【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年（滬教版2020選修）高二數(shù)學(xué)下冊專題2-2橢圓-考點歸納講練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．橢圓的定義
1．橢圓的第一定義
平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動點P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離|F1F2|叫做焦距．
2．橢圓的第二定義
平面內(nèi)到一個定點的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e＝（0＜e＜1，其中a是半長軸，c是半焦距）的點的軌跡叫做橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫橢圓的離心率．
3．注意要點
橢圓第一定義中，橢圓動點P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．
（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時，動點P的軌跡是橢圓；
（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時，動點P的軌跡是線段F1F2；
（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時，動點P沒有運動軌跡．
【命題方向】
利用定義判斷動點運動軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時，其軌跡才為橢圓．
二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：
（1）（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標(biāo)不同．
三．橢圓的性質(zhì)
1．橢圓的范圍
2．橢圓的對稱性
3．橢圓的頂點
頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．
頂點坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．
4．橢圓的離心率
①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：
e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．
5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．
一．橢圓的定義（共3小題）
1．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）已知橢圓上的點到一個焦點的距離為3，則到另一個焦點的距離為 7 ．
【分析】橢圓的長軸長為10，根據(jù)橢圓的定義，利用橢圓上的點到一個焦點的距離為3，即可得到到另一個焦點的距離．
【解答】解：橢圓的長軸長為10
根據(jù)橢圓的定義，橢圓上的點到一個焦點的距離為3
到另一個焦點的距離為
故答案為：7
【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2023春?楊浦區(qū)校級月考）若方程的系數(shù)、、可以從，0，1，2，3，4這6個數(shù)中任取3個不同的數(shù)而得到，則這樣的方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是 0.1 ．（結(jié)果用數(shù)值表示）
【分析】由題意知，，，所有的選法，滿足條件的選法；由古典概型的公式計算可得答案．
【解答】解：方程表示橢圓，
，，
、、從 1，2，3，4 中任意選取3個，
所有的選法，
滿足條件的選法，
方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是；
故答案為0.1．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)、等可能時間的概率．
3．（2023春?普陀區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則．
【分析】先利用橢圓的定義求得，進而由正弦定理把原式轉(zhuǎn)換成邊的問題，進而求得答案．
【解答】解：利用橢圓定義得，，
由正弦定理得．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了橢圓的定義和正弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對橢圓的定義的靈活運用．
二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共5小題）
4．（2023春?黃浦區(qū)校級期中）橢圓的長軸長為 8 ．
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出的值，再求橢圓的長軸長．
【解答】解：因為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以，所以，
所以橢圓的長軸長為．
故答案為：8．
【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
5．（2023春?金山區(qū)校級期末）已知，表示橢圓，則是的必要不充分條件．
【分析】先求出方程表示橢圓的的范圍，然后結(jié)合集合包含關(guān)系與充分必要條件的關(guān)系即可求解．
【解答】解：若表示橢圓，
則，解得且，
因為，
則是的必要不充分條件．
故答案為：必要不充分條件．
【點評】本題以充分不必要條件的判斷為載體，主要考查了橢圓方程的條件，屬于基礎(chǔ)題．
6．（2023春?崇明區(qū)期末）設(shè)是橢圓的長軸，點在上，且，若，，則的兩個焦點之間的距離為．
【分析】由題意畫出圖形，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由條件結(jié)合等腰直角三角形的邊角關(guān)系解出的坐標(biāo)，再根據(jù)點在橢圓上求得值，最后利用橢圓的幾何性質(zhì)計算可得答案．
【解答】解：如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意知，，．
，，點的坐標(biāo)為，
因點在橢圓上，，
，
，，
則的兩個焦點之間的距離為．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的定義、解三角形，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．
7．（2023?浦東新區(qū)三模）已知，曲線．
（1）若曲線為圓，且與直線交于，兩點，求的值；
（2）若曲線為橢圓，且離心率，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）設(shè)，若曲線與軸交于，兩點（點位于點的上方），直線與交于不同的兩點，，直線與直線交于點，求證：當(dāng)時，，，三點共線．
【分析】（1）求得圓心到直線的距離，可求弦長；
