?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ?橢圓的性質(zhì)
?拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ?拋物線的性質(zhì)
?雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ?雙曲線的性質(zhì)
一．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）
1．（2023秋?思明區(qū)校級期中）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為 ．
【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出方程利用橢圓經(jīng)過的點(diǎn)，求解即可．
【解答】解：橢圓，即：，可得，可得，橢圓的焦點(diǎn)，
設(shè)橢圓的方程為：，橢圓過點(diǎn)，
可得：，，解得，，
所求的橢圓方程為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程的求法，考查計(jì)算能力．
二．橢圓的性質(zhì)（共20小題）
2．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）橢圓的長軸長為
A．B．C．4D．2
【分析】由題意得，即可得出答案．
【解答】解：橢圓，則，
橢圓的長軸長為，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）足球教練帶領(lǐng)運(yùn)動員對“帶球射門”進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練．如圖，教練員指導(dǎo)運(yùn)動員沿著與邊路平行的路線帶球并起腳射門，教練員強(qiáng)調(diào)要在路線上的相應(yīng)位置處起腳射門進(jìn)球的可能性最佳（即點(diǎn)對球門所張的角最大），假如每條虛線都表示在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)為運(yùn)動員預(yù)設(shè)的帶球路線，而每條路線上都有一個最佳起腳射門點(diǎn)，為了研究方便，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)、，請你判斷：每條虛線上的最一佳起腳射門點(diǎn)應(yīng)在怎樣的曲線上
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合基本不等式、余弦定理即可判斷．
【解答】解：設(shè)，，在中，
，
隨著增大而減小，
最大時，則最小，
由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)為定值時，有最小值，
即為定值且，
射門點(diǎn)應(yīng)該在橢圓上．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的定義及性質(zhì)、基本不等式、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離最小值為
A．B．5C．D．
【分析】由題意設(shè)，，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合輔助角公式化簡即可求得答案．
【解答】解：點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，設(shè)，，
則點(diǎn)到直線的距離為
，其中，
當(dāng)時，取最小值．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
5．（2023秋?寶山區(qū)校級期中）某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為，設(shè)地球半徑為，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為
A．B．
C．D．
【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率，求出橢圓的長半軸，半焦距，即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離．
【解答】解：橢圓的離心率：，為半焦距；為長半軸），
只要求出橢圓的和，即可確定衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離，
設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為，，
由題意，結(jié)合圖形可知，，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為：，，
，
，
所以遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為：．
故選：．
【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法，是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的作圖視圖能力．
6．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）橢圓的離心率是 ．
【分析】根據(jù)條件，求出，，再利用離心率的定義即可求出結(jié)果．
【解答】解：由橢圓方程，知，，
離心率．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023秋?寶山區(qū)校級期中）直線與橢圓恒有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍為 ，， ．
【分析】分類討論，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)位置，由直線恒過點(diǎn)，要使直線與橢圓恒有兩個公共點(diǎn)，則只需必在橢圓內(nèi)部，即可求得的取值范圍．
【解答】解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，則時，
直線恒過點(diǎn)，要使直線與橢圓恒有兩個公共點(diǎn)，
則必在橢圓內(nèi)部，即，則，
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，
直線恒過點(diǎn)，要使直線與橢圓恒有兩個公共點(diǎn)，
則必在橢圓內(nèi)部，顯然成立，
則，
綜上可知：的取值范圍：，，，
故答案為：，，．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2023春?長寧區(qū)校級期中）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解焦點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：由橢圓方程可知其焦點(diǎn)在軸上，半焦距為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
9．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡是橢圓，那么這個橢圓的離心率是 ．
【分析】根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法，即可求解．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)，則，
又點(diǎn)在圓上，
，
的軌跡即為橢圓，
，，，
這個橢圓的離心率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，相關(guān)點(diǎn)法的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
10．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知橢圓，，為橢圓的兩焦點(diǎn)，如果上存在點(diǎn)，使，那么離心率的取值范圍是 ．
【分析】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，由上存在點(diǎn)，使，則，則，然后結(jié)合橢圓離心率的求法求解即可．
【解答】解：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，
由上存在點(diǎn)，使，
則，
則，
則，
又，
則離心率的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了橢圓離心率的求法，屬基礎(chǔ)題．
