6.6  平方差公式(二)●教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.了解平方差公式的幾何背景.2.會(huì)用面積法推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.3.體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)證明猜想的作用.(二)能力訓(xùn)練要求1.用符號(hào)運(yùn)算證明猜想，提高解決問(wèn)題的能力.2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力.(三)情感與價(jià)值觀要求1.在拼圖游戲中對(duì)平方差公式有一個(gè)直觀的幾何解釋，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.2.體驗(yàn)符號(hào)運(yùn)算對(duì)猜想的作用，享受數(shù)學(xué)符號(hào)表示運(yùn)算規(guī)律的簡(jiǎn)捷美.●教學(xué)重點(diǎn)平方差公式的幾何解釋和廣泛的應(yīng)用.●教學(xué)難點(diǎn)準(zhǔn)確地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，培養(yǎng)基本的運(yùn)算技能.●教學(xué)方法啟發(fā)——探究相結(jié)合●教具準(zhǔn)備一塊大正方形紙板，剪刀.投影片四張第一張：想一想，記作(§6.6.2 A)第二張：例3，記作(§6.6.2 B)第三張：例4，記作(§6.6.2 C)第四張：補(bǔ)充練習(xí)，記作(§6.6.2 D)●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入新課［師］同學(xué)們，請(qǐng)把自己準(zhǔn)備好的正方形紙板拿出來(lái)，設(shè)它的邊長(zhǎng)為a.這個(gè)正方形的面積是多少？［生］a2.［師］請(qǐng)你用手中的剪刀從這個(gè)正方形紙板上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(如圖6－5).現(xiàn)在我們就有了一個(gè)新的圖形(如上圖陰影部分)，你能表示出陰影部分的面積嗎？圖6－5［生］剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，余下圖形的面積，即陰影部分的面積為(a2－b2).［師］你能用陰影部分的圖形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？同學(xué)們可在小組內(nèi)交流討論.(教師可巡視同學(xué)們拼圖的情況，了解同學(xué)們拼圖的想法)［生］老師，我們拼出來(lái)啦.［師］講給大伙聽一聽.［生］我是把剩下的圖形(即上圖陰影部分)先剪成兩個(gè)長(zhǎng)方形(沿上圖虛線剪開)，我們可以注意到，上面的大長(zhǎng)方形寬是(a－b),長(zhǎng)是a;下面的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)是(a－b),寬是b.我們可以將兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)更大長(zhǎng)方形，是由于大長(zhǎng)方形的寬和小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)都是(a－b),我們可以將這兩個(gè)邊重合，這樣就拼成了一個(gè)如圖6－6所示的圖形(陰影部分)，它的長(zhǎng)和寬分別為(a+b),(a－b),面積為(a+b)(a－b).圖6－6［師］比較上面兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？［生］這兩部分面積應(yīng)該是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］這恰好是我們上節(jié)課學(xué)過(guò)的平方差公式.［生］我明白了.上一節(jié)課，我們用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則驗(yàn)證了平方差公式.今天，我們又通過(guò)拼圖游戲給出平方差公式的一個(gè)幾何解釋，太妙了.［生］用拼圖來(lái)驗(yàn)證平方差公式很直觀，一剪一拼，利用面積相等就可推證.［師］由此我們對(duì)平方差公式有了更多的認(rèn)識(shí).這節(jié)課我們來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)平方差公式，也許你會(huì)發(fā)現(xiàn)它更“神奇”的作用.Ⅱ.講授新課［師］出示投影片(§6.6.2A)想一想：(1)計(jì)算下列各組算式，并觀察它們的特點(diǎn)          (2)從以上的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(3)請(qǐng)你用字母表示這一規(guī)律，你能說(shuō)明它的正確性嗎？［生］(1)中算式算出來(lái)的結(jié)果如下          ［生］從上面的算式可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)自然數(shù)的平方比它相鄰兩數(shù)的積大1.［師］是不是大于1的所有自然數(shù)都有這個(gè)特點(diǎn)呢？［生］我猜想是.我又找了幾個(gè)例子如：          ［師］你能用字母表示這一規(guī)律嗎？［生］設(shè)這個(gè)自然數(shù)為a,與它相鄰的兩個(gè)自然數(shù)為a－1,a+1,則有(a+1)(a－1)=a2－1.［生］這個(gè)結(jié)論是正確的，用平方差公式即可說(shuō)明.［生］可是，我有一個(gè)疑問(wèn)，a必須是一個(gè)自然數(shù)，還必須大于2嗎？(同學(xué)們驚訝，然后討論)［生］a可以代表任意一個(gè)數(shù).［師］很好！同學(xué)們能大膽提出問(wèn)題，又勇于解決問(wèn)題，值得提倡.［生］老師，我還有個(gè)問(wèn)題，這個(gè)結(jié)論反映了數(shù)字之間的一種關(guān)系.在平時(shí)有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：計(jì)算29×31很麻煩，我們就可以轉(zhuǎn)化為(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［師］的確如此.我們?cè)谧鲆恍?shù)的運(yùn)算時(shí)，如果能一直有這樣“巧奪天工”的方法，太好了.我們不妨再做幾個(gè)類似的練習(xí).出示投影片(§6.6.2B)［例3］用平方差公式計(jì)算：(1)103×97  (2)118×122［師］我們可以發(fā)現(xiàn)，直接運(yùn)算上面的算式很麻煩.