（2）由已知可得，分焦點在軸與軸上兩種情況求解即可；
（3）設(shè)，，，．由離心率可求，可得橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，，進而可得，因而，，三點共線．
【解答】解：（1）若曲線為圓，則，
圓方程為：，此時圓心到直線的距離，
此時；
（2）曲線的方程曲線，
可得，
當(dāng)焦點在軸上時，，
由離心率，可得，
此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
當(dāng)焦點在軸上時，，
由離心率，可得，
此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（3）當(dāng)時，方程為，，，設(shè)，，，．
直線的方程為：，
令，，，
聯(lián)立，消去得，
，，
因為，，
，
分子
，
即，因而，，三點共線．
【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬難題．
8．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若、分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點．證明：為定值．
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由題意知，，，由此可知橢圓方程為．
（2）設(shè)，，，，直線，代入橢圓方程，得，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出為定值．
（3）設(shè)存在滿足條件，則．，再由，由此可知存在滿足條件．
【解答】解：（1），，，；
橢圓方程為（4分）
（2），，設(shè)，，，
直線，代入橢圓方程，
得（6分）
，，，（8分）
（定值）（10分）
（3）設(shè)存在滿足條件，則，
若以為直徑的圓恒過，的交點，則（11分）
（12分）
則由，從而得
存在滿足條件（14分）
【點評】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答．
三．橢圓的性質(zhì)（共32小題）
9．（2023春?靜安區(qū)校級期中）橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則實數(shù)
A．B．C．D．
【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點坐標(biāo)，求解即可．
【解答】解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，一個焦點坐標(biāo)為，
可得，解得，
故選：．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查，基礎(chǔ)題．
10．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）已知橢圓的右焦點為，左頂點為，若上的點滿足軸，，則的離心率為
A．B．C．D．
【分析】由軸，且，利用橢圓的性質(zhì)，結(jié)合三角形的邊長關(guān)系，即可得出離心率．
【解答】解：軸，且，，，可得，
可得，
，即，，，
．
故選：．
【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．
11．（2023春?黃浦區(qū)期末）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為 9 ．
【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：，是橢圓的兩個焦點，點在上，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
所以的最大值為9．
故答案為：9．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
12．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）點是橢圓上一點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則的大小．
【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理，已知條件，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：橢圓，
可得，設(shè)，，
可得，
化簡可得：
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
13．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且太陽中心處在橢圓的一個焦點上．記地球繞太陽運動的軌道為橢圓，在地球繞太陽運動的過程中，若地球軌道與太陽中心的最遠距離與最近距離之比為2，則的離心率為．
【分析】設(shè)橢圓的焦距為，實軸長為，進而得到和的關(guān)系式，再利用離心率的求解公式計算即可．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的焦距為，實軸長為，
所以地球軌道與太陽中心的最遠距離為，最近距離為，
因為地球軌道與太陽中心的最遠距離與最近距離之比為2，
則，解得，
所以，
則的離心率為．
故答案為：．
【點評】本題考查了橢圓幾何性質(zhì)的理解與應(yīng)用，橢圓離心率公式的運用，橢圓中的最值問題，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2023春?普陀區(qū)校級期末）已知橢圓的右焦點為，直線經(jīng)過橢圓右焦點，交橢圓于、兩點（點在第二象限），若點關(guān)于軸對稱點為，且滿足，求直線的方程是．
【分析】求出橢圓的右焦點坐標(biāo)，利用已知條件求出直線的斜率，然后求解直線方程．
【解答】解：橢圓的右焦點為，
直線經(jīng)過橢圓右焦點，交橢圓于、兩點（點在第二象限），
若點關(guān)于軸對稱點為，且滿足，
可知直線的斜率為，所以直線的方程是：，
即．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與直線的對稱關(guān)系的應(yīng)用，直線方程的求法，是基本知識的考查．
15．（2023春?黃浦區(qū)校級期中）已知橢圓的長軸在軸上，若焦距為4，則 8 ．
【分析】根據(jù)條件可得，，，由焦距為4，即．即可得到的值．
【解答】解：由橢圓的長軸在軸上，
則，，．
由焦距為4，即，即有．
即有，解得．
故答案為：8
【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓中的參數(shù)，，的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
16．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）橢圓的離心率為．
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，的值，求出的值，利用離心率公式可得結(jié)論．
【解答】解：由題意，，，
，
故答案為：
