2024年小升初數(shù)學(xué)專題（通用版）-04 平面圖形的面積問題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

在初中幾何中，隨著變量和演繹推理證明等知識的進(jìn)入，初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何就需要提高相應(yīng)的思維能力，比如抽象思維，推理等等。難度自不必說，思維的層次也大為不同。甚至一些證明，必須用演繹推理來完成，比如“兩直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行”，這個(gè)命題就需要演繹推理思維，學(xué)生必須要在自己的心中構(gòu)建直觀圖形，難度加大了。如“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)定理，在小學(xué)教材中是由實(shí)驗(yàn)得出的，學(xué)生較熟悉。因此，在教學(xué)中既讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論，又要強(qiáng)調(diào)說明不能滿足于實(shí)驗(yàn)，而必須從理論上給予嚴(yán)格論證。
求幾何圖形面積常見方法及運(yùn)用：
1）割補(bǔ)法求面積（平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等）；2）和差法求面積；3）等積變換（化線段比為面積比）；4）運(yùn)用整體思想；5）容斥原理（韋恩圖）等。
公式法：所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計(jì)算。
割補(bǔ)法：就是從割和補(bǔ)兩種不同角度認(rèn)識同一個(gè)面積。還有的是從不同的角度認(rèn)識某個(gè)長方形面積的一半。通過對面積問題的訓(xùn)練可以打開思維。特別是結(jié)合算兩次的思想能讓我們的思維理念得到很大提升。最后我寫了算兩次解決面積問題，來詮釋前面的理論。
和差法：所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最常用的方法。
等積變換法：以線段比為對象運(yùn)用兩個(gè)面積比來表示同一個(gè)面積比，有的是運(yùn)用整體與局部思想整體由各個(gè)局部合成。有的是抓住面積不變，從兩個(gè)不同的底和高來表示同一個(gè)三角形的面積或者隨便求出直角邊的平方。
考點(diǎn)1、割補(bǔ)法求面積（一）平移與對稱
【解題技巧】常見模型
例1．（2022春·六年級統(tǒng)考期末）下圖中陰影部分的面積是( )平方厘米。
例2．（2022春·吉林·六年級統(tǒng)考期末）如圖：求陰影部分的面積。（取3.14，單位：厘米）
變式1．（2023秋·北京西城·五年級統(tǒng)考期末）將等腰三角形ABC沿虛線對折，折下來的部分恰好拼成了一個(gè)長方形（如圖）。已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，圖中涂色部分的面積是（）cm2。
A．24B．12C．6D．3
變式2．（2023春·全國·六年級專題練習(xí)）求陰影部分面積。（單位：厘米）
變式3．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·六年級統(tǒng)考期末）求下圖中陰影部分的面積（單位：cm）。
考點(diǎn)2、割補(bǔ)法求面積（二）旋轉(zhuǎn)
【解題技巧】常見模型
例1．（2023秋·四川綿陽·六年級?？计谀┣箨幱安糠值拿娣e。
例2．（2022春·浙江溫州·六年級期末）求下圖陰影部分面積。（單位：厘米）
變式1．（2023春·山東青島·六年級統(tǒng)考期末）求下面圖形中陰影部分的面積。（單位：cm）
（1）（2）

變式2．（2023春·江蘇連云港·六年級專題練習(xí)）如圖，有兩個(gè)邊長是6厘米的正方形，把其中一個(gè)正方形的頂點(diǎn)固定在另一個(gè)正方形的中心點(diǎn)上。旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)正方形，重疊部分的面積是( )平方厘米。
考點(diǎn)3、和差法求面積
【解題技巧】常見模型
