【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年滬教版2020選修一高二數(shù)學(xué)下冊考題預(yù)測+易錯點分析專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-專題訓(xùn)練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

易錯點1：混淆曲線在某點處的切線方程與過某點的切線方程
例1.[陜西安康2022調(diào)研]曲線過點的切線方程是（）

特別提醒：曲線在某點處的切線方程明確了“某點”是切點，此時切線只有唯一一條，而過某點的切線是指切線經(jīng)過“某點”，此時“某點”可能是切點，也可能不是切點，這樣的切線可能是多條，所以涉及過某點的切線的問題時，需要判斷"某點”是否為切點.
【解析】由題意可得點不在曲線上，設(shè)切點為，因為，所以所求切線的斜率所以.因為點是切點，所以，所以，即.設(shè)，明顯在上單調(diào)遞增，且，所以有唯一解，則所求切線的斜率，故所求切線方程為，即故選.
【變式】.[江蘇南通2023期末]已知函數(shù)，則曲線經(jīng)過點的切線方程是 .
特別提醒：求曲線的切線方程時要注意“過某點的切線”與“在某點處的切線”的差異，在某點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條；過某點的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.
【解析】設(shè)切點為，由題知，所以切線的斜率，所以切線方程為.因為切線過點，（注：點不一定是切點），所以，即，解得或，所以斜率或，又切線過點，得切線方程為或.
易錯:2：對極值點的含義理解不清致誤
例2. [山西長治八中2022測評]已知函數(shù)在處取得極值0，則（）

特別提醒：利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的極值時，要注意的是使導(dǎo)函數(shù)值為0的的值不一定是極值點，極值點是使導(dǎo)函數(shù)值為0，且左、右導(dǎo)函數(shù)值異號的的值，本題的易錯點在于令時，方程組有兩組解，一定要注意檢驗和的值是否能使在處取得極值.
【解析】根據(jù)題意，，解得或，當(dāng)，時，在上單調(diào)遞增，無極值點，故舍去.當(dāng)時，當(dāng)和時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處有極小值，滿足條件.綜上，故選
【答案】
【變式】. [河南洛陽 2023 月考]若是函數(shù)的極值點，則的值為（）

特別提醒：定義域上的可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的充要條件是，并且在附近兩側(cè)異號，若“左負(fù)右正"，則為極小值點，若“左正右負(fù)”，則為極大值點.
本題易錯的地方是求出的值后，沒有通過單調(diào)性來驗證是否為函數(shù)的極值點，也就是說使得導(dǎo)函數(shù)為零的自變量的值，不一定是極值點.
【解析】，則，由題意可知，即，解得或.
當(dāng)時，，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然是函數(shù)的極值點；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有極值點，故選.
【答案】
一．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共1小題）
1．（2022春?閔行區(qū)校級期中）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于
A．B．C．D．0
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：函數(shù)在處可導(dǎo)，
，
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．
二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共13小題）
2．（2024?邵陽模擬）已知函數(shù)的定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)．若（1），且在上恒成立，則不等式的解集為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，可得是減函數(shù)，然后再將化為，則問題可解．
【解答】解：令，
，
在上單調(diào)遞減，由得：
，
即（1）．．
故選：．
【點評】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的問題，根據(jù)已知條件合理構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
3．（2023秋?渭濱區(qū)期末）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，為偶函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)結(jié)論特點，結(jié)合已知條件，構(gòu)造函數(shù)，然后研究該函數(shù)在上的單調(diào)性解決問題．
【解答】解：令，當(dāng)時，，
因為，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
又為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，
所以（3），（2），（1），
所以．
故選：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．
4．（2024春?青浦區(qū)校級月考）已知定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時，的圖像如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為或．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件得到的單調(diào)性，進(jìn)而得到的符號規(guī)律，進(jìn)而解不等式．
【解答】解：因為是奇函數(shù)，結(jié)合的圖象可知：
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
故或；，
故或，
解得或．