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
17．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，則該橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)橢圓中蒙日圓的半徑公式，即可求得和的值，求得橢圓的離心率．
【解答】解：由題意可知，蒙日圓的半徑為，
所以，
所以，
橢圓的離心率，
故選：．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，橢圓中蒙日圓的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
18．（2023春?黃浦區(qū)校級期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點和點反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【分析】由題意可知，，三點共線，，，三點共線，再由，且，可得，設(shè)，，可得，由橢圓的定義可知與的關(guān)系，在△中，由勾股定理可得，的關(guān)系，進而求出橢圓的離心率．
【解答】解：連接，，由題意可知，，三點共線，，，三點共線，
在中，因為，且，可得，，
，
設(shè)，，可得，
由橢圓的定義可知，，
又因為，即，解得，
所以，，
在△中，，即，
可得，
故選：．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及光學(xué)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
19．（2023春?楊浦區(qū)校級月考）已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，△為等腰三角形，，則橢圓的離心率為．
【分析】求得直線的方程，根據(jù)題意求得點坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．
【解答】解：如圖所示，
由題意知：，，，
直線的方程為：，
由，，則，
代入直線，整理得：，
所求的橢圓離心率為．
故答案為：．
【點評】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)與直線方程的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
20．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與橢圓在第一象限交點為，若△為等腰三角形，則直線的斜率為
A．B．C．D．
【分析】由條件得到，利用余弦定理得到，進而可求得，
【解答】解：根據(jù)題意可得，又因為，即，
則，
根據(jù)橢圓定義可得，
在△中，，所以，
則，即直線的斜率為，
故選：．
【點評】本題考查橢圓離心率的應(yīng)用，考查余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
21．（2023春?靜安區(qū)校級期中）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，且與圓在第二象限的交點為，，則橢圓離心率的取值范圍為．
【分析】根據(jù)已知條件及直角所對的圓周角等于，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)即可求出離心率的取值范圍．
【解答】解：由以線段為直徑的圓與橢圓在第二象限相交于點，
所以半徑，即，且，
所以，
由于，令，則，則，，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞減，
故，即，滿足，符合題意，
所以橢圓離心率的取值范圍為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
22．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為．
【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸為，，半焦距為，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設(shè)，，，
橢圓和雙曲線的離心率分別為，
，則由余弦定理可得，①
在橢圓中，①化簡為②，
在雙曲線中，①化簡為③，
，
由柯西不等式得
故答案為：
【點評】本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵．屬于難題．
23．（2023春?長寧區(qū)校級期中）已知為橢圓上一點，，是橢圓的兩個焦點，，則△的面積．
666666666666666
【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：，設(shè)，，根據(jù)橢圓的定義可得：，再根據(jù)余弦定理可得：，再聯(lián)立兩個方程求出，進而結(jié)合三角形的面積公式求出三角形的面積．
【解答】解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：，，
，
設(shè)，，
所以根據(jù)橢圓的定義可得：①，
在△中，，
所以根據(jù)余弦定理可得：，
整理可得：，②
把①兩邊平方得，③
所以③②得，
．
故答案為：．
【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)與橢圓的定義，此題考查解三角形的有關(guān)知識點，以及考查學(xué)生的基本運算能力與運算技巧，此題屬于中檔題．
24．（2023春?嘉定區(qū)期末）已知圓錐曲線的方程：．當(dāng)、為正整數(shù)，且時，存在兩條曲線、，其交點與點滿足，則滿足題意的有序?qū)崝?shù)對共有 3 對．
【分析】本題主要考查圓錐曲線的定義，易得到，，是橢圓，，，，是雙曲線，從而根據(jù)題意可得，2，，，6，7，，再結(jié)合橢圓與雙曲線的定義與即可得，從而得到答案．
【解答】解：由題意得，，是橢圓，，，，是雙曲線，
結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)可知本題中的任意兩橢圓與兩雙曲線均無公共點，
從而時，存在兩條曲線、有交點，
必然有，2，，，6，7，，
設(shè)，，則由橢圓與雙曲線的定義可得，
，，
且，，故，
即，
所以存在兩條曲線、，且，，．
故答案為：3．
【點評】本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是中檔題．
25．（2023春?嘉定區(qū)校級月考）已知橢圓的左右頂點為，，點為直線上一點，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為．
【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，求解的中點坐標(biāo)，然后求解外接圓的圓心縱坐標(biāo)，利用基本不等式求解最小值，推出，關(guān)系，得到橢圓的離心率即可．
【解答】解：設(shè)，，不妨，由題意，，設(shè)的中點為，外接圓的圓心為，
可得，，則，所以，
直線的方程為：，令，可得，
當(dāng)取得最小值時，的外接圓的面積的最小，面積的最小值為，此時設(shè)圓的半徑為：，
