【課時安排】
2課時
【第一課時】
【教學(xué)目標(biāo)】
（一）教學(xué)知識點：
1．經(jīng)歷探索平方差公式的過程。
2．會推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。
（二）能力訓(xùn)練要求：
1．在探索平方差公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力。
2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力。
（三）情感與價值觀要求：
在計算的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表達(dá)，從而體會數(shù)學(xué)語言的簡捷美。
【教學(xué)重點】
平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。
【教學(xué)難點】
用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式。
【教學(xué)過程】
（一）創(chuàng)設(shè)情景，引入新課：
1．［師］你能用簡便方法計算下列各題嗎？
（1）2001×1999 （2）992－1
［生］可以。在（1）中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999，在（2）中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800。
［師］很好！我們利用多項式與多項式相乘的法則，將（1）（2）中的2001，1999，99化成為整千整百的運(yùn)算，從而使運(yùn)算很簡便。我們不妨觀察第（1）題，2001和1999，一個比2000大1，于是可寫成2000與1的和，一個比2000小1，于是可寫成2000與1的差，所以2001×1999就是2000與1這兩個數(shù)的和與差的積，即(2000+1)(2000－1)；再觀察利用多項式與多項式相乘的法則算出來的結(jié)果為：20002－12，恰為這兩個數(shù)2000與1的平方差。即：
(2000+1)(2000－1)=20002－12
那么其他滿足這個特點的運(yùn)算是否也有類似的結(jié)果呢？
我們不妨看下面的做一做。
（二）使學(xué)生在計算的過程中，通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言和符號表示其規(guī)律
［師］出示投影片
1．做一做：計算下列各題：
（1）(x+2)(x－2)；
（2）(1+3a)(1－3a)；
（3）(x+5y)(x－5y)；
（4）(y+3z)(y－3z)。
觀察以上算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn)？
［生］上面四個算式都是多項式與多項式的乘法。
［生］上面四個算式每個因式都是兩項。
［生］除上面兩個同學(xué)說的以外，更重要的是：它們都是兩個數(shù)的和與差的積。例如：算式（1）是“x”與“2”這兩個數(shù)的和與差的積；算式（2）是“1”與“3a”這兩個數(shù)的和與差的積；算式（3）是“x”與“5y”的和與差的積；算式（4）是“y”與“3z”這兩個數(shù)的和與差的積。
［師］我們觀察出了算式的結(jié)構(gòu)特點。像這樣的多項式與多項式相乘，它們的結(jié)果如何呢？只要你肯動筆、動腦，相信你一定會探尋到答案。
［生］解：（1）(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；
（2）(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；
（3）(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；
（4）(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2
（如有必要的話可以讓學(xué)生利用乘法分配律將多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化成單項式與多項式相乘，進(jìn)一步體會乘法分配律的重要作用以及轉(zhuǎn)化的思想。）
［生］從剛才這位同學(xué)的運(yùn)算，我發(fā)現(xiàn)：
即兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差。這和我們前面的一個簡便運(yùn)算得出同樣的結(jié)果。
即：
［師］你還能舉兩個例子驗證你的發(fā)現(xiàn)嗎？
［生］可以。例如：
（1）101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；
（2）(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2。
即：
上面兩個例子，同樣可以驗證：兩個數(shù)的和與差的積，等于它們的平方差。
［師］為什么會有這樣的特點呢？
［生］因為利用多項式與多項式相乘的運(yùn)算法則展開后，中間兩項是同類項且系數(shù)互為相反數(shù)，所以相加后為零。只剩下這個數(shù)的平方差。
［師］很好！你能用一般形式表示上述規(guī)律，并對規(guī)律進(jìn)行證明嗎？
［生］可以。上述規(guī)律用符號表示為：
(a+b)(a－b)=a2－b2
其中a，b可以表示任意的數(shù)，也可以表示代表數(shù)的單項式、多項式。
利用多項式與多項式相乘的運(yùn)算法則可以對規(guī)律進(jìn)行證明，即：
(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2
［師］同學(xué)們確實不簡單用符號表示和證明我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律簡捷明快。
你能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a－b)=a2－b2起一個名字嗎？能形象直觀地反映出此規(guī)律的。
［生］我們可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式。
［師］大家同意嗎？
［生］同意。
［師］好了！這節(jié)課我們主要就是學(xué)習(xí)討論這個公式的。你能用語言描述這個公式嗎？
［生］可以。這個公式表示兩數(shù)和與差的積，等于它們的平方差。
［師］平方差公式是多項式乘法運(yùn)算中一個重要的公式。用它直接運(yùn)算會很簡單，但要注意必須符合公式的結(jié)構(gòu)特點才能利用它進(jìn)行運(yùn)算。
（三）體會平方差公式的應(yīng)用，感受平方差公式給多項式乘法運(yùn)算帶來的方便，進(jìn)一步熟悉平方差公式。
1．出示投影片
［例1］（1）下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的是（ ）
A．(x+1)(1+x)
B．(a+b)(b－a)
C．(－a+b)(a－b)
D．(x2－y)(x+y2)
E．(－a－b)(a－b)
F．(c2－d2)(d2+c2)
（2）利用平方差公式計算：
(5+6x)(5－6x)；(x－2y)(x+2y)；(－m+n)(－m－n)。
