【核心素養(yǎng)】
1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，凸顯數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).
2.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，會求簡單的離散型隨機變量的均值、方差，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
3.能利用離散型隨機變量的均值、方差的概念解決一些簡單實際問題，凸顯數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．
【知識點展示】
（一）離散型隨機變量的分布列
1．離散型隨機變量的分布列
(1)隨機變量
如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)離散型隨機變量
對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．
隨機變量的線性關系：若是隨機變量，，其中是常數(shù)，則也是隨機變量.
2. 分布列的兩個性質
①，；②.
3．分布列性質的兩個作用
(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．
(2)隨機變量ξ所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．
3．常見離散型隨機變量的分布列
(1)兩點分布：
若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為
其中，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布．其中稱為成功概率．
(2)設離散型隨機變量可能取得值為，，…，，…，取每一個值 ()的概率為，則稱表
為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列．有時為了表達簡單，也用等式，表示的分布列．
（二）離散型隨機變量分布列與數(shù)字特征
1．均值
若離散型隨機變量X的分布列為
稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．．
若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且.
若服從兩點分布，則；
2.方差
若離散型隨機變量X的分布列為
則描述了 ()相對于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機變量的方差，其算術平方根為隨機變量的標準差．
若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．
若服從兩點分布，則．
3. 六條性質
(1) (為常數(shù))
(2) (為常數(shù))
(3)
(4)如果相互獨立，則
(5)
(6)
【常考題型剖析】
題型一：離散型隨機變量分布列的性質
例1. （2022·江蘇·高三專題練習）已知集合，，從集合中任取3個不同的元素，其中最小的元素用表示，從集合中任取3個不同的元素，其中最大的元素用表示，記，則為（ ）
A．B．C．D．4
例2. （2023·全國·高三專題練習）設是一個離散型隨機變量，其分布列如圖，則q等于（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·河南·上蔡縣衡水實驗中學高三階段練習（理））設隨機變量的概率分布列如下表：
則（ ）A．B．C．D．
例4．（2023·全國·高三專題練習）設X是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則______.
【規(guī)律方法】
1．離散型隨機變量的分布列的性質的應用
(1)利用“總概率之和為1”可以求相關參數(shù)的取值范圍或值；
(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根據(jù)性質判斷所得分布列結果是否正確．
2．對于分布列易忽視其性質及，其作用可用于檢驗所求離散型隨機變量的分布列是否正確．
3．確定離散型隨機變量的取值時，易忽視各個可能取值表示的事件是彼此互斥的．
4.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)．
題型二：離散型隨機變量分布列的求法
例5. 設離散型隨機變量X的分布列為
(1)求隨機變量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求隨機變量η＝|X－1|的分布列；
(3)求隨機變量ξ＝X2的分布列．
【點睛】由于分布列中每個概率值均為非負數(shù)，故在利用概率和為1求參數(shù)值時，務必要檢驗．
例6.（2021·全國·高二課時練習）拋一枚均勻的硬幣2次，設正面朝上的次數(shù)為X．
（1）說明表示的是什么事件，并求出；
（2）求X的分布列．
例7.（2016·山東·高考真題（理））甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：
（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX．
【規(guī)律方法】
求分布列的三種方法
1.由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列；
(1)可設出隨機變量Y，并確定隨機變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；
(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義．
2.由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率．而超幾何分布就是此類問題中的一種．
3.由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列．
題型三：離散型隨機變量的均值與方差
例8．（2023·全國·高三專題練習）設，若隨機變量的分布列如下表：
則下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
例9.（2022·浙江·高三開學考試）互不相等的正實數(shù)是的任意順序排列，設隨機變量滿足：則（ ）
A．B．
C．D．
例10.（2023·全國·高三專題練習）已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗可得，隨機變量X的分布列為
其中結論正確的是（ ）
A．
B．若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為
C．
D．當最小時，
例11.（2020·浙江省高考真題）盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_______；______．
例12.（2023·全國·高三專題練習）隨機變量的分布列如下表，則___________.
例13．（2022·全國·清華附中朝陽學校模擬預測）隨機變量的分布列如下表所示，則方差的取值范圍是_________.