，可得，，
圓的圓心在的中垂線即軸上，，所以圓的圓心的縱坐標(biāo)的值為，
可知，化簡可得：，
可得，
即，
所以．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．
26．（2023春?靜安區(qū)校級期中）已知為橢圓上一動點，記原點為，若，則點的軌跡方程為．
【分析】先設(shè)點，再由應(yīng)用相關(guān)點法求軌跡方程即可．
【解答】解：設(shè)點，由得點，而點為橢圓上的任意一點，
所以，整理得，
所以點的軌跡方程是．
故答案為：．
【點評】本題考查軌跡方程的求解，相關(guān)點法的應(yīng)用，屬中檔題．
27．（2023春?普陀區(qū)校級月考）已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于、兩點，則的最小值為 1 ．
【分析】利用橢圓的定義設(shè)，，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其范圍即可．
【解答】解：取橢圓左焦點，連接，，，，易知四邊形為平行四邊形，即有，
設(shè)，，則，故，
令，則，
易知函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
的最小值為（2），
即的最小值為1．
故答案為：1．
【點評】本題考查橢圓的定義及導(dǎo)數(shù)的運用，考查轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)思想，屬于中檔題．
28．（2023春?黃浦區(qū)校級期末）設(shè)橢圓的右焦點為，點在橢圓外，、在橢圓上，且是線段的中點．若直線，的斜率之積為，則橢圓的離心率為．
【分析】利用中點弦問題，結(jié)合點差法可得，即可求離心率．
【解答】解：取，的中點為，連接，，
則由題意可得，，，
所以，所以，
因為直線，的斜率之積為，
所以，
設(shè)，，，，
則有，
兩式相減可得，
即，即，
即，
所以橢圓的離心率為．
故答案為：．
【點評】本題考查了橢圓的離心率問題，屬于中檔題．
29．（2023春?虹口區(qū)期末）已知△是等邊三角形，、分別是邊和的中點．若橢圓以、為焦點，且經(jīng)過、，則橢圓的離心率等于．
【分析】由已知結(jié)合橢圓定義及橢圓方程可得關(guān)于，的關(guān)系，進而可求．
【解答】解：連接，
因為△是等邊三角形，
所以，，
所以，，，
由勾股定理得，
整理得，
故，
因為，
所以．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
30．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）設(shè)橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于，兩點，現(xiàn)給出下述結(jié)論：
①為定值；
②的周長的取值范圍是，
③當(dāng)時，為直角三角形；
④當(dāng)時，的面積為．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①③④ ．
【分析】利用橢圓的性質(zhì)以及定義，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形的面積公式，逐一分析四個選項得答案．
【解答】解：對于：設(shè)橢圓的左焦點為，則，可得為定值6，故①正確；
對于的周長為，為定值6，可知的范圍是，
的周長的范圍是，故②錯誤；
將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，，，，又知，，
則，所以，故③正確；
將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，，，，故④正確．
故答案為：①③④．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，橢圓與直線的位置關(guān)系．考查分析問題解決問題的能力，是中檔題
31．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知點、分別是橢圓上兩動點，且直線、的斜率的乘積為，若橢圓上任一點滿足，則的值為 1 ．
【分析】設(shè)，，，，，可得，，代入計算可得結(jié)論．
【解答】解：設(shè)，，，，，
則由，得，，，，
即，，
在橢圓上，，
，
，在橢圓上，，，
由直線、的斜率的乘積為，可得，
，
，．
故答案為：1．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬中檔題．
32．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過作直線交橢圓于，兩點，則的周長為 8 ．
【分析】由題意畫出圖形，由橢圓方程求出，結(jié)合橢圓定義求得的周長．
【解答】解：如圖，
由橢圓，得，，
的周長為．
故答案為：8．
【點評】本題考查投于的簡單性質(zhì)，考查了橢圓的定義，是中檔題．
33．（2023春?黃浦區(qū)校級月考）已知點、、為橢圓上的三點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，稱為“穩(wěn)定三角形”，則這樣的“穩(wěn)定三角形”
A．不存在B．存在有限個
C．有無數(shù)個但面積不為定值D．有無數(shù)個且面積為定值
【分析】設(shè)，，，，，為橢圓上的三點，根據(jù)題意化簡整理即可得到，進而再結(jié)合平面向量夾角的坐標(biāo)公式求出夾角的余弦值，再表示出的面積，同時證明其為定值，結(jié)合重心的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)，，，，，為橢圓上的三點，
因為，
所以，則，
又，
所以，即，
則，
又，
所以，
整理可得，，
將看成關(guān)于的方程，即，
所以，
因為，
所以△，
故存在有無數(shù)組，使得成立，
由重心的性質(zhì)可知，，，面積相等，
故只需先求的面積即可；
因為，
則，
故，
所以，
則
，
所以，
因此，
則的面積為定值．
綜上所述，這樣的“穩(wěn)定三角形”有無數(shù)個且面積為定值．
故選：．
【點評】本題考查了與橢圓有關(guān)的新定義問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進行解答即可，屬于中檔題．
34．（2023春?嘉定區(qū)校級期中）已知橢圓的左右焦點分別為，，橢圓存在點滿足，則橢圓的離心率取值范圍為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點在短軸頂點（不妨設(shè)上頂點時最大，要使橢圓上存在點，滿足，則，即，即可．
【解答】解：如圖根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點在短軸頂點（不妨設(shè)上頂點時最大，
要橢圓上存在點，滿足，
，，，
故橢圓離心率的取值范圍是，．
故選：．
【點評】本題考查了橢圓的離心率，借助平面幾何知識是關(guān)鍵，屬中檔題．
35．（2022秋?嘉定區(qū)期末）如圖所示，由半橢圓和兩個半圓、組成曲線，其中點、依次為的左、右頂點，點為的下頂點，點、依次為的左、右焦點．若點、分別為曲線、的圓心．
（1）求的方程；