11．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）若橢圓的方程為，且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù) 4或8 ．
【分析】首先分兩種情況：①焦點(diǎn)在軸上．②焦點(diǎn)在軸上，分別求出的值即可．
【解答】解：橢圓的焦距為4．
，即
在橢圓中，
①焦點(diǎn)在軸上時：
解得：．
②焦點(diǎn)在軸上時
解得：
故答案為：4或8．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：橢圓方程的兩種情況：焦點(diǎn)在軸或軸上，考察、、的關(guān)系式，及相關(guān)的運(yùn)算問題．
12．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上，若，的大小為 ．
【分析】由，且，易得，再利用余弦定理，即可求得結(jié)論．
【解答】解：，，
．
在△中，，
．
故答案為：
【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用及焦點(diǎn)三角形問題，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為、，為該橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)且，滿足，則的取值范圍為 ， ．
【分析】由，可得．設(shè)，，由題意可得，，結(jié)合基本不等式及離心率計(jì)算公式即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)，，
由題意可得，，
，，
，解得，
，
，
，
．
故答案為：，．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、基本不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
14．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）設(shè)、分別為橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)，過作斜率為1的直線，交于、兩點(diǎn)，則 ．
【分析】由橢圓方程求得左焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得，再由橢圓定義求解的值．
【解答】解：由橢圓，得，，則，
，又所作直線的斜率為1，則直線方程為，即，
聯(lián)立，得．
設(shè)，，，，
則，，
．
由橢圓定義可得，，則．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
15．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓上一動點(diǎn)，，則周長的最大值為 ．
【分析】的周長為，而，的周長為，當(dāng)最大時，、、三點(diǎn)共線，即求出最大值．
【解答】解：的周長為，
而，
的周長為，當(dāng)最大時，、、三點(diǎn)共線，如圖所示，
由題意得，，點(diǎn)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，
則的周長最大為，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形三邊大小關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
16．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，為橢圓上兩點(diǎn)，滿足，且，則橢圓的離心率為 ．
【分析】如圖，延長，與橢圓交于點(diǎn)，連接，設(shè)，可得，在△中，用余弦定理可得到，繼而得到，即可求解．
【解答】解：設(shè)橢圓的半焦距為，
如圖，延長，與橢圓交于點(diǎn)，連接，
由，所以根據(jù)對稱性可知，，
設(shè)，，則，，
從而，故，
在中，，
所以，
在△中，，即，
所以，所以，所以離心率．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題等知識，屬于中檔題．
17．（2023秋?寶山區(qū)校級期中）已知橢圓的左右頂點(diǎn)為和，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)．若外接圓的面積的最小值為，則的值等于 ．
【分析】數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)外接圓面積取到最小值時，圓與直線相切，得到半徑，由此得解．
【解答】解；橢圓，則左、右頂點(diǎn)，，
則外接圓圓心在軸上，又右焦點(diǎn)，則，，
由點(diǎn)在直線上．如圖所示，當(dāng)外接圓面積取到最小值時，
圓與直線 相切，又圓的面積最小值為，則此時圓的半徑，
解得，由得．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查圓的性質(zhì)，考查橢圓的方程，屬于中檔題．
18．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓，，為橢圓長軸的端點(diǎn)，，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則橢圓的離心率為 ．
【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，將坐標(biāo)代入化簡即得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，由此可得面積的最大值和面積的最小值，得出，之間的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓離心率．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)，由題意，，
則由，可得，即，
整理可得，即，
所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，
點(diǎn)到軸的距離的最大值為，
則的面積的最大值為，即，①
點(diǎn)到軸距離的最小值為，
則的面積的最小值為，即，②
由①②可得，因此，
橢圓的離心率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)法求軌跡方程，考查橢圓離心率的求法，屬中檔題．
19．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若是正三角形，則橢圓的離心率是 ．
【分析】由題意可得，由直線與橢圓長軸垂直，得，△中，設(shè)，進(jìn)而可得，即可得出橢圓長軸的長，焦距，即可得出答案．
【解答】解：是正三角形，，
直線與橢圓長軸垂直，是正三角形的高，
，
在△中，設(shè)，，
，，焦距，
橢圓的離心率是．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的離心率的求法，屬中檔題．
20．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個球，使得兩個球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個橢圓．則該橢圓的離心率為 ．
【分析】結(jié)合題意，由球的半徑可求得，的值，進(jìn)而可得的正弦值，所以可求出的值，即可以求出的值，由圓柱的底面半徑可以求出的值，進(jìn)而可以求出離心率．
【解答】解：在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個球，使得兩個球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個橢圓，
則由圖可知：，，
所以，
又因?yàn)椋?br>結(jié)合可知：，
所以，
而，
即，
所以，
所以離心率．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了橢圓離心率的求法，屬中檔題．
21．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．
（1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少？
（2）若最大拱高不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最??？（半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到0.1米）
