1.(2024·浙江紹興診斷)(x2－1)(x＋2)4的展開式中x2的系數(shù)為 －8 (用數(shù)字作答)．
[解析] 由題意得：(x＋2)4展開式的通項(xiàng)為：Tr＋1＝Ceq \\al(r,4)x4－r2r，當(dāng)4－r＝2時(shí)，即：r＝2，得：T3＝Ceq \\al(2,4)x222＝24x2，當(dāng)4－r＝0時(shí)；即：r＝4，得：T5＝Ceq \\al(4,4)x024＝16，所以得：(x2－1)(x＋2)4展開式中含x2項(xiàng)為：16x2－24x2＝－8x2，所以x2的系數(shù)為－8.
2．(2023·廣東六校聯(lián)考)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為 40 .
[解析] 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為2，
令x＝1，得(a＋1)·15＝2，得a＝1.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(2x)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))r＝(－1)r·25－r·Ceq \\al(r,5)·x5－2r，r＝0,1,2,3,4,5.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展開式中的通項(xiàng)有(－1)r·25－r·Ceq \\al(r,5)·x6－2r和(－1)r·25－r·Ceq \\al(r,5)·x4－2r.
令4－2r＝0，得r＝2，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(－1)2·23·Ceq \\al(2,5)＝80；
令6－2r＝0，得r＝3，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(－1)3·22·Ceq \\al(3,5)＝－40，
所以該展開式的常數(shù)項(xiàng)為80－40＝40.
名師點(diǎn)撥：
對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．
二、幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開式中特定項(xiàng)(系數(shù))、參數(shù)問題
1.(2022·河南南陽期末)已知(1＋x)＋2(1＋x)2＋3(1＋x)3＋…＋10(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a7＝( C )
A．9Ceq \\al(3,11) B．eq \f(28,3)Ceq \\al(3,11)
C.eq \f(29,3)Ceq \\al(3,11) D．10Ceq \\al(3,11)
[解析] 解法一：依題意a7＝7×Ceq \\al(7,7)＋8×Ceq \\al(7,8)＋9×Ceq \\al(7,9)＋10×Ceq \\al(7,10)
＝7×Ceq \\al(0,7)＋8×Ceq \\al(1,8)＋9×Ceq \\al(2,9)＋10×Ceq \\al(3,10)
＝7＋8×8＋9×eq \f(9×8,2)＋10×eq \f(10×9×8,3×2×1)
＝7＋64＋324＋1 200＝1 595＝eq \f(29,3)Ceq \\al(3,11).故選C.
解法二：記Sn＝(1＋x)＋2(1＋x)2＋…＋10(1＋x)10，
則Sn－(1＋x)Sn＝eq \f(?1＋x?[1－?1＋x?10],1－?1＋x?)－10(1＋x)11，
∴Sn＝eq \f(?1＋x?－?1＋x?11,x2)＋eq \f(10?1＋x?11,x).
∴a7＝－Ceq \\al(2,11)＋10Ceq \\al(3,11)＝－eq \f(1,3)Ceq \\al(3,11)＋10Ceq \\al(3,11)＝eq \f(29,3)Ceq \\al(3,11)，故選C.
2．(2023·北京四中開學(xué)考)設(shè)多項(xiàng)式(x＋1)5＋(x－1)10＝a10x10＋a9x9＋…＋a1x＋a0，則a9＝ －10 ，a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝ 528 .
[解析] 因?yàn)?x＋1)5＋(x－1)10＝a10x10＋a9x9＋…＋a1x＋a0，所以a9是展開式中x9的系數(shù)，設(shè)(x－1)10的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)x10－r(－1)r，
所以當(dāng)r＝1時(shí)，a9＝Ceq \\al(1,10)(－1)1＝－10.
令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＝25，
令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝210.
∴a0＋a2＋a4＋…＋a10＝eq \f(210＋25,2)＝29＋24＝528.
名師點(diǎn)撥：
對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))參數(shù)問題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng)再求和．或?qū)⒑褪交?jiǎn)后轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式問題處理．
三、三項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)(系數(shù))問題
(2022·安徽合肥質(zhì)檢)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5的展開式中，x2的系數(shù)為 －960 .
[解析] 解法一：(化為二項(xiàng)展開式問題)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,\r(x))))10，
Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)(eq \r(x))10－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,\r(x))))r＝(－2)rCeq \\al(r,10)x5－r，
令5－r＝2，r＝3，所求系數(shù)為(－2)3Ceq \\al(3,10)＝－960.
解法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))－4))5展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝(－4)r·Ceq \\al(r,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))5－r；
而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))5－r展開式的通項(xiàng)為T′s＋1＝4s·Ceq \\al(s,5－r)x5－r－2s.
∴Tr＋1＝(－4)r·4sCeq \\al(r,5)·Ceq \\al(s,5－r)·x5－r－2s，
由s＝0，r＝3或s＝r＝1可求得x2的系數(shù)為(－4)3·40Ceq \\al(3,5)·Ceq \\al(0,2)＋(－4)·4·Ceq \\al(1,5)·Ceq \\al(1,4)＝－960.
解法三：(利用多項(xiàng)式乘法對(duì)括號(hào)中選取情況討論)
①5個(gè)括號(hào)中的2個(gè)選x,3個(gè)選(－4)，這樣得到的x2的系數(shù)為Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)(－4)3＝－640；
②5個(gè)括號(hào)中3個(gè)選x,1個(gè)選eq \f(4,x)，1個(gè)選－4，這樣得到的x2的系數(shù)為Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)×4×(－4)＝－320；
∴所求系數(shù)為－640－320＝－960.
名師點(diǎn)撥：(a＋b＋c)n展開式中特定項(xiàng)的求解方法
【變式訓(xùn)練】
1．(多選題)(2024·湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體聯(lián)考)設(shè)(3x－2)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a7x7，則下列結(jié)論正確的是( ACD )
A．a(chǎn)0＝－2
B．a(chǎn)3＝85
C．a(chǎn)1＋a3＋a5＋a7＝32
D．a(chǎn)0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝2 916
[解析] (1＋x)6的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)xr(r＝0,1,2，…，6)，所以a0＝－2×Ceq \\al(0,6)＝－2，故選項(xiàng)A正確；又T4＝20x3，T3＝15x2，從而(3x－2)(1＋x)6的展開式中x3的系數(shù)為3×15＋(－2)×20＝5，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(3×1－2)·(1＋1)6＝64，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝0，兩式相減得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64，所以a1＋a3＋a5＋a7＝32，故選項(xiàng)C正確；令x＝2得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝(3×2－2)·(1＋2)6＝2 916.故選項(xiàng)D正確．故選ACD.
2．(2023·安徽蚌埠質(zhì)檢)(x2＋3x＋1)5的展開式中x3的系數(shù)為 330 .
[解析] 解法一：(x2＋3x＋1)5＝[x(x＋3)＋1]5＝x5(x＋3)5＋Ceq \\al(1,5)x4(x＋3)4＋Ceq \\al(2,5)x3(x＋3)3＋Ceq \\al(3,5)x2·(x＋3)2＋Ceq \\al(4,5)x(x＋3)＋Ceq \\al(5,5).∴x3的系數(shù)為33Ceq \\al(2,5)＋6Ceq \\al(3,5)＝330.
解法二：5個(gè)因式中1個(gè)選x2,1個(gè)選3x,3個(gè)選1其系數(shù)為3Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,4)＝60，若5個(gè)因式中3個(gè)選3x,2個(gè)選1其系數(shù)為33Ceq \\al(3,5)＝270.故x3的系數(shù)為60＋270＝330.

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