（2）若點、分別在、上運動，求的最大值，并求出此時點、的坐標(biāo)；
（3）若點在曲線上運動，點，求的取值范圍．
【分析】（1）由圓心的橫坐標(biāo)確定的值，再用可得方程；
（2）將，運用幾何法放縮到過兩個半圓的圓心時最大，再根據(jù)特殊三角形的角度計算出點、的坐標(biāo)；
（3）需要分情況討論，在圓上和在橢圓上分開計算，計算圓錐曲線上一點到某定點的最值問題可以用參數(shù)方程計算．
【解答】解：（1）依題意，、，所以，
于是的方程為；
（2）由對稱性，不妨設(shè)，，，
當(dāng)、、三點共線，同時、、三點共線，，
此時，，；
（3）曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)點在曲線或曲線的右半部分上運動，
①當(dāng)點在曲線上運動，
設(shè)，，
，；
②當(dāng)點在曲線上運動，
設(shè)，，
，
綜合①②，．
【點評】本題考查了圓錐曲線的綜合運用，屬于中檔題．
36．（2024春?浦東新區(qū)校級月考）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為．過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，，則△ADE的周長是 4 ．
【分析】根據(jù)題意易得△AF1F2為等邊三角形，從而可得直線DE的斜率為，設(shè)直線DE方程為y＝（x+c），聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)弦長公式建立方程求出a，從而可得△ADE的周長為：|DE|+|AD|+|AE|＝|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a，即可得解．
【解答】解：∵，∴a＝2c，＝c，
∴橢圓方程可化為，
∵C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，
且a＝2c，b＝c．
∴△AF1F2為等邊三角形，
∴DE直線垂直平分弦AF2，
∴|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且直線DE的傾斜角為30°，
∴直線DE的斜率為，
設(shè)直線DE方程為y＝（x+c），D（x1，y1），E（x2，y2），
聯(lián)立，可得12x2+8cx﹣32c2＝0，
∴，，
∴|DE|＝＝＝＝，
∴c＝，∴a＝1，
∴△ADE的周長為：|DE|+|AD|+|AE|＝|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝4．
故答案為：4．
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
37．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）已知橢圓的離心率，焦距是．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于、兩點，，求的值．
【分析】（1）由題意知，，從而求橢圓的方程即可．
（2）設(shè)出交點坐標(biāo)，聯(lián)立方程化簡得，從而結(jié)合韋達定理及兩點間的距離公式求解即可．
【解答】解：（1）由題意知，
故，
又，
，，
橢圓方程為．
（2）設(shè)，，，，
將代入，
化簡整理可得，，
故△，
故；
由韋達定理得，
，
故，
而，
故；
而代入上式，
整理得，
即，
解得，故．
【點評】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用及學(xué)生的化簡運算能力．
38．（2023春?上海期中）我國計劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運行軌道是以火星（其半徑百公里）的中心為一個焦點的橢圓．如圖，已知探測器的近火星點（軌道上離火星表面最近的點）到火星表面的距離為8百公里，遠火星點（軌道上離火星表面最遠的點）到火星表面的距離為800百公里．假定探測器由近火星點第一次逆時針運行到與軌道中心的距離為百公里時進行變軌，其中、分別為橢圓的長半軸、短半軸的長，求此時探測器與火星表面的距離（精確到1百公里）．
【分析】利用待定系數(shù)法，先求出軌道方程，再利用探測器由近火星點第一次逆時針運行到與軌道中心的距離為百公里時進行變軌，可求探測器位置的坐標(biāo)，從而可求探測器在變軌時與火星表面的距離．
【解答】解：設(shè)所求軌道方程為，．
，，
，．（4分）
于是．
所求軌道方程為．（8分）
設(shè)變軌時，探測器位于，，則，
又，
解得，．（11分）
探測器在變軌時與火星表面的距離為．（14分）
答：探測器在變軌時與火星表面的距離約為187百公里．（16分）
【點評】本題以實際問題為載體，考查橢圓方程的運用，解題的關(guān)鍵是求出橢圓方程，利用探測器由近火星點第一次逆時針運行到與軌道中心的距離為百公里時進行變軌，求出探測器位置的坐標(biāo)
39．（2023?奉賢區(qū)二模）已知橢圓，，．橢圓內(nèi)部的一點，過點作直線交橢圓于，作直線交橢圓于．、是不同的兩點．
（1）若橢圓的離心率是，求的值；
（2）設(shè)的面積是，的面積是，若，時，求的值；
（3）若點，，，滿足且，則稱點在點的左上方．求證：當(dāng)時，點在點的左上方．
【分析】（1）分，兩種情況結(jié)合離心率計算式可得答案；
（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得結(jié)合圖形可得，后結(jié)合，及弦長公式可得，即可得答案；
（3）聯(lián)立直線與橢圓方程可得，，后結(jié)合在橢圓內(nèi)部可得，大小，又由題意可得，大小，即可證明結(jié)論．
【解答】解：（1）因為橢圓的離心率是，
當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，，得；
所以的值為1或4；
（2）由題意，直線的斜率存在，直線的斜率存在，，直線的方程，設(shè)，．
則，直線的方程，設(shè)，，
則，
由圖，，
注意到，則．
又，
同理可得，
則．
（3）證明：由題意，直線的斜率存在，直線的斜率存在，，直線的方程，設(shè)，．
則，
，直線的方程，設(shè)，，
則，
則
，
又在橢圓內(nèi)部，則，故，
又根據(jù)題意知，所以，所以當(dāng)時，點在點的左上方．
【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．
40．（2023春?上海月考）如圖，，是橢圓長軸的兩個端點，，是橢圓上與，均不重合的相異兩點，設(shè)直線，，的斜率分別是，，．
（1）求的值；
（2）若直線過點，求證：；
（3）設(shè)直線與軸的交點為，為常數(shù)且，試探究直線與直線的交點是否落在某條定直線上？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
【分析】（1）設(shè)，，由于，，由點在橢圓上，可得，于是，利用斜率計算公式可得：，即可得出．
（2）設(shè)直線的方程為：，，，，，與橢圓方程聯(lián)立得，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式即可得出．