【分析】（1）根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，可得的坐標(biāo)并設(shè)出橢圓的方程，將與點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得，依題意，可得，計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為，將代入方程可得，結(jié)合基本不等式可得，分析可得當(dāng)且，時，，進(jìn)而分析可得答案．
【解答】解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，
橢圓方程為．
將與點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，
得，
此時此時
因此隧道的拱寬約為33.3米；
（2）由橢圓方程，
根據(jù)題意，將代入方程可得．
因?yàn)?br>即且，，
所以
當(dāng)取最小值時，
有，
得，
此時，
故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的實(shí)際運(yùn)用，注意與實(shí)際問題相結(jié)合，建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析、計(jì)算、解題．
三．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）
22．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，吊車梁的魚腹部分是拋物線的一段，寬，高，根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，可得這條拋物線的準(zhǔn)線方程為 ．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線方程為，分析的坐標(biāo)，由此求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)拋物線方程為，
則的坐標(biāo)為，
則有，解可得，拋物線的方程為，
則其準(zhǔn)線的方程為，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查拋物的應(yīng)用，涉及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．
四．拋物線的性質(zhì)（共9小題）
23．（2023秋?寶山區(qū)校級期中）已知拋物線，圓，若點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動，且設(shè)點(diǎn)，則的最小值為
A．B．C．D．
【分析】要使最小，則需最大，根據(jù)拋物線的定義可得，然后整理換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．
【解答】解：如圖，設(shè)圓心為，則為拋物線的焦點(diǎn)，
該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，
由拋物線的定義得，要使最小，則需最大，
如圖，最大時，經(jīng)過圓心，且圓的半徑為1，
，且，
所以，令，則，
所以，由，
而，
得取得最小值，則的最小值為．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．
24．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中），是關(guān)于的二次方程的兩個不同實(shí)數(shù)根，則經(jīng)過兩點(diǎn)，，，的直線與拋物線公共點(diǎn)的個數(shù)是
A．2B．1C．0D．不確定
【分析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系求解．
【解答】解：已知，是關(guān)于的二次方程的兩個不同實(shí)數(shù)根，
則，，
又經(jīng)過兩點(diǎn)，，，的直線方程為，
即，
即，
又，
令，
即，
即直線過定點(diǎn)，
又，
即點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，
又直線斜率不為0，
即直線與拋物線的對稱軸不平行，
即直線與拋物線公共點(diǎn)的個數(shù)是2個，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題．
25．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為，渠深為，水面距為，則截面圖中水面寬的長度約為 1.63 ．（精確到
【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出拋物線方程，再根據(jù)拋物線方程 可求出結(jié)果．
【解答】解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意可得，代入，得，解得，
拋物線方程為，
設(shè)，，，，則，
則，，
截面圖中水面寬的長度約為．
故答案為：1.63．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線方程及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
26．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為時，水面寬度為，當(dāng)水面再上升時，水面寬度為 ．
【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線所在直線方程，由已知求解拋物線方程，取求得值，則答案可求．
【解答】解：建立如圖上式平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)高腳杯的軸截面所在拋物線方程為，
由題意可得，代入拋物線方程，可得，即，
則拋物線方程為，
由題意可設(shè)的縱坐標(biāo)為3，則，即，
當(dāng)水面再上升時，水面寬度為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
27．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）已知直線和直線，則拋物線上的動點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為 ．
【分析】由拋物線的定義，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解．
【解答】解：已知拋物方程為線，
則拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，
又直線和直線，
則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，
則拋物線上的動點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線的距離，
即．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了拋物線的定義，屬中檔題．
28．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）已知拋物的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，直線交軸于點(diǎn)，若，則到準(zhǔn)線的距離為 5 ．
【分析】結(jié)合圖形，利用相似關(guān)系，以及拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：由拋物線，可知，即為坐標(biāo)原點(diǎn)），
過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，由三角形相似可知，
所以，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬中檔題．
29．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）為拋物線上任意一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則的取值范圍是 ， ．
【分析】設(shè)出，，，得出，則，結(jié)合，，即可求得取值范圍．
【解答】解：如圖，，，設(shè)，，，
由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，得，
故，
因?yàn)?，，所以，?br>故當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
