舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq \(x,\s\up6(－))和eq \(y,\s\up6(－))，樣本方差分別記為seq \\al(2,1)和seq \\al(2,2).
(1)求eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq \(y,\s\up6(－))－eq \(x,\s\up6(－))≥2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．
[解析] (1)由題中數(shù)據(jù)可得
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(9.8＋10.3＋10＋10.2＋9.9＋9.8＋10＋10.1＋10.2＋9.7,10)
＝10，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(10.1＋10.4＋10.1＋10＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5,10)
＝10.3，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)[(9.8－10.0)2＋(10.3－10.0)2＋(10.0－10.0)2＋(10.2－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋(9.8－10.0)2＋(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋(10.2－10.0)2＋(9.7－10.0)2]＝0.036，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)知eq \(y,\s\up6(－))－eq \(x,\s\up6(－))＝10.3－10＝0.3,2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))＝2eq \r(\f(0.036＋0.04,10))＝2eq \r(0.007 6)，
則0.3＝eq \r(0.09)>2eq \r(0.007 6)＝eq \r(0.030 4)，
所以可判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．
2．(2021·全國高考)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：
(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？
(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？
附：2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)
[解析] (1)甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為eq \f(150,200)＝75%，
乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為eq \f(120,200)＝60%.
(2)2＝eq \f(400×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150×80－120×50))2,270×130×200×200)＝eq \f(400,39)>10>6.635＝x0.010，
故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．
【變式訓(xùn)練】
1．(2020·新高考Ⅰ)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：
(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．
附：2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，
[解析] (1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計(jì)值為eq \f(64,100)＝0.64.
(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：
(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得
2＝eq \f(100×?64×10－16×10?2,80×20×74×26)≈7.484.
由于7.484>6.635＝x0.010，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．
2．(2020·高考課標(biāo)Ⅱ卷)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得eq \i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq \i\su(i＝1,20,y)i＝1 200，eq \i\su(i＝1,20, )(xi－eq \x\t(x))2＝80，eq \i\su(i＝1,20, )(yi－eq \x\t(y))2＝9 000，eq \i\su(i＝1,20, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝800.
(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；
(2)求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；
(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．
附：相關(guān)系數(shù)r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )?xi－\x\t(x)??yi－\x\t(y)?,\r(\i\su(i＝1,n, )?xi－\x\t(x)?2\i\su(i＝1,n, )?yi－\x\t(y)?2))，eq \r(2)≈1.414.
[解析] (1)樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為eq \f(1,20)eq \i\su(i＝1,20,y)i＝eq \f(1,20)×1 200＝60，
地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為200×60＝12 000.
(2)樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為r＝eq \f(\i\su(i＝1,20, )?xi－\x\t(x)??yi－\x\t(y)?,\r(\i\su(i＝1,20, )?xi－\x\t(x)?2\i\su(i＝1,20, )?yi－\x\t(y)?2))＝eq \f(800,\r(80×9 000))＝eq \f(2\r(2),3)≈0.94.
(3)更合理的抽樣方法是分層抽樣．根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣．由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，
由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，
采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，
從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．舊設(shè)備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
一級(jí)品
二級(jí)品
合計(jì)
甲機(jī)床
150
50
200
乙機(jī)床
120
80
200
合計(jì)
270
130
400
P(2≥xα)
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
SO2
PM2.5
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
SO2
PM2.5
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
P(2≥xα)
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
SO2
PM2.5
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10

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