例1．（2022秋·新疆阿勒泰·六年級統(tǒng)考期末）如圖所示，陰影部分的面積是______cm2。
例2．（2022秋·陜西咸陽·六年級校考期末）計(jì)算下面圖形陰影部分的面積。
變式1．（2023秋·四川樂山·六年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圓的直徑，A為扇形ADC的圓心，求陰影部分的面積是多少平方厘米。（結(jié)果用π表示）
變式2．（2022·遼寧沈陽·六年級校考期末）直角三角形ABC中，陰影甲比乙的面積大28平方厘米，厘米，AB有多長？
變式3．（2023秋·河南南陽·六年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓的圓心為O，AB＝4厘米，以A為圓心，AB為半徑畫一個(gè)圓心角為45°的扇形，圖中陰影部分的面積是( )平方厘米。
考點(diǎn)4、整體代換法
【解題技巧】有些參數(shù)（如圓的半徑）直接求很困難，但是可以直接求的半徑的平方，采用設(shè)而不求，整體代換即可。
例1．（2022秋·湖北武漢·六年級統(tǒng)考期末）如圖中陰影部分的面積是40平方厘米，圖中大圓的面積比小圓的面積大( )平方厘米。
例2.（2021·四川成都·六年級期末）如圖，已知陰影三角形的面積是50dm2，則圓的面積是( )dm2。
例3．（2023·廣東·六年級期中）如圖：（1）若大正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是( )平方厘米。（2）若小正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是( )平方厘米。
變式1．（2022·湖北武漢·六年級?？计谀┫聢D中環(huán)形的面積是314平方厘米，陰影部分的面積是( )。
變式2．（2023·江蘇常州·校考小升初模擬）在圖中正方形的面積是5平方厘米，則圖中陰影部分面積為（）平方厘米。
A．5－πB．5－πC．πD．π
考點(diǎn)5、等積變換法求面積
【解題技巧】合理使用邊、高的比求面積的比例，靈活掌握邊、高、面積之間的關(guān)系。
例1．（2023春·廣東廣州·六年級專題練習(xí)）下圖中三角形ABC的面積30平方厘米，高是6厘米，求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）
例2．（2022·重慶沙坪壩·統(tǒng)考小升初真題）如圖，在梯形ABCD中，上底長是下底長的一半，點(diǎn)E是CB的的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE線段的中點(diǎn)，陰影部分是梯形面積的幾分之幾？
變式1．（2023春·浙江·六年級專題練習(xí)）三條邊長分別是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，將它的最短邊對折與斜邊相重合（如下圖），那么，圖中陰影部分面積是( )平方厘米。
變式2．（2023春·湖北黃岡·六年級?？计谥校┤鐖D，的面積為14平方厘米，，，陰影部分的面積是( )平方厘米。
變式3．（2023·河北·小升初模擬）在長方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四邊形EFGO的面積是9平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？
考點(diǎn)6、容斥原理（韋恩圖）
【解題技巧】容斥原理這個(gè)詞可能聽起來比較陌生，它還有另一個(gè)名詞，重疊法。如果運(yùn)用得當(dāng)，掌握其精髓，在求解陰影部分面積，以及相關(guān)應(yīng)用題時(shí)，能起到事半功倍的作用。本文就來重點(diǎn)講一下，容斥原理在求解陰影部分面積時(shí)的妙用。
例1.是邊長為4的正方形，分別以、、、為直徑畫半圓，則這四個(gè)半圓弧所圍成的陰影部分的面積是____________

例2.（2022·河南南陽·六年級期末）如圖，直角三角形三條邊分別為3厘米、4厘米5厘米，分別以三邊為直徑畫半圓，圖中陰影部分的面積是( )平方厘米。
變式1.如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積．(取3)
變式2.在桌面上放置個(gè)兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，張紙片共同重疊的面積是平方厘米.那么圖中個(gè)陰影部分的面積的和多少是平方厘米？
