一．圓的標準方程
1.基本要素：當圓心的位置與半徑的大小確定后，圓就唯一確定了，因此，確定一個圓的基本要素是圓心和半徑.
2.標準方程：圓心為，半徑為r的圓的標準方程是.
3.圖例：
若點在圓上，則點的坐標適合方程；反之，若點的坐標適合方程，則點M在圓上.
二．圓的標準方程的推導
如圖，設圓的圓心坐標為，半徑長為r(其中a,b,r都是常數(shù)，r>0).設為該圓上任意一點，那么圓心為C的圓就是集合.由兩點間的距離公式，得圓上任意一點M的坐標(x,y)滿足的關系式為 ①，①式兩邊平方，得.
三．求圓的標準方程
求圓的標準方程的常用方法包括幾何法和待定系數(shù)法．
（1）幾何法，常用到圓的以下幾何性質：①圓中任意弦的垂直平分線必過圓心；②圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點一定是圓心．
（2）圓的標準方程中含有三個參數(shù)a，b，r，運用待定系數(shù)法時，必須具備三個獨立的條件才能確定圓的方程．這三個參數(shù)反映了圓的幾何性質，其中圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．
四．點與圓的位置關系
圓C：，其圓心為，半徑為，點，
設.
五．圓的一般方程
1．定義
當時，方程表示一個圓，這個方程叫做圓的一般方程，其中圓心為，半徑.
2．推導過程
把圓的標準方程展開，并整理得.取，
得： ①.
把①的左邊配方，并把常數(shù)項移到右邊，得.
當且僅當時，方程表示圓，且圓心為，半徑長為；
當時，方程只有實數(shù)解，所以它表示一個點；
當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．
六．待定系數(shù)法求圓的一般方程
求圓的方程常用“待定系數(shù)法”，用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：
①根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；
②根據(jù)條件列出關于或的方程組；
③解出或，代入標準方程或一般方程．
一．圓的標準方程（共2小題）
1.（2023·上海市上海中學高二期中） 已知一個圓的方程滿足：圓心在點，且過原點，則它的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】利用條件求出半徑，再根據(jù)圓的標準方程求解.
【詳解】設圓的半徑為，因為圓心是，且過點，所以，所以半圓的方程為，故選：D.
2.（2023春·上海市松江一中高二期中） 設m為實數(shù)，若方程表示圓，則m的取值范圍為______．
【答案】
【分析】將方程配成圓的標準方程形式，根據(jù)圓的標準方程即可求解.
【詳解】方程，即
若它表示圓，則，即
3．（2022春?崇明區(qū)校級期中）圓心為（﹣1，﹣3），半徑為3的圓的標準方程為 ．
【分析】由已知直接代入圓的標準方程得答案．
【解答】解：圓的圓心為（﹣1，﹣3），半徑為3，即a＝﹣1，b＝﹣3，r＝3，
∴圓的標準方程為（x+1）2+（y+3）2＝9．
故答案為：（x+1）2+（y+3）2＝9．
【點評】本題考查圓的標準方程，是基礎題．
點與圓的位置關系（共2小題）
4.兩個點、與圓的位置關系是（ ）
A．點在圓外，點在圓外
B．點在圓內(nèi)，點在圓內(nèi)
C．點在圓外，點在圓內(nèi)
D．點在圓內(nèi)，點在圓外
【答案】D
【分析】本題可將點、代入方程左邊，通過得出的值與的大小關系即可判斷出結果.
【詳解】將代入方程左邊得，
則點在圓內(nèi)，
將代入方程左邊得，
則點在圓外，故選：D.
三．圓的一般方程（共2小題）
5．（2022秋?楊浦區(qū)校級期中）圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的半徑為 ．
【分析】由圓的一般方程化為標準方程，可得圓的半徑的值．
【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的標準方程為（x﹣1）2+y2＝4，可得圓的半徑為2，
故答案為：2．
【點評】本題考查圓的半徑的求法，屬于基礎題．
6．（2022春?金山區(qū)期中）過圓x2+y2﹣4x＝0的圓心且與直線2x+y＝0垂直的直線方程為 ．
【分析】先求出已知圓的圓心，所求直線的斜率，再用點斜式求出直線的方程．
【解答】解：∵圓x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，故它的圓心為（2，0），
由于所求直線與直線2x+y＝0垂直，故所求直線的斜率為，
故要求直線的直線方程為y﹣0＝（x﹣2），即 x﹣2y﹣2＝0，
故答案為：x﹣2y﹣2＝0．
【點評】本題主要考查圓的標準方程，再用點斜式求出直線的方程，屬于基礎題．
四．求參數(shù)范圍（共1小題）
7．（2022·上海理工大學附屬中學高二期中）若方程表示一個圓,則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次方程表示圓的充要條件列出不等式，通過解不等式求出k的范圍．
【詳解】方程x2+y2+x+y+k=0表示一個圓，需滿足
1+1﹣4k＞0
∴
故選D．
【點睛】二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件為：D2+E2﹣4F＞0
8．（2022·上海市寶山中學高二期中）方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】或
【分析】根據(jù)圓方程的判斷方法：形如的方程表示圓的條件為，列出不等式，解之即可.