故答案為：或．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，以及函數(shù)的奇偶性等性質(zhì)，屬于中檔題．
5．（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）定義在上的函數(shù)滿足；，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，研究的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．
【解答】解：設(shè)，，
則，
，
，
，
在定義域上單調(diào)遞增，
，
，
又，
，
故答案為：．
【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春?松江區(qū)校級期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是，．
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用即可求出的取值范圍．
【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
若函數(shù)數(shù)在上單調(diào)遞增，
則等價為恒成立，
若，則，滿足條件，
若，要使恒成立，
則，
即，
解得，
綜上，
故答案為：，．
【點評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為，．
【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，由題意可得恒成立，設(shè)，即有，對討論，分，，，分離參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，解不等式即可得到所求范圍．
【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
由題意可得恒成立，
即為，
即有，
設(shè)，即有，
當(dāng)時，不等式顯然成立；
當(dāng)時，，
由在，遞增，可得時，取得最大值，
可得，即；
當(dāng)時，，
由在，遞增，可得時，取得最小值1，
可得，即，
綜上可得的范圍是，，
故答案為：，．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．
8．（2024春?寶山區(qū)校級月考）已知函數(shù)過點，函數(shù)在點處的切線斜率為4，且為函數(shù)的一個駐點．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切線斜率和極值點列出方程組，求出，，，得到解析式；
（2）令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0，求出單調(diào)區(qū)間．
【解答】解：（1）由題意，函數(shù)，可得，
因為函數(shù)在點處的切線斜率為4，且在處為駐點，
可得，即，
解得，
所以，
（2）可得，令，解得：或，
當(dāng)變化時，，的變換情況如下：
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間是．
【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
9．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）（1）利用定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（2）求方程的實數(shù)解（精確到．
【分析】（1）按照取值、作差并判斷差的符號、下結(jié)論的步驟證明；
（2）利用二分法求解．
【解答】解：（1）證明：設(shè)，
，
因為，所以，且，
所以，即，
所以在上是增函數(shù)；
（2）因為（1），，
由（1）可知，是增函數(shù)，所以在上存在唯一解，
又，因為（1），
所以在上存在唯一解，
又，所以在上存在唯一解，
，
因為，所以在上存在根，
因為，
由題意取近似實數(shù)解為1.2．
【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義、二分法求方程的近似解，屬于中檔題．
10．（2022秋?普陀區(qū)期中）已知函數(shù)，．
（1）若經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點，（2），求實數(shù)的值；
（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間當(dāng)為嚴(yán)格遞減函數(shù)時，求實數(shù)的取值范圍；
（3）對于（2）中的函數(shù)，若函數(shù)有兩個極值點為、，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于的方程，求解即可得出答案；
（2）求出，題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用分離變量法得對上的任意實數(shù)恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，即可得出答案；
（3）題意轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，又不等式恒成立，即，
表示出，構(gòu)造函數(shù)（a），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案．
【解答】解：（1），則，
過點，（2）切線的斜率，
在點，（2）的切線過點，
，即，解得；
（2），，則，
函數(shù)在區(qū)間當(dāng)為嚴(yán)格遞減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對上的任意實數(shù)恒成立，
對上的任意實數(shù)恒成立，
令，，則，
由得，由得，由得，
在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故實數(shù)的取值范圍為；
（3），，
函數(shù)有兩個極值點為、，轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的根，
在上有兩個不同的根，
，解得，
不等式恒成立，即，
又，
令，所以，
又，
（a）恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
，
故實數(shù)的取值范圍為，．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
