6.6  平方差公式(一)●教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程.2.會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.(二)能力訓(xùn)練要求1.在探索平方差公式的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力.2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力.(三)情感與價(jià)值觀要求在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表達(dá)，從而體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)捷美.●教學(xué)重點(diǎn)平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.●教學(xué)難點(diǎn)用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式.●教學(xué)方法探究與講練相結(jié)合.使學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并運(yùn)用自己的語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，用符號(hào)證明這個(gè)規(guī)律，并探索出平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中學(xué)會(huì)應(yīng)用.●教具準(zhǔn)備投影片四張第一張：做一做，記作(§6.6.1 A)第二張：例1，記作(§6.6.1 B)第三張：例2，記作(§6.6.1 C)第四張：練一練，記作(§6.6.1D)●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課［師］你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［師］很好！我們利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，將(1)(2)中的2001，1999，99化成為整千整百的運(yùn)算，從而使運(yùn)算很簡(jiǎn)便.我們不妨觀察第(1)題，2001和1999，一個(gè)比2000大1，于是可寫(xiě)成2000與1的和，一個(gè)比2000小1，于是可寫(xiě)成2000與1的差，所以2001×1999就是2000與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積，即(2000+1)(2000－1)；再觀察利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則算出來(lái)的結(jié)果為：20002－12，恰為這兩個(gè)數(shù)2000與1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他滿(mǎn)足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有類(lèi)似的結(jié)果呢？我們不妨看下面的做一做.Ⅱ.使學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中，通過(guò)觀察、歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語(yǔ)言和符號(hào)表示其規(guī)律［師］出示投影片(§6.6.1A)做一做：計(jì)算下列各題：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).觀察以上算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？［生］上面四個(gè)算式都是多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法.［生］上面四個(gè)算式每個(gè)因式都是兩項(xiàng).［生］除上面兩個(gè)同學(xué)說(shuō)的以外，更重要的是：它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如：算式(1)是“x”與“2”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式(2)是“1”與“3a”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式(3)是“x”與“5y”的和與差的積；算式(4)是“y”與“3z”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積.［師］我們觀察出了算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).像這樣的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，它們的結(jié)果如何呢？只要你肯動(dòng)筆、動(dòng)腦，相信你一定會(huì)探尋到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的話(huà)可以讓學(xué)生利用乘法分配律將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，進(jìn)一步體會(huì)乘法分配律的重要作用以及轉(zhuǎn)化的思想)［生］從剛才這位同學(xué)的運(yùn)算，我發(fā)現(xiàn)：即兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這和我們前面的一個(gè)簡(jiǎn)便運(yùn)算得出同樣的結(jié)果.即［師］你還能舉兩個(gè)例子驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)嗎？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面兩個(gè)例子，同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與差的積，等于它們的平方差.［師］為什么會(huì)有這樣的特點(diǎn)呢？［生］因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則展開(kāi)后，中間兩項(xiàng)是同類(lèi)項(xiàng)且系數(shù)互為相反數(shù)，所以相加后為零.只剩下這個(gè)數(shù)的平方差.［師］很好！你能用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明嗎？［生］可以.上述規(guī)律用符號(hào)表示為：(a+b)(a－b)=a2－b2          ①其中a,b可以表示任意的數(shù)，也可以表示代表數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則可以對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［師］同學(xué)們確實(shí)不簡(jiǎn)單用符號(hào)表示和證明我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律簡(jiǎn)捷明快.你能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a－b)=a2－b2起一個(gè)名字嗎？能形象直觀地反映出此規(guī)律的.［生］我們可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［師］大家同意嗎？［生］同意.［師］好了！這節(jié)課我們主要就是學(xué)習(xí)討論這個(gè)公式的.你能用語(yǔ)言描述這個(gè)公式嗎？［生］可以.這個(gè)公式表示兩數(shù)和與差的積，等于它們的平方差.［師］平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式.用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)單，但要注意必須符合公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)才能利用它進(jìn)行運(yùn)算.Ⅲ.體會(huì)平方差公式的應(yīng)用，感受平方差公式給多項(xiàng)式乘法運(yùn)算帶來(lái)的方便，進(jìn)一步熟悉平方差公式.出示投影片(§6.6.1B)［例1］(1)下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是(    )A.(x+1)(1+x)        B.(a+b)(b－a)C.(－a+b)(a－b)          D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)       F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式計(jì)算：(5+6x)(5－6x);  (x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因?yàn)?/span>B.(a+b)(b－a)利用加法交換律可得(a+b)(b－a)=(b+a)(b－a),表示b與a這兩個(gè)數(shù)的和與差的積，符合平方差公式的特點(diǎn)；E.(－a－b)(a－b),同樣可利用加法交換律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b與a這兩個(gè)數(shù)和與差的積，也符合平方差公式的特點(diǎn)；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交換律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2與d2這兩個(gè)數(shù)和與差的積，同樣符合平方差公式的特點(diǎn).