1．圓的標準方程
(1)圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
(2)確定圓的基本要素是圓心和半徑，如圖所示．
(3)圓的標準方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
當a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點O為圓心、半徑為r的圓．
2．點與圓的位置關系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點P(x0，y0)，設d＝|PC|＝eq \r(?x0－a?2＋?y0－b?2).
3.圓的一般方程
(1)圓的一般方程的概念
當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
其中圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圓的半徑為r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
(2)對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的討論
①D2＋E2－4F＞0時表示圓．
②D2＋E2－4F＝0時表示點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
③D2＋E2－4F＜0時，不表示任何圖形．
4．直線與圓的三種位置關系
2.直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷
5．用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”
第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；
第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；
第三步：把代數(shù)運算的結果“翻譯”成幾何結論．
6．圓與圓的位置關系
7.圓與圓位置關系的判定
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：
(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(圓C1方程,圓C2方程))eq \(――→,\s\up17(消元))一元二次方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0?相交，,Δ＝0?內切或外切，,Δ＜0?外離或內含.))

位置關系
d與r的大小
圖示
點P的坐標的特點
點在圓外
d＞r
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
點在圓上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點在圓內
d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
位置關系
交點個數(shù)
相交
有兩個公共點
相切
只有一個公共點
相離
沒有公共點
位置關系
相交
相切
相離
公共點個數(shù)
兩個
一個
零個
判定方法
幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代數(shù)法：由
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,?x－a?2＋?y－b?2＝r2))
消元得到一元二次方程的判別式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
兩圓相交
有兩個公共點
兩圓相切
外切和內切
只有一個公共點
兩圓相離
外離和內含
沒有公共點
位置關系
外離
外切
相交
內切
內含
圖示
d與r1，r2的關系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
0＜d＜|r1－r2|
?圓的標準方程 ?圓的一般方程
?二元二次方程表示圓的條件 ?點與圓的位置關系
?關于點、直線對稱的圓的方程 ?圓的切線方程
?直線與圓相交的性質 ?直線與圓的位置關系
?圓與圓的位置關系及其判定 ?相交弦所在直線的方程
?直線和圓的方程的應用
一．圓的標準方程（共2小題）
1．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）圓心在第一象限，半徑為1，且同時與，軸相切的圓的標準方程為 ．
2．（2023秋?青浦區(qū)校級期中）以點為圓心，與直線相切的圓的方程是 ．
二．圓的一般方程（共2小題）
3．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．，D．，，
4．（2023?浦東新區(qū)校級一模）圓的圓心到直線的距離等于 ．
三．二元二次方程表示圓的條件（共1小題）
5．（2023秋?寶山區(qū)校級期中）方程表示一個圓，則的取值范圍是 ．
四．點與圓的位置關系（共1小題）
6．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）若點在圓內，則實數(shù)的取值范圍為 ．
五．關于點、直線對稱的圓的方程（共1小題）
7．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）圓關于點對稱的圓的方程是 ．
六．圓的切線方程（共2小題）
8．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）過圓上一點的圓的切線方程為 ．
9．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）過點作圓的切線，則切線的方程為 ．
七．直線與圓相交的性質（共2小題）
10．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）已知圓，過點的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為
A．1B．2C．3D．4
11．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）經(jīng)過點作圓的弦，使得點平分弦，則弦所在直線的方程為 ．
八．直線與圓的位置關系（共22小題）
12．（2023秋?寶山區(qū)校級期中）已知，是圓內異于圓心的一點，則此直線與該圓
A．相交B．相切C．相離D．不確定
13．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）已知，是圓上的兩點，是直線上一點，若存在點，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．D．
14．（2023秋?奉賢區(qū)校級期中）圓與直線的位置關系是
A．直線與圓相交但不過圓心B．相切
C．直線與圓相交且過圓心D．相離
15．（2023春?寶山區(qū)期末）若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
16．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知圓，點是圓上的動點，則
A．的最大值為B．的最大值為3
C．的最小值為D．的最大值為
17．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）已知圓，為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，當?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為
A．B．
C．D．
18．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
19．（2023秋?青浦區(qū)校級期中）若與有交點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
20．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知動直線與圓，則直線被圓所截得的弦長的最小值為 ．
21．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為 ．
22．（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）已知為圓上一點，為圓上一點，則點到點的距離的最大值為 ．
23．（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）點，在圓外，則直線與該圓的位置關系為 ．
24．（2022春?寶山區(qū)校級期中）已知定點，是圓上的動點，則當取到最大值時，點的坐標為 ．
25．（2023秋?閔行區(qū)校級期末）已知定點，圓．
（1）求圓心到點的距離；
（2）若以為圓心，為半徑的圓與圓有兩個不同公共點，求的取值范圍．
26．（2022秋?上海期末）已知圓經(jīng)過、，且圓心在直線上．
（Ⅰ）求圓的方程．
（Ⅱ）若直線經(jīng)過點與圓相切，求直線的方程．
27．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知：以點為圓心的圓與軸交于點，，與軸交于點、，其中為原點，
（1）求證：的面積為定值；
（2）設直線與圓交于點，，若，求圓的方程．
28．（2022秋?西城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，已知圓及點，．
（1）若直線平行于，與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；
（2）在圓上是否存在點，使得成立？若存在，求點的個數(shù)；若不存在，說明理由；
（3）對于線段上的任意一點，若在以點為圓心的圓上都存在不同的兩點，，使得點是線段的中點，求圓的半徑的取值范圍．
29．（2023秋?奉賢區(qū)校級期中）已知圓．
（1）過的動直線與圓交于、兩點．若，求直線的方程；
（2）從圓外一點向該圓引一條切線，切點為，若為坐標原點），求動點的軌跡方程．
30．（2023秋?嘉定區(qū)校級期末）已知圓．
（1）求直線被圓截得弦長；
（2）已知為圓上一點，求與圓外切于點，且半徑為6的圓的方程．
31．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知圓關于直線對稱的圖形為圓．
（1）求圓的方程；
（2）直線與圓交于，兩點，若為坐標原點）的面積為，求直線的方程．
32．（2023秋?武漢期中）已知直線和圓．
（1）求與直線垂直且經(jīng)過圓心的直線方程；
（2）求與直線平行且與圓相切的直線方程．
33．（2023秋?惠州期末）如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面的長為16米，最大高度的長為4米，以為坐標原點，所在的直線為軸建立直角坐標系．
（1）求該圓弧所在圓的方程；
（2）若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）
九．圓與圓的位置關系及其判定（共4小題）
34．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）圓和圓的位置關系是
A．相交B．相切C．相離D．內含
35．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知、分別是圓與圓上的點，是坐標原點，則的最小值為 ．
36．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知圓與圓交于，兩點，若直線的傾斜角為，則 ．
37．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知圓與圓內切，則 ．
一十．相交弦所在直線的方程（共2小題）
38．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）已知圓與圓交于、兩點，則所在的直線方程是 ．
39．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）兩圓與的公共弦所在直線的方程為 ．
一十一．直線和圓的方程的應用（共1小題）
40．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知圓，圓的圓心在軸上且與圓外切，圓與軸交于、兩點，定點的坐標為．
（1）若點，求的正切值；
（2）當點在軸上運動時，求的最大值；
（3）在軸上是否存在定點，當圓在軸上運動時，是定值？如果存在，求出點坐標；如果不存在，說明理由．

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