11．（2022秋?嘉定區(qū)期末）已知．
（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并證明：函數(shù)在，上是嚴(yán)格減函數(shù)（常數(shù)為自然對數(shù)的底）；
（2）根據(jù)（1），判斷并證明與的大小關(guān)系，并請推廣至一般的結(jié)論（無須證明）；
（3）已知、是正整數(shù)，，，求證：，是滿足條件的唯一一組值．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論成立，再寫出推廣結(jié)論．
（3）由，得出、的值，再證明唯一性即可．
【解答】（1）證明：因為函數(shù)，，所以的導(dǎo)函數(shù)為，
令，得，解得，列表如下：
所以函數(shù)在，上是嚴(yán)格減函數(shù)．
（2）解：判斷，證明如下：
由（1）知，，所以，即，所以，
由函數(shù)是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，所以．
推廣一般結(jié)論為：對于實數(shù)、，若，則，即．
（3）證明：因為，可知，滿足，、，
下面證明唯一性：
①若，由推廣的結(jié)論可知，與矛盾；
②若，則，即，與矛盾；
③若，則，即，容易驗證，成立，
若，由推廣的結(jié)論可知，則，所以，與矛盾．
綜合①②③，，是滿足條件的唯一一組值．
【點評】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力與推理論證能力，是難題．
12．（2022秋?長寧區(qū)期末）已知函數(shù)的定義域為．
（1）若．
①求曲線在點處的切線方程；
②求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間和極小值；
（2）若對任意，，，函數(shù)在區(qū)間，上均無最小值，且對于任意，當(dāng)時，都有．求證：當(dāng)時，．
【分析】（1）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出時的值，得出切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程；
②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間和極小值．
（2）先證明對于任意，；再證明且時，；且時，；即可證明時，．
【解答】解：（1）①因為函數(shù)，，所以，（1），
所以曲線在點處的切線方程為，即；
②因為函數(shù)，，
所以，
令，解得或，列表如下：
所以的單調(diào)減區(qū)間為，，極小值為（1）；
（2）①首先證明對于任意，．
當(dāng)時，由，
可知介于和之間．
若，則在區(qū)間，上存在最小值，矛盾．
利用歸納法和上面結(jié)論可得：對于任意，，當(dāng)時，．
②其次證明當(dāng)且時，；當(dāng)且時，．
任取，設(shè)正整數(shù)滿足，則．
若存在使得，則，即．
由于當(dāng)時，，所以在區(qū)間，有最小值，矛盾．
類似可證，當(dāng)且時，．
③最后證明：當(dāng)時，．
當(dāng)時，（2）（1）成立．當(dāng)時，由可知，存在使得，
所以．
當(dāng)時，有：．
若，則，
所以在，上存在最小值，故不具有性質(zhì)，故不成立．
若，則，，．
假設(shè)，則在，上存在最小值，故不具有性質(zhì)，故假設(shè)不成立．
所以當(dāng)時，對于任意都成都成立．
又，故當(dāng)、，
所以，即．
所以當(dāng)時，則存在正整數(shù)使得，則，
所以當(dāng)時，，同理可證得當(dāng)時，．
所以當(dāng)時，必然存在正整數(shù)，使得，所以．
綜上所述：當(dāng)時，．
【點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，也考查了邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，是難題．
13．（2022春?黃浦區(qū)校級期末）已知函數(shù)．
（1）試判斷的單調(diào)性；
（2）求證：恒成立，且為嚴(yán)格遞減數(shù)列．
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)題意利用函數(shù)的性質(zhì)先證，再利用（1）中的結(jié)論證明為嚴(yán)格遞減數(shù)列．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為，，，
且，
令，則．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在上為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，在上為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，
所以．
所以當(dāng)，，時，，函數(shù)在和上嚴(yán)格單調(diào)遞增．
（2）先證；
因為時，，所以，．
因為，由可得．
再證為嚴(yán)格遞減數(shù)列；
由（1）可知，，所以．
所以，所以，
所以，即，
所以為嚴(yán)格遞減數(shù)列．
綜上可知，恒成立，且為遞減數(shù)列．
【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與數(shù)列的應(yīng)用問題，是難題．
14．（2023?普陀區(qū)模擬）已知函數(shù)．
（1）若，求的值；
（2）設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．
【分析】（1）通過對函數(shù)求導(dǎo)，分、兩種情況考慮導(dǎo)函數(shù)與0的大小關(guān)系可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知，進(jìn)而取特殊值可知，．一方面利用等比數(shù)列的求和公式放縮可知，另一方面可知，從而當(dāng)時，，，比較可得結(jié)論．
【解答】解：（1）因為函數(shù)，，
所以，且（1）．
所以當(dāng)時恒成立，此時在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，（1），這與矛盾；
當(dāng)時令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即（a），
若，則（a）（1），從而與矛盾；
所以；