［生］（1）中只有B、E、F能用平方差公式。因為B．(a+b)(b－a)利用加法交換律可得(a+b)(b－a)=(b+a)(b－a)，表示b與a這兩個數(shù)的和與差的積，符合平方差公式的特點；E．(－a－b)(a－b)，同樣可利用加法交換律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)，表示－b與a這兩個數(shù)和與差的積，也符合平方差公式的特點；F．(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交換律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2與d2這兩個數(shù)和與差的積，同樣符合平方差公式的特點。
［師］為什么A、C、D不能用平方差公式呢？
［生］A、C、D表示的不是兩個數(shù)的和與差的積的形式。
［師］下面我們就來做第（2）題，首先分析它們分別是哪兩個數(shù)和與差的積的形式。
［生］(5+6x)(5－6x)是5與6x這兩個數(shù)的和與差的形式；(x－2y)(x+2y)是x與2y這兩個數(shù)的和與差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m與n這兩個數(shù)的和與差的形式。
［師］很好！下面我們就來用平方差公式計算上面各式。
［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2；
(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2；
(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2
［師］這位同學(xué)的思路非常清楚。下面我們再來看一個例題。
2．出示投影片
［例2］利用平方差公式計算：
（1）(－x－y)(－x+y)；
（2）(ab+8)(ab－8)；
［師］同學(xué)們可先交流、討論，然后各小組派一代表到黑板上演示。然后再派一位同學(xué)講評。
［生］解：（1）(－x－y)(－x+y)——(－x)與y的和與差的積
=(－x)2－y2——利用平方差公式得(－x)與y的平方差
=x2－y2——運(yùn)算至最后結(jié)果
（2）(ab+8)(ab－8)——ab與8的和與差的積
=(ab)2－82——利用平方差公式得ab與8的平方差
=a2b2－64——運(yùn)算至最后結(jié)果
［生］剛才這位同學(xué)的運(yùn)算有條有理，有根有據(jù)，我覺得利用平方差公式計算必須注意以下幾點：
（1）公式中的字母A、B可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即整式。
（2）要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式。
（3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式。
［生］還需注意最后的結(jié)果必須最簡。
［師］同學(xué)們總結(jié)的很好！下面我們再來練習(xí)一組題。
3．投影片
計算：
（1）(a+2)(a－2)；
（2）(3a+2b)(3a－2b)；
（3）(－x+1)(－x－1)；
（4）(－4k+3)(－4k－3)。
解：（1）(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4；
（2）(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2；
（3）(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1；
（4）(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9。
把下圖左框里的整式分別乘(a+b)，所得的積寫在右框相應(yīng)的位置上。
解：(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；
(a－b)(a+b)=a2－b2；
(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2；
(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2
（教師在讓學(xué)生做練習(xí)，可巡視練習(xí)的情況，對確實有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo)）
（四）課時小結(jié)：
［師］同學(xué)們有何體會和收獲呢？
［生］今天我們學(xué)習(xí)了多項式乘法運(yùn)算中的一個重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2
［生］應(yīng)用這個公式要明白公式的特征：
1．左邊為兩個數(shù)的和與差的積；
2．右邊為兩個數(shù)的平方差。
［生］公式中的A、B可以是數(shù)，也可以是代表數(shù)的整式。
［生］有些式子表面上不能用公式，但通過適當(dāng)變形實質(zhì)上能用公式。
［師］同學(xué)們總結(jié)得很好！還記得剛上課的一個問題嗎？計算992－1，現(xiàn)在想一想，能使它運(yùn)算更簡便嗎？
［生］可以。992－1可以看成99與1的平方差，從右往左用平方差公式可得：
992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800。
［師］我們發(fā)現(xiàn)平方差公式的應(yīng)用是很靈活的，只要你準(zhǔn)確地把握它的結(jié)構(gòu)特征，一定能使你的運(yùn)算簡捷明了。
【第二課時】
【教學(xué)目標(biāo)】
（一）教學(xué)知識點
1．了解平方差公式的幾何背景。
2．會用面積法推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。
3．體會符號運(yùn)算對證明猜想的作用。
（二）能力訓(xùn)練要求
1．用符號運(yùn)算證明猜想，提高解決問題的能力。
2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力。
（三）情感與價值觀要求
1．在拼圖游戲中對平方差公式有一個直觀的幾何解釋，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。
2．體驗符號運(yùn)算對猜想的作用，享受數(shù)學(xué)符號表示運(yùn)算規(guī)律的簡捷美。
【教學(xué)重點】
平方差公式的幾何解釋和廣泛的應(yīng)用。
【教學(xué)難點】
準(zhǔn)確地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡單運(yùn)算，培養(yǎng)基本的運(yùn)算技能。
【教學(xué)方法】
啟發(fā)——探究相結(jié)合
【教學(xué)過程】
（一）創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課
［師］同學(xué)們，請把自己準(zhǔn)備好的正方形紙板拿出來，設(shè)它的邊長為a。這個正方形的面積是多少？
［生］a2
［師］請你用手中的剪刀從這個正方形紙板上，剪下一個邊長為b的小正方形（如圖6－5）。現(xiàn)在我們就有了一個新的圖形（如上圖陰影部分），你能表示出陰影部分的面積嗎？