當(dāng)時，取得最大值，最大值為7，
則的取值范圍為，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬中檔題．
30．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）已知拋物線的方程為．
（1）求過點(diǎn)且與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線的方程；
（2）已知直線過焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，求證：．
【分析】（1）考慮直線斜率不存在和與拋物線對稱軸平行的直線，再在斜率存在時，設(shè)方程，由它與拋物線相切得結(jié)論．
（2）直線方程為，設(shè)，，，，設(shè)，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理，代入計(jì)算可得．
【解答】（1）解：已知拋物線的方程為，
顯然直線和直線都是與拋物線只有一個公共點(diǎn)，
再設(shè)直線方程為，
代入拋物線方程得，
由△得，
即直線方程為，它與拋物線相切，只有一個公共點(diǎn)，
所以所求直線方程為或或；
（2）證明：由已知拋物線焦點(diǎn)為，
設(shè)直線方程為，
設(shè)，，，，
由得，
則，，
又拋物線的準(zhǔn)線方程是，
設(shè)，
所以
．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題．
31．（2023秋?寶山區(qū)校級期中）已知是拋物線的焦點(diǎn)，、是該拋物線上的動點(diǎn)．
（1）是一個定點(diǎn)，求的最小值：
（2）若焦點(diǎn)是的垂心，求點(diǎn)、的坐標(biāo)
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義可知進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為求取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)，，三點(diǎn)共線時的最小，答案可得．
（2）根據(jù)垂心的性質(zhì)可得，關(guān)于軸對稱，且，設(shè)，，則，．求出，的斜率，令解出即可得出，的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義可知，
要求取得最小值，即求取得最小，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時最小，為．
即的最小值：5．
（2）拋物線焦點(diǎn)，
焦點(diǎn)是的垂心，
直線軸．
，關(guān)于軸對稱．
設(shè)，，則，．
．．
焦點(diǎn)是的垂心，
．
，即，解得．
，，；或，，．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)，，三點(diǎn)共線時最小，同時考查三角形垂心的性質(zhì)，屬于中檔題．
五．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（共2小題）
32．（2023秋?奉賢區(qū)校級期中）以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【分析】由已知求出橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步得到與的值，則答案可求．
【解答】解：由橢圓的方程，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為、，
若雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，
則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
則其中，，則，
故要求雙曲線的方程為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題．
33．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為 ．
【分析】根據(jù)漸近線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用、、的關(guān)系和條件列出方程求出、，代入雙曲線的方程即可．
【解答】解：由題意得，，
解得，，
雙曲線的方程是，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
六．雙曲線的性質(zhì)（共17小題）
34．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）設(shè)是雙曲線上的動點(diǎn)，則到該雙曲線兩個焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為
A．4B．C．D．
【分析】直接利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，再由雙曲線的定義得答案．
【解答】解：雙曲線，，，
由雙曲線的定義可得，到該雙曲線兩個焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為4．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
35．（2023秋?楊浦區(qū)校級月考）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是
A．雙曲線B．雙曲線一支C．兩條射線D．一條射線
【分析】利用雙曲線的定義，直接判斷．
【解答】解：點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，
動點(diǎn)到和的距離之差等于4，
和兩點(diǎn)間的距離為，
動點(diǎn)的軌跡方程是雙曲線的一支．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義，是基礎(chǔ)題，解題時要熟練掌握兩點(diǎn)間距離公式．
36．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）雙曲線的兩漸近線夾角為 ．
【分析】首先求出漸近線方程，設(shè)直線的傾斜角為，即可求出，設(shè)雙曲線的兩漸近線夾角為，則，即可求出．
【解答】解：雙曲線的漸近線為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
所以，所以為鈍角，
設(shè)雙曲線的兩漸近線夾角為，
則，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的漸近線方程，考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
37．（2023秋?松江區(qū)月考）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線夾角（銳角）的正切值為 ．
【分析】由雙曲線的離心率求出漸近線的斜率，根據(jù)直線的夾角公式即可求得答案．
【解答】解：因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即，則，
故雙曲線兩條漸漸近線的斜率為，
設(shè)雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
38．（2023?浦東新區(qū)三模）已知曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)求解．
【解答】解：是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，
，，即；
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
39．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知雙曲線的一條漸近線方程是，則 5 ．
【分析】利用雙曲線的漸近線方程，求解即可．
【解答】解：雙曲線的一條漸近線方程是，
可得，
所以．
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
40．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點(diǎn)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【分析】利用焦點(diǎn)坐標(biāo)得到的值，由漸近線方程得到和的關(guān)系，再利用，即可求出，的值，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答】解：因?yàn)榻裹c(diǎn)為，則，