【總結提升】
均值與方差性質的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．
題型四 實際問題中的科學決策
例14.（2022·湖南·高三階段練習）某商家為了促銷，規(guī)定每位消費者均可免費參加一次抽獎活動.活動規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有9張相同的卡片，其中3張卡片上印有“中”字，3張卡片上印有“國”字，另外3張卡片上印有“紅”字.消費者從該紙箱中不放回地隨機抽取3張卡片，若抽到的3張卡片上都印有同一個字，則獲得一張20元代金券；若抽到的3張卡片中每張卡片上的字都不一樣，則獲得一張10元代金券；若抽到的3張卡片是其他情況，則不獲得任何獎勵.
(1)求某位消費者在一次抽獎活動中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率.
(2)記隨機變量為某位消費者在一次抽獎活動中獲得代金券的金額數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
(3)該商家規(guī)定，消費者若想再次參加該項抽獎活動，則每抽獎一次需支付5元.若你是消費者，請從收益方面來考慮是否愿意再次參加該項抽獎活動，并說明理由.
例15.（2017·全國·高考真題（理））某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.
(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?
例16.（2021·全國·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
（1）已知，求；
（2）設p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；
（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結論的實際含義．
【規(guī)律方法】
1.解決與生產(chǎn)實際相關的概率問題時首先把實際問題概率模型化，然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應的均值．
2.均值與方差在決策中的應用注意點
（1）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
（2）兩種應用策略
= 1 \* GB3 ①當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
= 2 \* GB3 ②若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策.
3.幾種常用的解題方法
(1)轉化法．
將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學模型，將不熟悉的數(shù)學問題轉化為熟悉的數(shù)學問題，以求得解決途徑．
(2)正難則反的解題策略．
當所求問題正面求解過于煩瑣時，往往可以使用其對立事件簡化過程，一般當問題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時使用較多．
題型五 概率與統(tǒng)計綜合問題
例17.（2022·廣東·仲元中學高三階段練習）隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質人才的需求不斷擴大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2020年的考研人數(shù)是341萬人，2021年考研人數(shù)是377萬人．某省統(tǒng)計了該省其中四所大學2022年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：
(1)已知y與x具有較強的線性相關關系，求：y關于x的線性回歸方程；
(2)假設該省對選擇考研的大學生每人發(fā)放0.5萬元的補貼．
①若該省大學2022年畢業(yè)生人數(shù)為8千人，估計該省要發(fā)放補貼的總全額：
②若大學的畢業(yè)生中小浙、小江選擇考研的概率分別為，，該省對小浙、小江兩人的考研補貼總金額的期望不超過0.75萬元，求的取值范圍．
參考公式：，．
例18. （2022·湖南師大附中高三階段練習）某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對生產(chǎn)設備進行了技術改造，為了對比技術改造后的效果，采集了技術改造前后各次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，整理如下：
改造前：；
改造后：.
(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析判斷技術改造前后的連續(xù)正常運行時間是否有差異？
(2)工廠的生產(chǎn)設備的運行需要進行維護，工廠對生產(chǎn)設備的生產(chǎn)維護費用包括正常維護費和保障維護費兩種，對生產(chǎn)設備設定維護周期為天（即從開工運行到第天，）進行維護，生產(chǎn)設備在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內(nèi)，若生產(chǎn)設備能連續(xù)運行，則只產(chǎn)生一次正常維護費，而不會產(chǎn)生保障維護費；若生產(chǎn)設備不能連續(xù)運行，則除產(chǎn)生一次正常維護費外，還產(chǎn)生保障維護費，經(jīng)測算，正常維護費為萬元/次，保障維護費第一次為萬元/周期，此后每增加一次則保障維護費增加萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設備一個生產(chǎn)周期（以天計）內(nèi)的維護方案：，.以生產(chǎn)設備在技術改造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及均值.
（其中）
0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
-1
0
1
P
0.5
1
2
3
4
X
0
1
P
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
－1
0
2
P
a
2a
3a
X
0
a
2
P
b
0
1
2
0.4
0.2
0
1
2
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
大學
A大學
B大學
C大學
D大學
2022年畢業(yè)人數(shù)x（千人）
7
6
5
4
2022年考研人數(shù)y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
技術改造
設備連續(xù)正常運行天數(shù)
合計
超過
不超過
改造前
改造后
合計

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