知識點一 事件的相互獨立性
設A、B為兩個事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B) ，則稱事件A與事件B相互獨立．
若事件A、B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)；事件A與eq \x\t(B)，eq \x\t(A)與B，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)都相互獨立．
注：“相互獨立”與“事件互斥”的區(qū)別．兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響．兩事件相互獨立不一定互斥．
知識點二 條件概率
1．定義：設A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．
2．求法：P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?)＝eq \f(P?AB?,P?A?).
3．乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．
4．性質(zhì)：
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)若B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
知識點三 全概率公式
一般地，設A1，A2，A3，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,3，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我們稱此公式為全概率公式．
*貝葉斯公式：
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq \f(P?AiB?,P?B?)＝eq \f(P?Ai?P?B|Ai?,\i\su(k＝1,n,P)?Ak?P?B|Ak?)，i＝1,2，…，n.
歸 納 拓 展
1．事件的表示
(1)A、B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B.
(2)A、B都發(fā)生的事件為AB.
(3)A、B都不發(fā)生的事件為eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)).
(4)A、B恰有一個發(fā)生的事件為(Aeq \(B,\s\up6(－)))∪(eq \x\t(A)B)．
(5)A、B至多有一個發(fā)生的事件為(eq \x\t(A)B)∪(Aeq \(B,\s\up6(－)))∪(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))．
2．一般結(jié)論
(1)若事件A，B，C兩兩相互獨立，則P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)；
(2)P(eq \(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A)；
(3)若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)·P(B|A)；
(4)若A、B相互獨立，則①A、B至少有一個發(fā)生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)．
P(A＋B)＝1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))．
②A、B恰有一個發(fā)生的概率P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)·P(B)．
雙 基 自 測
題組一 走出誤區(qū)
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．( √ )
(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率；P(BA)表示事件A，B同時發(fā)生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．( × )
(3)袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是0.5.( √ )
(4)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A＝“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件B＝“兩枚骰子向上點數(shù)之和為7”．則A與B獨立．( √ )
題組二 走進教材
2．(多選題)(選擇性必修3P48T3)一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，2個白球，每次從中隨機摸出1個球，則下列結(jié)論中正確的是( BCD )
A．若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為eq \f(3,10)
B．若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為eq \f(1,2)
C．若有放回的摸球3次，則僅有前2次摸到紅球的概率為eq \f(18,125)
D．若有放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為eq \f(54,125)
[解析] 第一次摸到紅球的概率為eq \f(3,5)，故A錯誤；不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率P＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，故B正確；有放回的摸球3次，則僅有前2次摸到紅球的概率eq \f(3,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(18,125)，故C正確；有放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2×eq \f(2,5)＝eq \f(54,125)，故D正確．故選BCD.
3．(必修2P250T4改編)(2022·云南曲靖一中質(zhì)檢)甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼，分別譯出的概率為eq \f(2,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，則密碼能被譯出的概率為( C )
A.eq \f(1,8) B．eq \f(11,12)
C．eq \f(7,8) D．eq \f(1,12)
[解析] P＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(7,8).
題組三 走向高考
4．(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( B )
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
[解析] P(甲)＝eq \f(1,6)，P(乙)＝eq \f(1,6)，P(丙)＝eq \f(5,36)，P(丁)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)， P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝eq \f(1,36)＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝eq \f(1,36)≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故選B.
5．(2023·高考全國甲卷)有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為( A )
A．0.8 B．0.4
C．0.2 D．0.1
[解析] 報名兩個俱樂部的人數(shù)為50＋60－70＝40，記“某人報足球俱樂部”為事件A，記“某人報乒乓球俱樂部”為事件B，則P(A)＝eq \f(50,70)＝eq \f(5,7)，P(AB)＝eq \f(40,70)＝eq \f(4,7)，所以P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(4,7),\f(5,7))＝0.8.故選A.

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