又漸近線方程為，則，即，
因?yàn)?，所以?br>解得，，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
41．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是 ．
【分析】利用雙曲線的漸近線方程，求出，然后求解雙曲線的離心率即可．
【解答】解：雙曲線的一條漸近線方程為，可得，所以，
所以雙曲線的離心率為：，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查．
42．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是 ，， ．
【分析】由方程表示雙曲線，知，由此能求出的取值范圍．
【解答】解：方程表示雙曲線，
，
解得，
的取值范圍是，，．
故答案為：，，．
【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．
43．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線交雙曲線右支于點(diǎn)，為切點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于 ．
【分析】利用坐標(biāo)原點(diǎn)是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形的中位線的性質(zhì)得到用焦半徑表示；將用焦半徑表示；利用圓的切線與過切點(diǎn)的半徑垂直得到直角三角形；利用勾股定理及雙曲線的定義，求出值．
【解答】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以為三角形的中位線，
，
又，
所以，
又，
．
所以．
故答案為．
【點(diǎn)評】在解決雙曲線中的有關(guān)中點(diǎn)問題時，要注意坐標(biāo)原點(diǎn)是兩個焦點(diǎn)的中點(diǎn)、解決與雙曲線的與焦點(diǎn)有關(guān)的問題常聯(lián)系雙曲線的定義．
44．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為55米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑25米，塔底部塔口半徑為米，則該雙曲線的離心率為 ．
【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用條件確定，，進(jìn)而利用離心率公式求解即可．
【解答】解：如圖，以冷卻塔的軸截面所在平面建立的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則由題知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為20，，
點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，
則設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)為，
所以，解得，，
因冷卻塔總高度為55米，
所以，，
所以，
故所求雙曲線的離心率為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．
45．（2023秋?松江區(qū)月考）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)、使，則的取值范圍為 ， ．
【分析】設(shè)，，利用，可得，可求的取值范圍．
【解答】解：設(shè)，，則，，，
，，，，
，，，，
又，，，
．
故答案為：，．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查向量的數(shù)積的計(jì)算，屬中檔題．
46．（2023秋?奉賢區(qū)校級期中）過雙曲線的右焦點(diǎn)作一條垂直于軸的垂線交雙曲線的兩條漸近線于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最小值為 8 ．
【分析】求得雙曲線的，，求得雙曲線的漸近線方程，將代入雙曲線的漸近線方程，可得，的坐標(biāo)，求得的面積，運(yùn)用基本不等式可得最小值．
【解答】解：雙曲線的，，，
設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，
由代入可得交點(diǎn)，，
即有的面積為
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最小值8．
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，考查三角形的面積的最值求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
47．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）已知雙曲線，過點(diǎn)作直線和雙曲線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則直線傾斜角的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．
【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，
又過點(diǎn)作直線和雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，
設(shè)直線的方程為，，設(shè)，
則，，
，又，，
，又傾斜角范圍為，，
直線傾斜角的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬中檔題．
48．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）雙曲線的離心率是，點(diǎn)，是該雙曲線的兩焦點(diǎn)，在雙曲線上，且軸，則△的內(nèi)切圓和外接圓半徑之比 ．
【分析】由離心率為，可得，再由軸，結(jié)合雙曲線的定義可表示出，，從而可表示出△的內(nèi)切圓和外接圓半徑，進(jìn)而可求得答案．
【解答】解：由，得，則，
設(shè)，，，，
因?yàn)檩S，所以，所以，
所以△的內(nèi)切圓半徑為，
△的外接圓半徑為，
所以△的內(nèi)切圓和外接圓半徑之比．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)切圓和外接圓半徑的求法，屬中檔題．
49．（2023春?浦東新區(qū)期末）若雙曲線的一條漸近線為，且右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，即有，求得漸近線方程即有，結(jié)合，，的關(guān)系，即可解得，，進(jìn)而得到雙曲線方程．
【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為，
即有雙曲線的焦點(diǎn)為，
設(shè)雙曲線的方程為，
則，
由漸近線方程為．
則有有，
又，
解得，，
則雙曲線的方程為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．
50．（2023?長寧區(qū)二模）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是的一條漸近線，以為圓心的圓與相切于點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，則 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式推得，再結(jié)合離心率公式，求得，，并根據(jù)余弦定理，即可求解．
【解答】解：不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為，
則到直線的距離為，
以為圓心的圓與相切于點(diǎn)，
則，
故，
雙曲線的離心率為2，
則，即，，
在△中，，
在△中，，解得，
，
故．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

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專題11 圓錐曲線（4大易錯點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯題（新高考專用）

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-22.2直接證明與間接證明練習(xí)題

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