［師］為什么A、C、D不能用平方差公式呢？［生］A、C、D表示的不是兩個(gè)數(shù)的和與差的積的形式.［師］下面我們就來(lái)做第(2)題，首先分析它們分別是哪兩個(gè)數(shù)和與差的積的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5與6x這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式；(x－2y)(x+2y)是x與2y這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m與n這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式.［師］很好！下面我們就來(lái)用平方差公式計(jì)算上面各式.［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.［師］這位同學(xué)的思路非常清楚.下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例題.出示投影片(記作§6.6.1C)［例2］利用平方差公式計(jì)算：(1)(－x－y)(－x+y);(2)(ab+8)(ab－8);［師］同學(xué)們可先交流、討論，然后各小組派一代表到黑板上演示.然后再派一位同學(xué)講評(píng).［生］解：(1)(－x－y)(－x+y)——(－x)與y的和與差的積=(－x)2－y2——利用平方差公式得(－x)與y的平方差=x2－y2——運(yùn)算至最后結(jié)果(2)(ab+8)(ab－8)——ab與8的和與差的積=(ab)2－82——利用平方差公式得ab與8的平方差=a2b2－64——運(yùn)算至最后結(jié)果［生］剛才這位同學(xué)的運(yùn)算有條有理，有根有據(jù)，我覺(jué)得利用平方差公式計(jì)算必須注意以下幾點(diǎn)：(1)公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式.(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式.(3)有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過(guò)加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.［生］還需注意最后的結(jié)果必須最簡(jiǎn).［師］同學(xué)們總結(jié)的很好！下面我們?cè)賮?lái)練習(xí)一組題.投影片(§6.6.1D)1.計(jì)算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下圖左框里的整式分別乘(a+b),所得的積寫(xiě)在右框相應(yīng)的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教師在讓學(xué)生做練習(xí)，可巡視練習(xí)的情況，對(duì)確實(shí)有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo))Ⅳ.課時(shí)小結(jié)［師］同學(xué)們有何體會(huì)和收獲呢？［生］今天我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中的一個(gè)重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］應(yīng)用這個(gè)公式要明白公式的特征：(1)左邊為兩個(gè)數(shù)的和與差的積；(2)右邊為兩個(gè)數(shù)的平方差.［生］公式中的a、b可以是數(shù)，也可以是代表數(shù)的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通過(guò)適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能用公式.［師］同學(xué)們總結(jié)的很好！還記得剛上課的一個(gè)問(wèn)題嗎？計(jì)算992－1，現(xiàn)在想一想，能使它運(yùn)算更簡(jiǎn)便嗎？［生］可以.992－1可以看成99與1的平方差，從右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［師］我們發(fā)現(xiàn)平方差公式的應(yīng)用是很靈活的，只要你準(zhǔn)確地把握它的結(jié)構(gòu)特征，一定能使你的運(yùn)算簡(jiǎn)捷明了.Ⅴ.課后作業(yè)課本習(xí)題6.12，第1題.Ⅵ.活動(dòng)與探究有10位乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽(每?jī)扇碎g均賽一場(chǎng))，用x1,y1順次表示第1號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，用x2,y2順次表示第2號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，……用x10,y10順次表示第10號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù).則10名選手勝的場(chǎng)數(shù)的平方和與他們負(fù)的場(chǎng)數(shù)的平方和相等，即x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,為什么？經(jīng)過(guò)：由于是單循環(huán)賽，每名運(yùn)動(dòng)員恰好參加9局比賽，即xi+yi=9(其中i=1、2、3、…10)，在比賽中一人勝了，另一人自然敗了，則x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,這兩個(gè)隱含條件是解題的關(guān)鍵，從作差比較入手.［結(jié)果］由題意知xi+yi=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］=0所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.●板書(shū)設(shè)計(jì)§6.6  平方差公式(一)做一做解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.歸納、猜想規(guī)律(a+b)(a－b)=a2－b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差.用符號(hào)運(yùn)算證明(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.應(yīng)用、升華例1.(抓住平方差公式的特征，準(zhǔn)確地利用平方差公式計(jì)算)例2.(對(duì)公式中a、b含義的理解，既可以是具體的數(shù)也可以是整數(shù))隨堂練習(xí)(熟悉平方差公式).●備課資料參考例題［例1］用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)79×81  (2)99×101×10001解：(1)原式=(80－1)(80+1)=802－1=6399;(2)原式=(100－1)(100+1)(10000+1)=(1002－12)(10000+1)=(10000－1)(10000+1)=100002－12=100000000－1=99999999.［例2］計(jì)算：(1)(b－2)(b2+4)(b+2)(2)［2a2－(a+b)(a－b)］［(c－a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］分析：(1)題可利用乘法交換律和結(jié)合律，先求(b－2)與(b+2)的積，所得結(jié)果再與(b2+4)相乘，可兩次運(yùn)用平方差公式；(2)題根據(jù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，先算括號(hào)里的其中(a+b)(a－b),(c－a)(a+c),(－c+b)(c+b)都可直接運(yùn)用平方差公式計(jì)算.解：(1)(b－2)(b2+4)(b+2)=［(b－2)(b+2)］(b2+4)=(b2－4)(b2+4)=(b2)2－42=b4－16(2)［2a2－(a+b)(a－b)］［(c－a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］=［2a2－(a2－b2)］［(c+a)(c－a)+(b－c)(b+c)］=［2a2－a2+b2］［c2－a2+b2－c2］=(a2+b2)(b2－a2)=(b2)2－(a2)2=b4－a4［例3］計(jì)算：(1)(+y)(－+y)(2)(a+b－c)(a－b+c)(3)(x+3y)2(x－3y)2(x2+9y2)2分析：(1)題中，可把相同的項(xiàng)放在對(duì)應(yīng)的位置上，再把互為相反數(shù)的項(xiàng)放在對(duì)應(yīng)的位置上，使之滿(mǎn)足(a+b)(a－b),然后用平方差公式；(3)題先逆用積的乘方公式，然后用平方差公式.解：(1)(+y)(－+y)=(y+)(y－)=(y)2－()2=y2－x2(2)(a+b－c)(a－b+c)=［a+(b－c)］［a－(b－c)］=a2－(b－c)2=a2－(b2－2bc+c2)=a2－b2+2bc－c2(3)(x+3y)2(x－3y)2(x2+9y2)2=［(x+3y)(x－3y)(x2+9y2)］2=［(x2－9y2)(x2+9y2)］2=［x4－81y4］2=x8－162x4y4+6561y8.  

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6 平方差公式

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