1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義. 2.了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會運用這些方法解決簡單的實際問題.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).(2)線性相關(guān)：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在__________附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān).一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).
(2)獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立 ，可以認(rèn)為X和Y獨立.下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值
解析　(1)散點圖是判斷兩個變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段.(4)χ2的值越大，相關(guān)性越強，關(guān)系越密切.
2.(選修三P139T3)根據(jù)分類變量x與y的觀測數(shù)據(jù)，計算得到χ2＝2.974.依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，結(jié)論為(　　)A.變量x與y不獨立B.變量x與y不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05C.變量x與y獨立D.變量x與y獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05
解析　由χ2＝2.9740.75，所以花瓣長度和花萼長度的相關(guān)性較強，并且呈正相關(guān)，所以選項A，B錯誤，選項C正確；因為相關(guān)系數(shù)與樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以當(dāng)樣本發(fā)生變化時，相關(guān)系數(shù)也會發(fā)生變化，所以選項D錯誤.故選C.
(2)(2024·杭州質(zhì)檢)某興趣小組研究光照時長x(h)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖.若去掉D(10，2)，則下列說法正確的是(　　)A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)R2變小C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強
解析　可知點D偏離程度較大，去掉點D后，相關(guān)系數(shù)r變大，決定系數(shù)R2變大，殘差平方和變小，解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強.故選D.
判定兩個變量相關(guān)性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān).(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時，正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)性越強.(3)決定系數(shù)法：利用決定系數(shù)判定，R2越接近1，模型的擬合效果越好，相關(guān)性越強.
訓(xùn)練1 (1)(2023·上海卷)已知某校50名學(xué)生的身高與體重的散點圖如圖所示，則下列說法正確的是(　　)A.身高越高，體重越重B.身高越高，體重越輕C.身高與體重成正相關(guān)D.身高與體重成負(fù)相關(guān)
解析　由題圖可知，身高越高的體重不一定就越重或越輕，但總體上來說，樣本學(xué)生的身高和體重之間具有明顯的相關(guān)性，個子高的學(xué)生往往更重一些，所以身高與體重成正相關(guān).故選C.
角度1　線性回歸分析例2 為實施鄉(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體，并從省城請來專家進行技術(shù)指導(dǎo)，根據(jù)統(tǒng)計，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下：
(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用經(jīng)驗回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計算樣本相關(guān)系數(shù)r并加以說明(若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用經(jīng)驗回歸模型擬合)；
回歸分析問題的類型及解題方法(1)求經(jīng)驗回歸方程①當(dāng)兩個系數(shù)均未知時，可利用公式法求解；②當(dāng)兩個系數(shù)已知一個求另一個時，可利用經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心求解.(2)利用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測，把經(jīng)驗回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值.(3)經(jīng)驗回歸方程的擬合效果可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強.
訓(xùn)練2 (2024·西安調(diào)研)某商業(yè)銀行對存款利率與日存款總量的關(guān)系進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利率每上升一定的百分點，日均存款總額就會發(fā)生一定的變化，經(jīng)過統(tǒng)計得到下表：
(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
解　設(shè)利率需上升x個百分點，由(2)得，0.625×2＝1.5x＋0.05，解得x＝0.8，所以預(yù)測利率需上升0.8個百分點.
例4 (2023·全國甲卷改編)一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位：g).試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.826.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.635.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.518.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.823.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；
(2)①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
解　零假設(shè)為H0：小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量沒有差異.
依據(jù)小概率值α＝0.050的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，所以在犯錯誤的概率不超過0.050的前提下，即認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
訓(xùn)練3 某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；
解　由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率的估計值如下表：
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；
解　根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：
零假設(shè)為H0：一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量無關(guān).
根據(jù)小概率值α＝0.050的獨立性檢驗，可推斷H0不成立，所以在犯錯誤的概率不超過0.050的前提下，可認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.某機構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異，通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計：在500名男生中有200名愛玩網(wǎng)游，在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游.若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時，用下列最適合的統(tǒng)計方法是(　　)A.均值B.方差C.獨立性檢驗D.回歸分析
解析　由題意可知，“愛玩網(wǎng)游”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨立性檢驗判斷.
解析　r的絕對值越大，m越小，線性相關(guān)性越強.
解析　根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)，由題意得
7.(多選)為了解閱讀量多少與幸福感強弱之間的關(guān)系，一個調(diào)查機構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制了如下所示的2×2列聯(lián)表(個別數(shù)據(jù)暫用字母表示)：
計算得：χ2≈12.981，參照下表：
對于下面的選項，正確的是(　　)A.根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強弱無關(guān)”B.m＝54C.根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強弱有關(guān)”D.n＝52
解析　∵χ2≈12.981＞7.879＞6.635，∴根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強弱有關(guān)”，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強弱有關(guān)”，∴A錯，C正確，∵m＋36＝90，18＋n＝60，∴m＝54，n＝42，∴B正確，D錯.
10.一項研究同年齡段的男、女生的注意力差別的腦功能實驗，其實驗數(shù)據(jù)如表所示：
則χ2＝________(精確到小數(shù)點后三位)，依據(jù)概率值α＝0.05的獨立性檢驗，該實驗______該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對于性別沒有顯著差異(填拒絕或支持).
解析　由表中數(shù)據(jù)可知a＝29，b＝7，c＝33，d＝5，n＝a＋b＋c＋d＝74，
所以沒有充分證據(jù)認(rèn)為學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上與性別有關(guān)，即該實驗支持該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對于性別沒有顯著差異.
(2)該企業(yè)改進生產(chǎn)工藝后，生產(chǎn)了批次乙的芯片.某手機廠商獲得批次甲與批次乙的芯片，并在某款手機上使用.現(xiàn)對使用這款手機的100名用戶回訪，對開機速度進行調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計，安裝批次甲的有40名，其中對開機速度滿意的有30名；安裝批次乙的有60名，其中對開機速度滿意的有55名.試整理出2×2列聯(lián)表(單位：名)，并依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析芯片批次是否與用戶對開機速度滿意有關(guān).
解　零假設(shè)為H0：芯片批次與用戶對開機速度滿意無關(guān)，得2×2列聯(lián)表如下：
所以依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，所以認(rèn)為芯片批次與用戶對開機速度滿意有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；
解　設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Y m3，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
解析　對于A，由題圖知，海拔高度越高，大氣壓強越小，所以大氣壓強與海拔高度負(fù)相關(guān)，故A正確；對于B，經(jīng)驗回歸直線得到的數(shù)據(jù)為估計值，而非精確值，故B錯誤；
14.(2024·廈門質(zhì)檢)移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個人消費等領(lǐng)域.截至2023年底，我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟體中首個實現(xiàn)“物超人”的國家.如圖是2019～2023年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)W與年份代碼t的散點圖，其中年份2019～2023對應(yīng)的t分別為1～5.
(1)根據(jù)散點圖推斷兩個變量是否線性相關(guān).計算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并推斷它們的相關(guān)程度；
解　由散點圖可以看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷兩個變量線性相關(guān).

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