2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升訓(xùn)練題第10章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第1講兩個計數(shù)原理排列組合-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．將4封信投入3個信箱中，共有64種不同的投法
B．4只相同的小球放入3個不同的盒子，共有12種不同放法
C．五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有54種
D．8個相同的小球放入5個不同盒子中，每盒不空的放法共有35種
[解析] 4封信投入3個信箱有34＝81種不同投法，故A不正確；將4個小球放入一個盒子有3種方法，將3個小球放入一個盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6種放法，將2個小球放入一個盒子，另2小球放另一只盒子有3種放法，將2個小球放入一個盒子中，另2個小球分別放入另兩個盒子中，有3種方法，故共有15種放法，故B不正確；五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性，故C正確；8個相同的小球，放入5個不同的盒子，每個盒子不空，即將小球分成5份，每份至少1個．(定份數(shù))將8個小球擺放一列，形成9個空，中間有7個空，(定空位)則只需在這7個空中插入4個隔板，隔板不同的放法有Ceq \\al(4,7)＝35(種)，(插隔板)，故D正確．故選CD.
2．(2023·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個格子，每個格子染一種顏色，并且從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法種數(shù)為_20__(用數(shù)字作答)．
[解析] 可用樹狀圖求解(用1表示黑，用0表示白)
名師點撥：
1．當(dāng)問題中涉及的元素個數(shù)較少時，可通過圖表將各種情況一一列出求解計數(shù)問題；
2．當(dāng)要求計數(shù)的情況較復(fù)雜，而其反面情況簡單易求時，可采用間接法求解．即問題所有情況種數(shù)減去不合題意的情況種數(shù)．
隔板法的解題步驟
(1)定個數(shù)：確定名額的個數(shù)、分成的組數(shù)以及各組名額的數(shù)量．
(2)定空位：將元素排成一列，確定可插隔板的空位數(shù)．
(3)插隔板：確定需要的隔板個數(shù)，根據(jù)組數(shù)要求，插入隔板，利用組合數(shù)求解不同的分法種數(shù)．
(4)回顧反思：隔板法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確確定空位個數(shù)以及需要的隔板個數(shù)，使用這種方法需要注意兩個方面的問題：一是要根據(jù)題意確定能否轉(zhuǎn)化為“每組至少一個”的問題，以便確定能否利用隔板法；二是要注意準(zhǔn)確確定空位數(shù)以及需要的隔板數(shù)，一般來說，兩端不能插隔板．
【變式訓(xùn)練】
(2022·吉林模擬)一只螞蟻從正四面體A－BCD的頂點A出發(fā)，沿著正四面體A－BCD的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機(jī)的，則螞蟻第1秒后到點B，第4秒后又回到A點的不同爬行路線有( B )
A．6條 B．7條
C．8條 D．9條
[解析] 根據(jù)已知，可作出下圖，如圖知，不同的爬行線路有7條，故選B.