（3）由于直線與軸的交點為，于是，與橢圓方程聯(lián)立得，直線，直線，兩式相除，可知：，把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡即可得出．
【解答】（1）解：設(shè)，，由于，，
點在橢圓上，，于是，
．
（2）證明：設(shè)直線的方程為：，，，，，
聯(lián)立，
得，
于是，，
．
（3）解：由于直線與軸的交點為，于是，
聯(lián)立直線，可得：得，
于是：，．
直線，
直線，
兩式相除，可知：
．
于是，所以，即直線與直線的交點落在定直線上．
【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
一．填空題（共12小題）
1．（2023春?寶山區(qū)校級期中）橢圓的短軸長為 4 ．
【分析】由橢圓的方程可得，則，進而可得橢圓的短軸長．
【解答】解：因為橢圓，
所以，
所以，
所以橢圓的短軸長為．
故答案為：4．
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
2．（2023?閔行區(qū)校級開學(xué)）已知，，是橢圓上的三個點，為坐標(biāo)原點，點，關(guān)于原點對稱，經(jīng)過右焦點，若且，則該橢圓的離心率是．
【分析】利用對稱性和幾何關(guān)系，建立兩個和的方程，然后解方程即可．
【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點，連接，，．
點，關(guān)于原點對稱，
，
，
設(shè)，，
由對稱性可知：，
且，，①
在△中，，，，聯(lián)立①式，
解得橢圓的離心率．
故答案為：．
【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023春?浦東新區(qū)期中）如圖所示，為完成一項探月工程，某月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在點處變軌進入以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在點處變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則橢圓軌道Ⅱ的離心率為（用、表示）．
【分析】由已知可得，，求解可得與的值，則答案可求．
【解答】解：由橢圓的性質(zhì)知，，，解得，，
橢圓軌道Ⅱ的離心率為．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
4．（2023春?虹口區(qū)校級月考）過點與橢圓有共同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
【分析】根據(jù)已知條件及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點，利用待定系數(shù)法及點在橢圓上即可求解．
【解答】解；由化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，可得，
所以橢圓的焦點坐標(biāo)為，，
由題意可知所求的橢圓的焦點在軸上，且焦點為，，即，
，所以，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023春?上海期中）已知，是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的一點，若，則 4 ．
【分析】由橢圓的方程及定義可求得結(jié)果．
【解答】解：由橢圓的方程，可知，
又是橢圓上的一點，由橢圓的定義知，，
又，則．
故答案為：4．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓的定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
6．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）設(shè)是橢圓上任意一點，為的右焦點，的最小值為，則橢圓的長軸長為．
【分析】利用已知條件推出，即可求解橢圓的長軸長．
【解答】解：是橢圓上任意一點，為的右焦點，的最小值為，
可得，所以，解得，
所以橢圓的長軸長為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023春?黃浦區(qū)校級期中）設(shè)和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則△的面積是．
【分析】由橢圓的方程求得、、，根據(jù)，得到點為短軸頂點，代入三角形面積公式即可求解．
【解答】解：由題意可得，
因為，所以點為短軸頂點，
所以．
故答案為：．
【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2023春?楊浦區(qū)校級月考）點是橢圓上的動點且點不在坐標(biāo)軸上，稱動點構(gòu)成的軌跡為曲線．若圓與曲線無公共點，則實數(shù)的取值范圍為．
【分析】由題意可得曲線的方程，求出要使圓與曲線有公共點時的的范圍，進而求出所求的結(jié)果．
【解答】解：令，，可得，，而在橢圓上，
所以可得曲線的方程為：，
若圓與曲線有公共點，
則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以圓與曲線無公共點的的范圍為．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及曲線方程的求法，均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
9．（2023春?靜安區(qū)校級期中）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，且，延長交于點，若，則橢圓的離心率．
【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義結(jié)合條件表示出，然后在△中由勾股定理可得，的關(guān)系，結(jié)合離心率的公式即可得到結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，則，
因為，且，所以為等腰直角三角形，
故，故，
在△中，，即，
化簡可得，即，且，
所以．
故答案為：．
【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
10．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為．
【分析】設(shè)，則，由兩點距離公式即可得所求取值的函數(shù)，進而討論范圍，即可得出答案．
【解答】解：由題意得，，
設(shè)，則，
則．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
11．（2023春?黃浦區(qū)校級期中）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為．
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，焦點在軸上的橢圓分母的大小關(guān)系，即可得出答案．
【解答】解：方程表示焦點在軸上的橢圓，
則，．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
