知識點一 離散型隨機變量
對隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點w，都有唯一的實數(shù)X(w)與之對應(yīng)，稱為 隨機變量 ，通常用大寫英文字母X，Y，…表示隨機變量．所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為 離散型 隨機變量．
知識點二 離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)
1．一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，稱X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi為X的分布列，可用表格表示為：
2.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
(2)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))pi＝ p1＋p2＋…＋pn ＝1.
3．兩點分布或0－1分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為
其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．
若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
知識點三 離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
1．均值：稱E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi 為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．
2．方差：稱D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根eq \r(D?X?)為隨機變量X的 標(biāo)準(zhǔn)差 .
3．均值與方差的性質(zhì)
(1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
(2)D(aX＋b)＝ a2D(X) .
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
歸 納 拓 展
1．若X是隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b是常數(shù))也是隨機變量．
2．隨機變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的．
3．隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定．
4．隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越?。?br>雙 基 自 測
題組一 走出誤區(qū)
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量．( √ )
(2)在離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.( × )
(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(4)由下列給出的隨機變量X的分布列服從兩點分布．( × )
題組二 走進(jìn)教材
2．(選擇性必修3P90T4改編)設(shè)隨機變量X的概率分布列為
則P(|X－3|＝1)＝ eq \f(5,8) .
[解析] 由eq \f(1,4)＋m＋eq \f(1,8)＋eq \f(3,8)＝1，解得m＝eq \f(1,4)，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,8)＝eq \f(5,8).
3．(選擇性必修3P69例6)A、B兩種股票，每股收益分布列如表
股票A收益分布列
股票B收益分布列
則投資 A 股票期望大，投資 A 股票風(fēng)險高．
[解析] 由分布列的性質(zhì)易知a＝0.1，b＝0.3，
從而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6，
∴E(X)>E(Y)，投資A股票期望大，
D(X)>D(Y)投資A股票風(fēng)險高．
題組三 走向高考
4．(2022·浙江)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則P(ξ＝2)＝ eq \f(16,35) ，E(ξ)＝ eq \f(12,7) .
[解析] 從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有Ceq \\al(3,7)種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)種，所以P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)＋C\\al(1,2)C\\al(2,4),C\\al(3,7))＝eq \f(16,35)，由已知可得ξ的取值有1,2,3,4，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,6),C\\al(3,7))＝eq \f(15,35)，P(ξ＝2)＝eq \f(16,35)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(3,35)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，所以E(ξ)＝1×eq \f(15,35)＋2×eq \f(16,35)＋3×eq \f(3,35)＋4×eq \f(1,35)＝eq \f(12,7).
5．(2020·課標(biāo)Ⅲ)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq \i\su(i＝1,4,p)i＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是( B )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
[解析] 根據(jù)均值E(X)＝eq \i\su(i＝1,4,x)ipi，方差D(X)＝eq \i\su(i＝1,4,[)xi－E(X)]2·pi，標(biāo)準(zhǔn)差最大即方差最大，由各選項對應(yīng)的方差如下表
由此可知選項B對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大，故選B.X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
2
5
P
0.3
0.7
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,4)
m
eq \f(1,8)
eq \f(3,8)
收益X/元
－1
0
2
概率
a
0.3
0.6
收益Y/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
b
選項
均值E(X)
方差D(X)
A
2.5
0.65
B
2.5
1.85
C
2.5
1.05
D
2.5
1.45

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