圖6－5
［生］剪去一個邊長為b的小正方形，余下圖形的面積，即陰影部分的面積為(a2－b2)。
［師］你能用陰影部分的圖形拼成一個長方形嗎？同學(xué)們可在小組內(nèi)交流討論。（教師可巡視同學(xué)們拼圖的情況，了解同學(xué)們拼圖的想法。）
［生］老師，我們拼出來啦。
［師］講給大伙聽一聽。
［生］我是把剩下的圖形（即上圖陰影部分）先剪成兩個長方形（沿上圖虛線剪開），我們可以注意到，上面的大長方形寬是(a－b)，長是a；下面的小長方形長是(a－b)，寬是b。我們可以將兩個長方形拼成一個更大長方形，是由于大長方形的寬和小長方形的長都是(a－b)，我們可以將這兩個邊重合，這樣就拼成了一個如圖6－6所示的圖形（陰影部分），它的長和寬分別為(a+b)，(a－b)，面積為(a+b)(a－b)。
圖6－6
［師］比較上面兩個圖形中陰影部分的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？
［生］這兩部分面積應(yīng)該是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2。
［生］這恰好是我們上節(jié)課學(xué)過的平方差公式。
［生］我明白了。上一節(jié)課，我們用多項式與多項式相乘的法則驗證了平方差公式。今天，我們又通過拼圖游戲給出平方差公式的一個幾何解釋，太妙了。
［生］用拼圖來驗證平方差公式很直觀，一剪一拼，利用面積相等就可推證。
［師］由此我們對平方差公式有了更多的認(rèn)識。這節(jié)課我們來繼續(xù)學(xué)習(xí)平方差公式，也許你會發(fā)現(xiàn)它更“神奇”的作用。
（二）講授新課：
［師］出示投影片
1．想一想：
（1）計算下列各組算式，并觀察它們的特點
；；
（2）從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
（3）請你用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？
［生］（1）中算式算出來的結(jié)果如下：
；；
［生］從上面的算式可以發(fā)現(xiàn)，一個自然數(shù)的平方比它相鄰兩數(shù)的積大1。
［師］是不是大于1的所有自然數(shù)都有這個特點呢？
［生］我猜想是。我又找了幾個例子如：
；；
［師］你能用字母表示這一規(guī)律嗎？
［生］設(shè)這個自然數(shù)為a，與它相鄰的兩個自然數(shù)為a－1，a+1，則有(a+1)(a－1)=a2－1。
［生］這個結(jié)論是正確的，用平方差公式即可說明。
［生］可是，我有一個疑問，a必須是一個自然數(shù)，還必須大于2嗎？（同學(xué)們驚訝，然后討論）
［生］a可以代表任意一個數(shù)。
［師］很好！同學(xué)們能大膽提出問題，又勇于解決問題，值得提倡。
［生］老師，我還有個問題，這個結(jié)論反映了數(shù)字之間的一種關(guān)系。在平時有什么用途呢？（陷入沉思）
［生］例如：計算29×31很麻煩，我們就可以轉(zhuǎn)化為(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899。
［師］的確如此。我們在做一些數(shù)的運(yùn)算時，如果能一直有這樣“巧奪天工”的方法，太好了。
我們不妨再做幾個類似的練習(xí)。
2．做一做：
［例3］用平方差公式計算：
（1）103×97；（2）118×122
［師］我們可以發(fā)現(xiàn)，直接運(yùn)算上面的算式很麻煩。但注意觀察就會發(fā)現(xiàn)新的奧妙。
［生］我發(fā)現(xiàn)了：103=100+3，97=100－3，因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991。太簡便了！
［生］我觀察也發(fā)現(xiàn)了第（2）題的“奧妙”。
118=120－2，122=120+2；
118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396。
［生］遇到類似這樣的題，我們就不用筆算，口算就能得出。
［師］我們再來看一個例題
［例4］計算：
（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2；
（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)。
分析：上面兩個小題，是整式的混合運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，能使運(yùn)算簡便；還需注意的是運(yùn)算順序以及結(jié)果一定要化簡。
解：（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4
（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
=(2x)2－52－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25
注意：在（2）小題中，2x與2x－3的積算出來后，要放到括號里，因為它們是一個整體。
［例5］公式的逆用
（1）(x+y)2－(x－y)2；（2）252－242
分析：逆用平方差公式可以使運(yùn)算簡便。
解：（1）(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
（2）252－242
=(25+24)(25－24)
=49
（三）隨堂練習(xí)：
1．計算：
（1）704×696
（2）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（3）x(x－1)－(x－)(x+)
（可讓學(xué)生先在練習(xí)本上完成，教師巡視作業(yè)中的錯誤，或同桌互查互糾）
解：（1）704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984
（2）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)=(x2－4y2)+(x2－1)=x2－4y2+x2－1=2x2－4y2－1
（3）x(x－1)－(x－)(x+)=(x2－x)－［x2－()2］=x2－x－x2+=－x
2．補(bǔ)充練習(xí)：
出示投影片
解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
（先由學(xué)生試著完成）
解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1
4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1
6x=12
x=2
（四）課時小結(jié)：
［師］同學(xué)們這節(jié)課一定有不少體會和收獲。
［生］我能用拼圖對平方差公式進(jìn)行幾何解釋。也就是說對平方差公式的理解又多了一個層面。
［生］平方差公式不僅在計算整式時，可以使運(yùn)算簡便，而且數(shù)的運(yùn)算如果也能恰當(dāng)?shù)赜昧似椒讲罟?，也非常神奇?br>［生］我覺得這節(jié)課我印象最深的是犯錯誤的地方。例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同時減號后面的積(a+b)(a－b)，算出來一定先放在括號里，然后再去括號。就不容易犯錯誤了。