12．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）、分別為橢圓的左、右焦點，為該橢圓上一點，且，則△的面積等于．
【分析】利用橢圓的定義和余弦定理求得，代入三角形的面積公式即可求解．
【解答】解：因為、分別為橢圓的左、右焦點，為該橢圓上一點，
所以，
則由余弦定理得，
，
則，
即，
所以，
故△的面積．
故答案為：．
【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．
二．選擇題（共4小題）
13．（2023春?長寧區(qū)校級期中）橢圓和
A．長軸長相等B．短軸長相等C．焦距相等D．頂點相同
【分析】求得兩橢圓的長軸長，短軸長，焦距，頂點坐標(biāo)可得結(jié)論．
【解答】解：由橢圓，可得，，，，，
長軸長為，，，頂點坐標(biāo)為，，，
由橢圓，可得，，，，，
長軸長為，，，頂點坐標(biāo)為，，
故選：．
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
14．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知橢圓，直線，則直線與橢圓的位置關(guān)系為
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【分析】由直線系方程求得直線所過定點坐標(biāo)，代入橢圓方程，可知定點在橢圓內(nèi)部，則答案可求．
【解答】解：由直線，得，
聯(lián)立，解得．
直線過定點，代入橢圓，
有，可知點在橢圓內(nèi)部，則直線與橢圓的位置關(guān)系為相交．
故選：．
【點評】本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查橢圓的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
15．（2023春?青浦區(qū)期末）點為橢圓的右頂點，為橢圓上一點（不與重合），若是坐標(biāo)原點），則橢圓的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】設(shè)，由，可得，，．即可求解．
【解答】解：設(shè)，
是坐標(biāo)原點），
，
，，
．
．
，
則的取值范圍是，．
故選：．
【點評】本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題．
16．（2023春?靜安區(qū)期末）如圖，封閉圖形的曲線部分是長軸長為4，短軸的長為2的半個橢圓，設(shè)是該圖形上任意一點，則與線段的長度的最大值最接近的是
A．2.1B．2.2C．2.3D．2.4
【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出橢圓方程，設(shè)點的坐標(biāo)為，，結(jié)合兩點間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：以為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
由題意，，且橢圓焦點在軸上，所以半橢圓方程為，
，，設(shè)點的坐標(biāo)為，，則，
所以，
因為，，所以當(dāng)時，，
所以選項中與線段的長度的最大值最接近的是2.3．
故選：．
【點評】本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是中檔題．
三．解答題（共5小題）
17．（2023秋?閔行區(qū)校級期中）已知橢圓方程右焦點、斜率為的直線交橢圓于、兩點．
（1）求橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積；
（2）當(dāng)直線的斜率為1時，求的面積；
（3）在線段上是否存在點，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【分析】（1）由題意方程求出，的值，代入菱形面積公式得答案；
（2）右焦點，直線的方程為．設(shè)，，，，由題設(shè)條件得，．由此可求出的面積；
（3）假設(shè)在線段上存在點，，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程為．由題意知．由此可知．
【解答】解：（1）由橢圓方程，得
，，則，
橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積；
（2）右焦點，直線的方程為．
設(shè)，，，，
由，得，解得．
；
（3）假設(shè)在線段上存在點，，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形．
直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程為．
由，可得．
，
，，
，，
若以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，
得，，
即，，，
，則，
，得，解得．
．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．
18．（2023?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓經(jīng)過點，離心率為，直線過點與橢圓交于，兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為△的內(nèi)心（三角形三條內(nèi)角平分線的交點），求△與△面積的比值；
（3）設(shè)點，，在直線上的射影依次為點，，．連結(jié)，，試問：當(dāng)直線的傾斜角變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【分析】（1）由題意知．，可得，解得即可得出橢圓的方程．
（2）由點為△的內(nèi)心，可得點為△的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)該圓的半徑為，可得．
（3）若直線的斜率不存在時，四邊形是矩形，此時與交于的中點．下面證明：當(dāng)直線的傾斜角變化時，直線與相交于定點．
設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立化簡得．設(shè)，，，，由題意，得，，則直線的方程為．令，此時，把根與系數(shù)關(guān)系代入可得，因此點在直線上．同理可證，點在直線上．即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意知．因為，所以，解得，
所以橢圓的方程為：．
（2）因為點為△的內(nèi)心，
所以點為△的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)該圓的半徑為，
則．
（3）若直線的斜率不存在時，四邊形是矩形，
此時與交于的中點．
下面證明：當(dāng)直線的傾斜角變化時，直線與相交于定點．
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立化簡得．
因為直線經(jīng)過橢圓內(nèi)的點，所以△．
設(shè)，，，，則，．
由題意，得，，則直線的方程為．
令，此時
，
所以點在直線上．
同理可證，點在直線上．
