P在B點右側(cè)，的中點為為靠近于B點的四等分點，當(dāng)P在B的右側(cè)運動時，有兩個結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結(jié)論正確，請判斷正確的結(jié)論，并求出其值．
6．（2022秋·廣東深圳·七年級深圳中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是，M、N、P為數(shù)軸上三個動點，點M從A點出發(fā)，速度為每秒2個單位，點N從點B出發(fā)，速度為M點的3倍，點P從原點出發(fā)，速度為每秒1個單位．(1)若點M向右運動，同時點N向左運動，求多長時間點M與點N相距46個單位？(2)若點M、N、P同時都向右運動，求多長時間點P到點M，N的距離相等？
(3)當(dāng)時間t滿足時，M、N兩點之間，N、P兩點之間，M、P兩點之間分別有47個、37個、10個整數(shù)點，請直接寫出t1，t2的值．
7．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為，點C表示的數(shù)為9，點D表示的數(shù)為13，在點B和點C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱點A和點D在數(shù)軸上相距20個長度單位，動點P從點A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點Q從點D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負方向運動，它們在“水平路線”射線BA和射線CD上的運動速度相同均為2個單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運動的時間為t秒，問：(1)動點Q從點C運動到點B需要的時間為______秒；(2)動點P從點A運動至D點需要的時間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q、O兩點在數(shù)軸上相距的長度相等時，求出動點P在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)．
8．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數(shù)為2，點B表示的數(shù)為3，則．
問題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數(shù)為______．
(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設(shè)運動時間為t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數(shù)為______；點Q表示的數(shù)為______；
②求當(dāng)t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)．
(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當(dāng)各自到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運動，那么再經(jīng)過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數(shù)．
9．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）平移和翻折是初中數(shù)學(xué)中兩種重要的圖形變化，閱讀并回答下列問題：
（一）平移：在平面內(nèi)，講一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．
（1）把筆尖放在數(shù)軸的原點處，先向左移動3個單位長度，再向右移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示的數(shù)是 ；（2）一個機器人從數(shù)軸上原點出發(fā)，并在數(shù)軸上移動2次，每次移動2個單位后到達B點，則B點表示的數(shù)是 ；（3）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?1，點B表示的數(shù)為1，點P從5出發(fā)，若P，A兩點的距離是A，B兩點距離的2倍，則需將點P向左移動 個單位．
（二）翻折：將一個圖形沿著某一條直線折疊的運動．
（4）若折疊紙條，表示?3的點與表示1的點重合，則表示?4的點與表示 的點重合；
（5）若數(shù)軸上A，B兩點之間的距離為10，點A在點B的左側(cè)，A，B兩點經(jīng)折疊后重合，折痕與數(shù)軸相交于表示?1的點，則A點表示的數(shù)為 ；（6）在數(shù)軸上，點M表示是的數(shù)為4，點N表示的數(shù)為x，將點M，N兩點重合后折疊，得折痕①，折痕①與數(shù)軸交于P點；將點M與點P重合后折疊，得折痕②，折痕②與數(shù)軸交于Q點．若此時點M與點Q的距離為2，則x＝ ．
10．（2022秋·重慶·七年級期中）如圖1，數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別為﹣4、20，一段木棍CD在數(shù)軸上A、B兩點之間運動．（1）當(dāng)木棍的端點C與點A重合時，端點D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是4．則木棍CD的長度為 ．（2）在（1）的條件下，木棍CD在A、B兩點之間運動，點E是AD的中點，若CE＝2，求點D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)；（3）在（1）的條件下，如圖2，木棍CD從點A出發(fā)（點C與A重合），以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時有一根同樣長度的木棍MN，從點B出發(fā)（點N與B重合），以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，當(dāng)點M碰到點A后立即以相同的速度返回．當(dāng)點D與點B重合時木棍MN與木棍CD同時停止運動．設(shè)它們運動的時間為t秒，請用含t的代數(shù)式直接表示點C、N之間的距離．

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