知識(shí)點(diǎn)一 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
1．分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn 種不同的方法．
2．分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ m1×m2×…×mn 種不同的方法．
知識(shí)點(diǎn)二 排列與排列數(shù)
1．排列的定義：從n個(gè) 不同 元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的 順序 排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．
2．排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的 所有不同排列 的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) Aeq \\al(m,n) 表示．
3．排列數(shù)公式：Aeq \\al(m,n)＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n) .
4．全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，Aeq \\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝ n！ .排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！)，這里規(guī)定0?。?1 .
知識(shí)點(diǎn)三 組合與組合數(shù)
1．組合的定義：一般地，從n個(gè) 不同 元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 作為一組 ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．
2．組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的 所有不同組合 的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) Ceq \\al(m,n) 表示．
3．組合數(shù)的計(jì)算公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n！,m！?n－m?！)＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，這里規(guī)定Ceq \\al(0,n)＝ 1 .
4．組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq \\al(m,n)＝ Ceq \\al(n－m,n) ；②Ceq \\al(m,n＋1)＝ Ceq \\al(m,n) ＋ Ceq \\al(m－1,n) .
注：應(yīng)用公式化簡(jiǎn)、求值、解方程、解不等式時(shí)，注意Aeq \\al(m,n)、Ceq \\al(m,n)中的隱含條件m≤n，且m，n∈N*.
歸 納 拓 展
1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別
分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互聯(lián)系、相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．
2．對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮
(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．
(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置．
(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．
雙 基 自 測(cè)
題組一 走出誤區(qū)
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．( √ )
(2)若組合式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，則x＝m成立．( × )
(3)4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的3個(gè)社團(tuán)，每人限報(bào)一個(gè)，則不同的報(bào)法種數(shù)為43.( × )
(4)正十二邊形共有54條對(duì)角線．( √ )
(5)用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字可以組成30個(gè)三位偶數(shù)．( × )
(6)kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1).( √ )
題組二 走進(jìn)教材
2．(選擇性必修3P38T3(2)改編)某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)每科一節(jié)，要求數(shù)學(xué)排在上午，體育不排上午第一節(jié)和下午第二節(jié)，則不同的安排種數(shù)是 312 .
[解析] 上午第一節(jié)排數(shù)學(xué)有4Aeq \\al(4,4)＝96種排法；
上午第一節(jié)不排數(shù)學(xué)有3×3Aeq \\al(4,4)＝216種排法，
∴不同的排法共有96＋216＝312種排法．
3．(選擇性必修3P27T17改編)在如圖所示的五個(gè)區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為( C )
A．24 B．48
C．72 D．96
[解析]
∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(種)，故選C.
題組三 走向高考
4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有( B )
A．12種 B．24種
C．36種 D．48種
[解析] 先將丙和丁捆在一起有Aeq \\al(2,2)種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有Aeq \\al(3,3)種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有Ceq \\al(1,2)種排列方式，所以不同的排列方式共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Ceq \\al(1,2)＝24種，故選B.
5．(2023·高考全國(guó)甲卷)有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為( B )
A．120 B．60
C．40 D．30
[解析] 不妨記五名志愿者為a，b，c，d，e，假設(shè)a連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有Aeq \\al(2,4)＝12種方法，同理：b，c，d，e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5×12＝60種．故選B.區(qū)域
A
B
E
C
D
涂法
4
3
2
(與A同色)1
2
與A不同色1
1

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