但注意觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)新的奧妙.［生］我發(fā)現(xiàn)了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太簡(jiǎn)便了！［生］我觀察也發(fā)現(xiàn)了第(2)題的“奧妙”.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到類似這樣的題，我們就不用筆算，口算就能得出.［師］我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例題(出示投影片§6.6.2C).［例4］計(jì)算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面兩個(gè)小題，是整式的混合運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，能使運(yùn)算簡(jiǎn)便；還需注意的是運(yùn)算順序以及結(jié)果一定要化簡(jiǎn).解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小題中，2x與2x－3的積算出來(lái)后，要放到括號(hào)里，因?yàn)樗鼈兪且粋€(gè)整體.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2  (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便.解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49Ⅲ.隨堂練習(xí)1.(課本P47)計(jì)算(1)704×696(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)(3)x(x－1)－(x－)(x+)(可讓學(xué)生先在練習(xí)本上完成，教師巡視作業(yè)中的錯(cuò)誤，或同桌互查互糾)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)=(x2－4y2)+(x2－1)=x2－4y2+x2－1=2x2－4y2－1(3)x(x－1)－(x－)(x+)=(x2－x)－［x2－()2］=x2－x－x2+=－x2.(補(bǔ)充練習(xí))出示投影片(§6.6.2D)解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(先由學(xué)生試著完成)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－14x2－1+3x2－12=7x2－6x－16x=12   x=2Ⅳ.課時(shí)小結(jié)［師］同學(xué)們這節(jié)課一定有不少體會(huì)和收獲.［生］我能用拼圖對(duì)平方差公式進(jìn)行幾何解釋.也就是說(shuō)對(duì)平方差公式的理解又多了一個(gè)層面.［生］平方差公式不僅在計(jì)算整式時(shí)，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而且數(shù)的運(yùn)算如果也能恰當(dāng)?shù)赜昧似椒讲罟?，也非常神?/span>.［生］我覺得這節(jié)課我印象最深的是犯錯(cuò)誤的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同時(shí)減號(hào)后面的積(a+b)(a－b),算出來(lái)一定先放在括號(hào)里，然后再去括號(hào).就不容易犯錯(cuò)誤了.……Ⅴ.課后作業(yè)課本習(xí)題6.13.Ⅵ.活動(dòng)與探究計(jì)算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.
 ［過(guò)程］先做乘方運(yùn)算，再做減法，則計(jì)算繁瑣，觀察算式特點(diǎn)，考慮逆用平方差公式.［結(jié)果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1==1981045●板書設(shè)計(jì)§6.6  平方差公式(二)一、平方差公式的幾何解釋：二、想一想特例——歸納——建立猜想——用符號(hào)表示——給出證明即(a+1)(a－1)=a2－1三、例題講解：例3  例4四、練習(xí)●備課資料參考練習(xí)1.選擇題(1)在下列多項(xiàng)式的乘法中，不能用平方差公式計(jì)算的是(    )A.(－a－b)(a－b)     B.(c2－d2)(d2+c2)C.(x3－y3)(x3+y3)      D.(m－n)(－m+n)(2)用平方差公式計(jì)算(x－1)(x+1)(x2+1)結(jié)果正確的是(    )A.x4－1         B.x4+1C.(x－1)4         D.(x+1)4(3)下列各式中，結(jié)果是a2－36b2的是(    )A.(－6b+a)(－6b－a)      B.(－6b+a)(6b－a)C.(a+4b)(a－4b)          D.(－6b－a)(6b－a)2.填空題(4)(5x+3y)·(    )=25x2－9y2(5)(－0.2x－0.4y)(    )=0.16y2－0.04x2(6)(－x－11y)(    )=－x2+121y2(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2,則A=       ，B=       .3.計(jì)算(8)(2x2+3y)(3y－2x2).(9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5).(10)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3).4.求值(11)(上海市中考題)已知x2－2x=2,將下式先化簡(jiǎn)，再求值(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)5.探索規(guī)律(12)(北京市中考)觀察下列順序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想：第n個(gè)等式(n為正整數(shù))應(yīng)為       .答案：1.(1)D  (2)A  (3)D2.(4)(5x－3y)  (5)(0.2x－0.4y)(6)(x－11y)  (7)A=4n,B=7m3.(8)9y2－4x4  (9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n為正整數(shù)). 

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6 平方差公式

版本： 魯教版（五四學(xué)制）（2024）

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