【詳解】因為方程表示圓，則，
解得：或，
故答案為：或.
一、填空題
1. （2023春·上海市控江中學高二第二學期期中）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則此圓的半徑為___________.
【答案】5
【分析】把兩式兩邊平方作和，消去參數(shù)θ，化為圓的標準方程得答案．
【詳解】解：由，
①2+②2得，x2+y2＝9sin2θ+16cs2θ+24sinθcsθ+16sin2θ+9cs2θ﹣24sinθcsθ
＝16（sin2θ+cs2θ）+9（sin2θ+cs2θ）＝25．
∴圓的半徑為5．
2. （2023春·上海市控江中學高二第二學期期中）在極坐標系中，圓的圓心到直線的距離為__________.
【答案】
【分析】由已知得出圓和直線的直角坐標方程，根據(jù)點到直線的距離公式，即可得出答案.
【詳解】由已知可得.
因為，所以，
所以圓的直角坐標方程為，圓心為.
直線轉化為直角坐標方程為，即.
又點到直線的距離，
即圓的圓心到直線的距離為.
3. 方程表示的曲線是_________．
【答案】兩個半圓
【分析】方程兩邊平方得：，再分和兩種情況即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，將兩邊平方得：，且
故當時，方程為：，表示以為圓心，為半徑的半圓；
當時，方程為：，表示以為圓心，為半徑的半圓；
故方程表示的曲線是兩個半圓.
4. 已知過和且與軸相切的圓有且只有一個，則的值為___________.
【答案】或
【分析】設所求圓的方程為，將點、的坐標代入圓的方程，整理可知關于的方程有且只有一個實根，由此可得出關于實數(shù)的等式，進而可解得實數(shù)的值.
【詳解】設所求圓的方程為.
由于點、都在該圓上，所以，，
整理可得，
由于滿足條件的圓有且只有一個，則關于的方程有且只有一個實根，
所以或，即或，
解得或.
5. 已知點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【分析】由方程表示圓可得，再由點在圓外，可得，從而可求出實數(shù)的取值范圍
【詳解】因為在圓外，
所以且，得，
解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為
6. 已知，方程表示圓，則圓心坐標是__．
【答案】
【分析】根據(jù)方程表示圓，先由，解得或，然后再分別討論是否為圓并求圓心坐標.
【詳解】若方程表示圓，則有，
即，解可得：或，
當時，方程為，變形可得，表示圓心為，半徑為5的圓，
當時，方程為，即，變形可得，不能表示圓，故圓心的坐標為，故答案為：．
7. 已知點，，動點滿足為定值，若的軌跡表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算，可得，根據(jù)方程為圓的方程求解即可.
【詳解】,，
由，
故可得：，
即，
因為的軌跡表示一個圓，故，解得．
8．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學高二階段練習）圓關于直線對稱的圓的方程為______．
【答案】
【分析】求出圓心關于直線的對稱點，從而求出對稱圓的方程.
【詳解】圓心為，半徑為1，設關于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關于直線對稱的圓的方程為.
故答案為：
9．（2022·上海市青浦高級中學高二階段練習）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點M、N是銳角的一邊QA上的兩點，試在邊QB上找一點P，使得最大”，如圖，其結論是：點P為過M、N兩點且射線QB相切的圓的切點，根據(jù)以上結論解決以下問題：
在平面直角坐標系xOy中，給定兩點、，點P在x軸上移動，當取最大值時，點P的坐標為___________
【答案】
【分析】設的外接圓的圓心為，根據(jù)題設中給出的結論可構建關于的方程組，解方程組后可得的坐標.