（2）由（1）可知當(dāng)時，即，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，．
，
即；
因為為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，成立，
當(dāng)時，，
所以的最小值為3．
【點評】本題是一道關(guān)于函數(shù)與不等式的綜合題，考查分類討論的思想，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，考查等比數(shù)列的求和公式，考查放縮法，注意解題方法的積累，屬于難題．
三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共6小題）
15．（2023春?普陀區(qū)校級期末）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)極值點（包括極大值點和極小值點）有
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，可從的圖象可知在內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增減增減，然后得到答案．
【解答】解：從的圖象可知在內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增減增減，
根據(jù)極值點的定義可知，導(dǎo)函數(shù)在某點處值為0，左右兩側(cè)異號的點為極值點，
由圖可知，在內(nèi)只有3個極值點．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)的極值點和導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．
16．（2023秋?西安期末）函數(shù)的極小值為
A．B．1C．0D．不存在
【分析】求出定義域，導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的零點，再判斷導(dǎo)數(shù)附近的符號，確定結(jié)論．
【解答】解：，，
，由，
時，，時，，
所以的極小值（1）．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)極值（點的判斷和計算，屬于中檔題．
17．（2024春?常州月考）若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的最小值是 3 ．
【分析】問題轉(zhuǎn)化為在上只有一個零點，即在上只有一個零點，令，再在上研究只有一個零點，求解的范圍，確定的最小值．
【解答】解：由題意得：，該函數(shù)在上只有一個零點，
則，即在上只有一個零點，
令，，則，，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以，
所以時，在上只有一個變號的根，
即函數(shù)在上有且僅有一個極值點．
故答案為：3．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點個數(shù)的問題，屬于中檔題．
18．（2023秋?泰山區(qū)校級期末）已知函數(shù)，其中且．若存在兩個極值點，，則實數(shù)的取值范圍為．
【分析】求出，然后轉(zhuǎn)化為有兩個不同的變號零點，再分與，討論，的圖象有兩個交點即可．
【解答】解：對函數(shù)求導(dǎo)得：，
令，即有有兩個不同的變號零點，
令，，
當(dāng)時，設(shè)過原點的切線的切點坐標(biāo)為，，切線斜率為，
切線方程為：，
將代入切線方程得，
此時切線的斜率為：，現(xiàn)在需要有兩個交點，
即，所以．
同理知當(dāng)時，，所以．
綜上知：的取值范圍為．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的方法以及極值點處的性質(zhì)，屬于中檔題．
19．（2023春?普陀區(qū)校級期中）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升關(guān)于行駛速度（千米小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米．
（Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
【分析】把用的時間求出，在乘以每小時的耗油量即可．
求出耗油量為與速度為的關(guān)系式，再利用導(dǎo)函數(shù)求出的極小值判斷出就是最小值即可．
【解答】解：當(dāng)時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗油（升．
答：當(dāng)汽車以40千米小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．
當(dāng)速度為千米小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為升，
依題意得，．
令，得．
當(dāng)時，，是減函數(shù)；
當(dāng)時，，是增函數(shù)．
當(dāng)時，取到極小值．
因為在，上只有一個極值，
所以它是最小值．
答：當(dāng)汽車以80千米小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．
【點評】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力．
20．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點，解答以下問題：
（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，且．
【分析】（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)值、函數(shù)值，利用點斜式求出切線；
（2）研究導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性、端點處函數(shù)值符號，極值的符號解決（Ⅰ），對于（Ⅱ），需研究函數(shù)的單調(diào)性、極值求解．
【解答】解：（1），故，，
故切線方程：即，
（2），當(dāng)時，，，
（Ⅰ）①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，沒有極值點，不合題意，舍去；
②當(dāng)時，顯然在上遞增，又因為，，
所以在上有唯一零點，所以，；，，
所以在上有唯一極值點，符合題意，
綜上，的取值范圍是；
（Ⅱ）由知，所以時，，
所以，，單調(diào)遞減；，，，單調(diào)遞增，