所以當(dāng)直線的傾斜角變化時，直線與相交于定點．
【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線相交問題、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
19．（2023秋?嘉定區(qū)校級月考）如圖，曲線由兩個橢圓和橢圓組成，當(dāng)，，成等比數(shù)列時，稱曲線為“貓眼曲線”．
（1）若貓眼曲線過點，且，，的公比為，求貓眼曲線的方程；
（2）對于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點為，交橢圓所得弦的中點為，求證：為與無關(guān)的定值；
（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點，，為橢圓上的任意一點（點與點，不重合），求面積的最大值．
【分析】（1）由題意知，，從而求貓眼曲線的方程；
（2）設(shè)交點，，，，從而可得，聯(lián)立方程化簡可得，；從而解得；
（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程化簡，從而可得，同理可得，從而利用兩平行線間距離表示三角形的高，再求；從而求最大面積．
【解答】解：（1）由題意知，，，
，，
，；
（2）證明：設(shè)斜率為的直線交橢圓于點，，，，線段中點，，
，
由得，
存在且，
，且，
，
即；
同理，；
；
（3）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程得，
化簡得，，
由△化簡得，
，
聯(lián)立方程得，
化簡得，
由△得，
，
兩平行線間距離：，
；
的面積最大值為．
【點評】本題考查了學(xué)生的化簡運算的能力及橢圓與直線的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用．
20．（2023秋?黃浦區(qū)校級月考）已知橢圓的左，右焦點分別為，，且，與短軸的一個端點構(gòu)成一個等腰直角三角形，點在橢圓上，過點作互相垂直且與軸不重合的兩直線，分別交橢圓于，，，且，分別是弦，的中點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線過定點，；
（3）求面積的最大值．
【分析】（1）由題意可得：，將點代入橢圓方程，即可求得和的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）方法一：設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式，即可求得和點坐標(biāo)，求得方程，，令，可得，即有，則直線過定點，；方法二：化簡整理求得直線的方程，，即可證明直線過定點，；方法三：分別求得的斜率，將用代換，求得，由，直線過定點，；
（3）方法一：△面積為，由（2）可知和點坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值；
方法二：根據(jù)兩點之間的距離公式及，則面積，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值．
【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過點
且，與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等腰直角三角形，則，，
，解得，，
橢圓方程為；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線的方程為，，
則直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，
設(shè)，，，，則，，
，
由中點坐標(biāo)公式得，，
方法一：將的坐標(biāo)中的用代換，得的中點，，
，
直線的方程為，
即為，
令，可得，即有，
則直線過定點，且為，，
方法二：將的坐標(biāo)中的用代換，得的中點，，
則，整理得：，
直線過定點，
方法三：則，則，
，
直線過定點，
（3）方法一：△面積為，
令，由于的導(dǎo)數(shù)為，且大于0，即有在，遞增．
即有在，遞減，
當(dāng)，即時，取得最大值，為；
則面積的最大值為
方法二：，，
則面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，面積的最大值為．
面積的最大值為．
【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意直線方程、韋達定理和基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性等知識點的合理運用，屬于難題．
21．（2023春?松江區(qū)校級月考）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，且經(jīng)過點
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線與橢圓相切，點，是直線上的兩點，且，，求四邊形的面積；
（3）過橢圓內(nèi)一點作兩條直線分別交橢圓于點，，和，，設(shè)直線與的斜率分別是，，若試問是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由．
【分析】（1）運用離心率公式和橢圓的，，的關(guān)系和點滿足橢圓方程，即可解得，，，進而得到橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，求得，再由點到直線的距離公式和直角梯形的面積公式計算即可得到；
（3）分別設(shè)出直線，的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，得到和，由條件即可得到是否為定值．
【解答】解：（1）由題意可得，，
將點代入橢圓方程得，
解得，，，
即有橢圓方程為；
（2）將直線代入橢圓方程可得，
，
由直線和橢圓相切的條件可得△，
解得，
焦點，，
由對稱性可取直線，
則，，，
，
即有四邊形的面積為
；
（3）設(shè)，，則直線的方程為，
聯(lián)立方程，得．
設(shè)，，，，則，．
．
同理，直線的方程為，
則．
，
．
又為橢圓內(nèi)任意一點，且，
，即，，
．
又直線與不重合，
為定值．
【點評】本題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力．
標(biāo)準(zhǔn)方程
（a＞b＞0）
中心在原點，焦點在x軸上
（a＞b＞0）
中心在原點，焦點在y軸上
圖形

頂點
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
對稱軸
x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b
焦點在長軸長上
x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b
焦點在長軸長上
焦點
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
離心率
e＝（0＜e＜1）
e＝（0＜e＜1）
準(zhǔn)線
x＝±
y＝±

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