相關(guān)教案

初中數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)六年級下冊4 統(tǒng)計圖的選擇教案：

這是一份初中數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)六年級下冊4 統(tǒng)計圖的選擇教案，共7頁。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點，教學(xué)難點，教學(xué)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

魯教版 (五四制)六年級下冊2 探索直線平行的條件教學(xué)設(shè)計及反思：

這是一份魯教版 (五四制)六年級下冊2 探索直線平行的條件教學(xué)設(shè)計及反思，共11頁。教案主要包含了課時安排，第一課時，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點，教學(xué)難點，教學(xué)過程，第二課時等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)六年級下冊8 整式的除法教學(xué)設(shè)計：

這是一份數(shù)學(xué)六年級下冊8 整式的除法教學(xué)設(shè)計，共7頁。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點，教學(xué)過程，第二課時等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

初中數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)六年級下冊第六章 整式的乘除7 完全平方公式教學(xué)設(shè)計

初中數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)六年級下冊第六章 整式的乘除7 完全平方公式教學(xué)設(shè)計
魯教版 (五四制)六年級上冊3 整式教案

魯教版 (五四制)六年級上冊3 整式教案
魯教版 (五四制)六年級下冊1 線段、射線、 直線教學(xué)設(shè)計

魯教版 (五四制)六年級下冊1 線段、射線、 直線教學(xué)設(shè)計
初中3 角教學(xué)設(shè)計

初中3 角教學(xué)設(shè)計
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)六年級下冊電子課本 舊教材

6 平方差公式

版本： 魯教版 (五四制)

年級： 六年級下冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部