所以時，，則，
又因為，所以在，上有唯一零點，即在上有唯一零點，
因為，由（1）知，所以，
則，
構(gòu)造，，
所以，
記，則，
顯然在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，
由前面討論可知：，，且在，單調(diào)遞增，所以．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值情況，進(jìn)而解決函數(shù)零點的存在性問題，不等式的證明問題，屬于難題．
四．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共3小題）
21．（2022?楊浦區(qū)校級開學(xué)）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是，．
【分析】先研究函數(shù)在，上的單調(diào)性，極值情況，然后利用端點處函數(shù)值的符號，極值的符號求解．
【解答】解：，，
，，
所以是減函數(shù)，且（1），
所以是的極大值點，則要使原函數(shù)有兩個不同零點，
只需，解得．
故答案為：，．
【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與函數(shù)零點之間的關(guān)系和應(yīng)用，屬于中檔題．
22．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）已知函數(shù)，對于任意，恒成立，則整數(shù)的最大值為 0 ．
【分析】先求出導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)為0，找出它的極小值點即可．
【解答】解：易知定義域為，，
，
顯然，令，，
故在上單調(diào)遞增，又（1），，
所以存在使得，即①，兩邊取自然對數(shù)得，即②，
當(dāng)時，，，時，，
故是極小值點，也是最小值點，故
將①②兩式代入上式得，因為，
故，所以要使原式恒成立，只需，
此時整數(shù)的最大值為0．
故答案為：0．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，進(jìn)而解決不等式恒成立問題，屬于中檔題．
23．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期末）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)），對任意的，存在，，有，則的取值范圍為．
【分析】由題意，將問題轉(zhuǎn)化成，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，利用對稱軸與區(qū)間的關(guān)系討論的單調(diào)性求其最值，構(gòu)造關(guān)于的不等式再進(jìn)行求解即可．
【解答】解：已知，函數(shù)定義域為，
可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
易知函數(shù)是開口向下的二次函數(shù)，對稱軸，
當(dāng)，即時，在，上單調(diào)遞減，
此時（1），
因為對任意的，存在，，有，
所以，
則，
解得，
所以；
當(dāng)，即時，
易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
此時，
解得；
當(dāng)，即時，
易得函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
所以，
此時，
解得，
綜上，滿足條件的的取值范圍為．
故答案為：．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理、分類討論和運(yùn)算能力．
五．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程（共17小題）
24．（2022春?長寧區(qū)校級期末）曲線在處的切線經(jīng)過點，，且，則
A．B．C．D．
【分析】由題意先利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，結(jié)合已知找到與間的關(guān)系，可知是等比數(shù)列，最后利用求和公式求解．
【解答】解：由已知得，
故切線方程為，
因切線經(jīng)過點，，故，
若，則，與矛盾，故，
則原式可化為：，即數(shù)列是以1為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以．
故選：．
【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．
25．（2024?重慶模擬）已知是奇函數(shù)，則在點，處的切線方程為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱、奇函數(shù)則恒成立，求出，的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程．
【解答】解：顯然，根據(jù)奇函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，
，，
所以切線方程為．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線方程的求法，屬于中檔題．
26．（2023秋?香坊區(qū)期末）下列函數(shù)的圖象不可能與直線，相切的是
A．B．
C．D．
【分析】題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解，則直線就可以為該函數(shù)圖象的切線，則逐項檢驗即可得結(jié)論．
【解答】解：若導(dǎo)函數(shù)有解，則直線就可以為該函數(shù)圖象的切線，
對于選項，令，解得，滿足條件；
對于選項，因為在上單調(diào)遞增，且，（2），所以方程有解，滿足條件；
對于選項，令，解得，滿足條件；
對于選項，，不滿足條件．
故選：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線方程的求法，屬于中檔題．
27．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）過點作曲線的切線，則切線方程是．
【分析】先設(shè)出切點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，寫出切線方程的點斜式，再將點坐標(biāo)代入，解出切點，即可解決問題．
【解答】解：設(shè)切點為，由得斜率為，
故切線方程為，
將代入上式得，解得，
故切線為：．
故答案為：．