A級（基礎(chǔ)過關(guān)）
1．（2023秋·四川樂山·六年級統(tǒng)考期末）七巧板起源于我國先秦時(shí)期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，把一幅七巧板按如圖①所示進(jìn)行1~7編號，1~7號分別對應(yīng)著七巧板的七塊。圖②所示的“天鵝”是由這幅七巧板拼成的，“天鵝”頭頸由3號和6號塊構(gòu)成，其面積為3，則圖①大正方形的邊長為（）。
A．8B．6C．4D．2
2．（2023春·江蘇南京·六年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E、F分別為CD、BC的中點(diǎn)，則圖中涂色部分的面積占原正方形面積的（）。
A．B．C．D．
3．（2022·北京豐臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖，計(jì)算陰影部分面積，下面列式正確的是（）。（圖中每個(gè)小正方形格的邊長是1）
A．B．C．D．
4．（2023·重慶·六年級期末）如圖所示，將半徑為4cm和5cm的兩個(gè)半圓形疊放在一起，，為圓心。陰影部分的總周長為（）cm。
A．19.42B．34.26C．37.26D．38.26
5．（2023·江蘇蘇州·六年級小升初模擬）如圖，在一個(gè)上底和下底分別是10、20的梯形中，陰影部分面積為40平方厘米，則空白部分的面積是（）平方厘米。
A．20B．40C．60
6．（2022秋·山東濱州·六年級統(tǒng)考期末）我們在探究圓的面積公式時(shí)，經(jīng)歷了怎樣的研究過程？（）
A．尋找關(guān)系→轉(zhuǎn)化圖形→推導(dǎo)公式B．轉(zhuǎn)化圖形→推導(dǎo)公式→尋找關(guān)系
C．轉(zhuǎn)化圖形→尋找關(guān)系→推導(dǎo)公式D．尋找關(guān)系→推導(dǎo)公式→轉(zhuǎn)化圖形
7．（2022秋·遼寧沈陽·六年級?？计谥校┌岩粡垐A形紙片剪拼成一個(gè)近似的長方形，這個(gè)長方形的長是12.56厘米，圓的面積是（）平方厘米。
A．25.12 B．50.24 C．100.48 D．200.96
8．（2022秋·山東棗莊·六年級統(tǒng)考期末）下圖陰影部分的面積是( )平方厘米。（單位：厘米）
9．（2023·浙江寧波·五年級統(tǒng)考期末）計(jì)算下面陰影部分的面積。（單位：厘米）
（1）（2）

10．（2022春·湖南永州·六年級統(tǒng)考期末）求陰影部分的面積。（單位：厘米）
11．（2023春·全國·六年級小升初模擬）求下圖中陰影部分的面積。（π取3.14）
12．（2023秋·河北邢臺·六年級校聯(lián)考期末）求圖中涂色部分周長和面積。（單位：cm）
13．（2023秋·湖北十堰·六年級統(tǒng)考期末）計(jì)算下面陰影部分面積。（單位：cm）
14．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考小升初真題）為了增加百姓的休閑活動(dòng)空間，某社區(qū)準(zhǔn)備新建一個(gè)口袋公園。右圖左側(cè)的正方形是口袋公園的平面設(shè)計(jì)圖，空白部分為活動(dòng)區(qū)域（是4個(gè)完全相同的扇形），陰影部分為綠植區(qū)域。（1）以正方形中心O點(diǎn)為觀測點(diǎn)，A點(diǎn)在正（）方向上，距離是（）米；B點(diǎn)在（）°方向上。（2）綠植區(qū)域的圖形共有（）條對稱軸。綠植區(qū)域的面積是（）平方米。
（3）在保證活動(dòng)區(qū)域和綠植區(qū)域面積不變的情況下，還可以有不同的設(shè)計(jì)方案。請?jiān)谏厦嬗覀?cè)正方形中用圓規(guī)畫出你的新設(shè)計(jì)圖（如沒有新設(shè)計(jì)，也可以畫出原設(shè)計(jì)圖），并將綠植區(qū)域涂上陰影。
15．（2022秋·河南南陽·六年級統(tǒng)考期末）圖中平行四邊形的面積是18平方厘米，高是3厘米，求圖中陰影部分的面積是多少？
16．（2023秋·重慶渝中·六年級統(tǒng)考期末）如下圖，分別以長方形、平行四邊形、梯形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，畫半徑為2厘米的圓。琳琳說：這三個(gè)圖形陰影部分的面積相等。你同意琳琳的說法嗎？請說出你的理由。