【點評】本題考查切線方程的求法，方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
28．（2022秋?閔行區(qū)期末）若曲線和直線的某一條平行線相切，則切點的橫坐標(biāo)是 1 ．
【分析】根據(jù)切點處的導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率，列出切點坐標(biāo)滿足的方程求解．
【解答】解：由已知得切線斜率為，
令，解得．
故答案為：1．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．
29．（2023?普陀區(qū)校級開學(xué)）若曲線上點處的切線平行于直線，則點的坐標(biāo)為．
【分析】先設(shè)，對函數(shù)求導(dǎo)，由在點處的切線與直線平行，求出，最后求出．
【解答】解：設(shè)，則，
，在點處的切線與直線平行，
令，解得，
，故．
故答案為：．
【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即點處的切線的斜率是該點出的導(dǎo)數(shù)值，以及切點在曲線上和切線上的應(yīng)用．
30．（2022春?靜安區(qū)校級期末）曲線在點處的切線方程為．
【分析】先求出切點處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點斜式寫出切線的方程．
【解答】解：由已知得，
故，
故切線方程為，
即．
故答案為：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．
31．（2023?徐匯區(qū)校級三模）設(shè)是曲線上任意一點，則曲線在點處的切線的傾斜角的取值范圍是，，．
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)的值域，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性求解．
【解答】解：由已知得，
由，得，，．
故答案為：，，．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、正切函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
32．（2023春?長寧區(qū)校級期末）若直線與曲線、曲線都相切，則直線的方程為或．
【分析】設(shè)直線與曲線相切于點，直線與曲線的切點為，由此寫出直線的方程，利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程組求出和的值，即可求出直線的方程．
【解答】解：設(shè)直線與曲線相切于點，
由，得，則直線的方程為，即，
設(shè)直線與曲線的切點為，
由，得，則直線的方程為，即，
所以，
解得或，
所直線的方程為或．
故答案為：或．
【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用問題，也考查了方程思想以及運(yùn)算求解能力，是中檔題．
33．（2023?寶山區(qū)校級開學(xué)）直線是曲線的切線，則的最小值為 2 ．
【分析】先設(shè)出切點，然后利用導(dǎo)數(shù)分別表示出切線的斜率、縱截距，最后結(jié)合基本不等式求出的最小值．
【解答】解：設(shè)直線與曲線相切于點，
由得，所以切線方程為，即，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以．
故答案為：2．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法，以及利用基本不等式求最值．屬于中檔題．
34．（2022春?寶山區(qū)校級月考）曲線在點處的切線方程為．
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，取得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，直接代入直線方程的點斜式得答案．
【解答】解：由，得．
．
曲線在點處的切線方程為．
即．
故答案為：．
【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，關(guān)鍵是區(qū)分給出的點是不是切點，是中檔題也是易錯題．
35．（2023秋?金寨縣校級期末）已知點在函數(shù)上，若滿足到直線的距離為的點有且僅有兩個，則實數(shù)的取值范圍是．
【分析】求得，設(shè)切點，，令，求得切點，求得點到直線的距離為時，，求得，的值，結(jié)合圖象，即可求解．
【解答】解：由函數(shù)，可得，
設(shè)切點，，令，即，解得，即切點，
所以點到直線的距離為時，，解得或，
當(dāng)時，函數(shù)圖象與直線不相交（如圖所示），
從而函數(shù)的圖象上只有一點到直線的距離為；
當(dāng)時，函數(shù)圖象與直線相交（如圖所示），
從而函數(shù)的圖象上有且僅有三個點到直線的距離為，
綜上，要滿足點到直線的距離為的點有且僅有兩個時，滿足，
即實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
【點評】本題考查點到直線的距離公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的方法，屬于中檔題．
36．（2024?常德模擬）已知曲線在處的切線與圓相交于、兩點，則．
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，然后利用弦長公式求弦長．
【解答】解：由題意（1），切點為，
，（1），
切線方程為：，
代入整理后得，
顯然△，
設(shè)，，，，則，，
所以．
故答案為：．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線的方法，直線與圓相交時的弦長公式，屬于中檔題．
37．（2024?羅湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)若函數(shù)的圖象在點，和點，處的兩條切線相互平行且分別交軸于，兩點，則的取值范圍為，．
【分析】設(shè)切線的傾斜角為，則，，再結(jié)合切線相互平行，則導(dǎo)數(shù)相等，得到，之間的關(guān)系，將化成關(guān)于的函數(shù)，再研究函數(shù)的值域即可．
【解答】解：不妨設(shè)兩條切線的傾斜角為，顯然為銳角，
則，，所以，
由，，
所以，即，
所以，
令，，，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且時，；時，，（1），
所以，即的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值的方法，屬于中檔題．
38．（2023秋?越秀區(qū)期末）曲線與曲線的公切線方程是．
【分析】分別利用導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點求出各自的切線方程，令斜率、截距相等求出切點坐標(biāo)，則方程可求．
【解答】解：設(shè)的切點為，，
因為，所以，
切線方程為，
①
再設(shè)曲線的切點為，，
切線為，即②，
所以，解得，
所以切線為，即．
故答案為：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線方程的求法，屬于中檔題．
39．（2023?浦東新區(qū)二模）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點，曲線是函數(shù)的圖像．若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點”．
（1）判斷點與點是否為函數(shù)的1度點，不需要說明理由；
（2）已知，．證明：點是的0度點；
（3）求函數(shù)的全體2度點構(gòu)成的集合．
【分析】（1）是的1度點，不是的1度點；
（2）求導(dǎo)得，設(shè)，可得出曲線在點處的切線方程為，該切線過點時，，然后設(shè)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增，從而得出方程無解，這樣即可得出要證明的結(jié)論；
（3）求導(dǎo)得出，設(shè)，可得出曲線在處的切線方程為，設(shè)點為函數(shù)的2度點，從而得出關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，設(shè)，則有兩個不同的零點，討論時，可得出不合要求；時，，根據(jù)可求出的極大值和極小值，并可得出，，然后討論極大值和極小值和0的關(guān)系即可得出函數(shù)的2度點構(gòu)成的集合．
【解答】解：（1）由題意，設(shè)，則曲線在點處的切線方程為，
該切線過原點時，，解得，故原點是函數(shù)的一個1度點；
又因為該切線過點，所以，
設(shè)，則，令，得，
所以時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，且（1），
所以無解，點不是函數(shù)的1度點；
（2）證明：設(shè)，，則曲線在點處的切線方程為，
則該切線過點，當(dāng)且僅當(dāng)，
設(shè)，，時，，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，恒不成立，即點是的一個0度點；
（3），
對任意，曲線在點處的切線方程為，
故點為函數(shù)的一個2度點當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，
設(shè)，則點為函數(shù)的一個2度點，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個不同的零點，
若，則在上嚴(yán)格增，只有一個零點，不合要求；
若，，令得或，
由或時，，得嚴(yán)格增；當(dāng)時，，得嚴(yán)格減，
故在時取得極大值，在時取得極小值（a），
又，，
當(dāng)（a）時，由零點存在定理，在，，上各有一個零點，不合要求；
當(dāng)（a）時，僅上有一個零點，不合要求；
當(dāng)（a）時，僅上有一個零點，也不合要求；
故有兩個不同零點當(dāng)且僅當(dāng)或（a），
若，同理可得有兩個不同零點當(dāng)且僅當(dāng)或（a），
綜上，函數(shù)的全體2度點構(gòu)成的集合為或，．
【點評】本題考查了基本初等函數(shù)和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極大值和極小值的方法，函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法，考查了計算能力，屬于難題．
40．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）設(shè)，函數(shù)．
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若有零點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若有兩個相異零點，，求證：．
【分析】（1）求出當(dāng) 時的導(dǎo)數(shù)，再求切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）對討論，分，，，可通過解方程和零點存在定理以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值，令極大值不小于0，即可得到；
（3）原不等式，
令，則，于是．設(shè)函數(shù)．求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，由單調(diào)性即可得證．
【解答】解：在區(qū)間上，．
（1）當(dāng) 時，．
曲線在處的切線斜率為，
則切線方程為，即；
（2）①若，有唯一零點．
②若，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，
（1），，
（1），函數(shù)在區(qū)間有唯一零點．
③若，令得：．
在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；
在區(qū)間，上，，函數(shù)是減函數(shù)；
故在區(qū)間上，的極大值為．
由即，解得：．
故所求實數(shù)的取值范圍是．
（3）證明：設(shè)，，，
，，
原不等式，
，
令，則，于是．
設(shè)函數(shù)．
求導(dǎo)得：，
故函數(shù)是上的增函數(shù)，
（1），即不等式成立，
故所證不等式成立．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間和極值，考查函數(shù)的零點問題，注意運(yùn)用零點存在定理，考查不等式的證明，注意構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性加以證明，屬于中檔題．
0
0
遞增
2
遞減
遞增
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
，
1
0
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多