17．（2022秋·陜西安康·六年級統(tǒng)考期末）計(jì)算下面圖形陰影部分的周長和面積。
B級（能力提升）
1．（2023秋·福建龍巖·六年級統(tǒng)考期末）圖中ABCD為正方形，E為AB的中點(diǎn)，陰影部分的面積是21cm2，正方形ABCD的面積是( )cm2。
2．（2023秋·山東濰坊·六年級?？计谀┫旅媸且环N有意思的推導(dǎo)圓的面積的方法，讀一讀，填一填。
如圖所示，將圓形平分16等份，并拼成一個(gè)近似的三角形，用π表示圓周率，用r表示圓的半徑，那么：三角形的底是圓的周長的（），表示為（），三角形的高是圓的半徑的（）倍，表示為（），圓形和三角形的（）相等。請你根據(jù)三角形的面積公式推理出圓的面積公式，并寫出推導(dǎo)過程。
3．（2023春·江蘇無錫·六年級專題練習(xí)）芳芳用一張長10厘米的長方形紙如右圖進(jìn)行翻折，折出的平行四邊形面積比原來少了15平方厘米。這張長方形紙的寬是( )厘米，折成的平行四邊形的面積是( )平方厘米。
4．（2023春· 重慶六年級月考）如圖所示的紙帶，( )是莫比烏斯帶，圖①中的螞蟻如果不爬過紙帶的邊緣，( )（填“能”或“不能”）吃到紙帶內(nèi)的面包屑。
5．（2023春·湖南邵陽·六年級統(tǒng)考期末）一個(gè)長30厘米、寬2分米的長方形，沿對角線對折后，得到下圖所示幾何圖形，陰影部分的周長是( )厘米。
6．（2023春·江蘇南通·六年級專題練習(xí)）折疊一張長方形紙ABCD，如圖，折疊時(shí)，C點(diǎn)和A點(diǎn)重合，產(chǎn)生折痕為EF。量得AE長22厘米，如果長方形的寬是20厘米，折疊后圖形的面積比原來長方形面積少了( )平方厘米。
7．（2022·四川成都·成都嘉祥外國語學(xué)校?？夹∩跽骖}）如圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（單位：厘米）
8．（2023秋·河南南陽·六年級統(tǒng)考期末）如圖，大半圓的直徑為8厘米，求圖中陰影部分的面積。
9．（2023春·六年級單元測試）求陰影部分的面積。（單位：厘米）
10．（2023秋·浙江杭州·六年級統(tǒng)考期末）如圖，一枚半徑是1厘米的游戲幣沿著邊長是4厘米的等邊三角形的邊繞一圈，它掃過的面積是多少平方厘米？
11．（2022春·全國·六年級統(tǒng)考期末）如果將直角三角形ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可以形成下圖。請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算陰影部分的面積。
12．（2023秋·湖北襄陽·六年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“外方內(nèi)圓”（如下圖1）的問題，現(xiàn)在讓你繼續(xù)研究，你會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。
（1）圖1的陰影部分面積是多少？（列式計(jì)算）（2）圖2的陰影部分面積是多少？（列式計(jì)算）（3）通過上面兩個(gè)圖形的計(jì)算，你是否有所發(fā)現(xiàn)？按你的發(fā)現(xiàn)，那么如圖3這樣正方形中有16個(gè)小圓，陰影部分的面積是（）。
13．（2023春·江蘇·六年級小升初模擬）如圖，半圓的面積是39.25平方厘米，圓的面積是28.26平方厘米。那么長方形（陰影部分）的面積是多少平方厘米？
14．（2023春·廣東廣州·六年級專題練習(xí)）求陰影部分的面積。
15．（2022秋·山東濟(jì)南·六年級統(tǒng)考期末）如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，以AD為弧的扇形的面積是它所在圓面積的，求陰影部分的面積？
16．（2023秋·河北邢臺·六年級校聯(lián)考期末）已知涂色部分的面積是12cm2，求圓環(huán)的面積。
C級（培優(yōu)拓展）
1.（2022·成都外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，正方形ABCD的邊AB＝1，弧BD和弧AC都是以1為半徑的圓弧，則無陰影的兩部分的面積之差為( )。
2．（2022·山東·六年級期中）如圖，在長方形ABCD中，M是CD邊中點(diǎn)，DN是以點(diǎn)A為圓心的一段弧，KN是以點(diǎn)B為圓心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米．則圖中陰影部分的面積是平方厘米．（π取3.14）
3．（2023·福建莆田·六年級期末）兩個(gè)小朋友用圓做剪紙游戲，一個(gè)小朋友將圓拼成一個(gè)近似長方形，另一個(gè)小朋友將圓剪成兩個(gè)半圓貼在長方形上，如下圖，如果長方形周長為16.56cm，那么S②比S①大( )平方厘米．
4．（2023·陜西西安·小升初模擬）在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，四邊形AOCD的面積占正方形ABCD面積的( )。
5．（2023·山西·小升初模擬）如圖所示為某商品的商標(biāo)，由兩顆愛心組成，每顆愛心都是由一個(gè)正方形和兩個(gè)半圓拼成，兩個(gè)正方形的邊長分別為40毫米和20毫米，則陰影部分的面積是多少平方毫米？（圓周率取3.14）
6.（2023·成都市小升初模擬）如圖，三角形的面積是1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)。求四邊形的面積。
7．（2022重慶·六年級期中）如圖，一個(gè)鬧鐘內(nèi)圓的面積是30平方厘米，陰影部分的積是多少平方厘米？
8．（2022·上海普陀·六年級期末）汽車盲區(qū)是造成交通事故的罪魁禍?zhǔn)字?，它是指駕駛員位于正常駕駛座位置，其視線被車體遮擋而不能直接觀察到的那部分區(qū)域。有一種汽車盲區(qū)叫做內(nèi)輪差盲區(qū)，內(nèi)輪差是車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)前內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑與后內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑之差；由于內(nèi)輪差的存在而形成的這個(gè)區(qū)域（下圖所示）是司機(jī)視線的盲區(qū)?？ㄜ?，貨車等車身較長的大型車在轉(zhuǎn)彎時(shí)都會(huì)產(chǎn)生這種盲區(qū)，為了解決這個(gè)問題，現(xiàn)在許多路口都開始設(shè)置“右轉(zhuǎn)危險(xiǎn)區(qū)”標(biāo)線。
下圖是我區(qū)某一路口“右轉(zhuǎn)危險(xiǎn)區(qū)”的示意圖，經(jīng)過測址后內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑米，前內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑米，圓心角，求此“右轉(zhuǎn)危險(xiǎn)區(qū)”的面積和周長。
9．（2022·全國·期中）如圖，已知等腰三角形ABC，D為AC中點(diǎn)，AB=BC=2厘米，，分別是以B、A為圓心的?。敲搓幱安糠值拿娣e是多少平方厘米？
10.（2023·成都小升初模擬）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC。將繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置。設(shè)，，，求旋轉(zhuǎn)到的過程中邊PA所掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積。
11．（2022春·浙江溫州·六年級統(tǒng)考期中）圖中陰影部分的面積是24平方厘米，求半圓環(huán)的面積。
12.（2023·成都市小升初模擬）已知△ABC的面積是1，把它的各邊按照如圖所示的方式延長1倍后得到△。（1）△的面積為（）；（直接寫出答案）
（2）若按照之前的方式再把△的各邊延長2倍得到△，試求△的面積。
圖形
轉(zhuǎn)化后的圖形
秘籍計(jì)算方法
圖形
轉(zhuǎn)化后的圖形
秘籍計(jì)算方法
圖形
轉(zhuǎn)化后的圖形
秘籍計(jì)算方法

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