【詳解】延長交軸于，則為銳角，
由題設，當在射線上時，
若取最大值，則有的外接圓與軸相切且切點為，
設為軸上的動點且在的左側，則，
由為最大值角可得，
故當為軸上的動點且取最大值時，
在射線上且的外接圓與軸相切且切點為.
設該圓的圓心為，則且圓的半徑為，
故，整理得到，解得或，
又直線的方程為，故，故舍去，
故的外接圓的圓心為，故.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：本題為即時應用類問題，注意根據(jù)給出的背景或結論來構建所設變量的方程組，另外對不適合題設給出的背景的另一類問題的討論.
10．（2022·上?！とA師大二附中高二階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為20米，圓O的半徑為1米，圓心足正方形的中心，點P、Q分別在線段AD、CB上，若線段PQ與圓O有公共點，則稱點Q在點P的“盲區(qū)”中. 已知點P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動，同時，點Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動，則點P從A移動到D的過程中，點Q在點P的育區(qū)中的時長約為________秒（精確到0.1）
【答案】4.4
【分析】以為坐標原點,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求得的坐標和直線的方程,圓方程,運用點到直線的距離公式,以及直線和圓相交的條件,解不等式即可得到所求時長.
【詳解】以為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系：
由題意可設，
所以直線的方程為：，
圓方程為：，
因為直線與圓有交點，
所以，化為，解得，
所以點在點的盲區(qū)中的時長約為秒.
故答案為：
【點睛】本題考查直線和圓的方程的應用，直線和圓的位置關系,坐標法和二次不等式的解法,屬于中檔題.
11．（2022·上海市洋涇中學高二階段練習）在平面直角坐標系中，點，，定義為點、之間的極距，已知點P是直線上的動點，已知點Q是圓上的動點，則、兩點之間的距離最小時，其極距為_____________.
【答案】
【分析】首先利用極距定義，以及點線距離公式，將問題轉化為求，即可求解.
【詳解】
如上圖所示，在平面直角坐標系中，、，作出直角三角形，則由極距的定義可知，就是直角三角形中較小的直角邊的大小.
因為點是直線：上的動點，是圓：上的動點，要使得最小，則，最小，此時，設直線交軸于點，交軸于點，因為直線的斜率為，則.如下圖所示，
過點作平行于軸，過點作平行于軸，則，所以，在直角三角形中，，兩點之間的極距即為.
設，則，所以，解得，即，兩點之間最小的極距為.
故答案為：
12．（2022·上海市洋涇中學高二階段練習）已知表示圓，則實數(shù)a的值是_______．
【答案】
【分析】把方程化為，根據(jù)題意可得，解之即可得解.
【詳解】解：把方程化為，
因為此曲線表示圓，
所以，解得.
故答案為：.
一、單選題
13．已知圓，則其圓心的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的標準方程，直接求圓心坐標.
【詳解】圓，則其圓心的坐標為.
14．已知點，，則以線段為直徑的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出圓的直徑式方程后再將其化簡為標準方程，從而可得正確的選項，我們也可以求出圓心和半徑，從而得到圓的方程.
【詳解】因為圓以為直徑，故圓心為的中點，
又，故圓的半徑為5，
故以線段為直徑的圓的方程為：.
15.已知圓經(jīng)過原點，，三點，則圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設圓的方程為，
解方程組即得解.
【詳解】設圓的方程為，
把點，，代入得
，
解得，，，所以圓的方程是．故選：D．
【點睛】求圓的方程，一般利用待定系數(shù)法.
16. 在平面直角坐標系中，四點坐標分別為，若它們都在同一個圓周上，則a的值為（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【分析】設出圓的一般式，根據(jù)求出，然后將點帶入圓的方程即可求得結果.
【詳解】
設圓的方程為，
由題意得，解得，
所以，
又因為點在圓上，所以，即.
故選：C.
三、解答題
17．（2022·上?！偷└街懈叨谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，曲線與坐標軸的交點都在圓C上.
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線交于A，B兩點，且，求a的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）求出曲線與坐標軸的三個交點，根據(jù)這三個交點在圓上可求出圓心坐標和半徑，從而可得圓的方程；
（2）設A，B，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得，，根據(jù)得，化為，進而可解得 .
【詳解】（1）曲線與坐標軸的交點為(0，1)，(,0)，
由題意可設圓C的圓心坐標為(3，)，
∴，解得，
∴圓C的半徑為，
∴圓C的方程為.
（2）設點A、B的坐標分別為A，B，其坐標滿足方程組，消去得到方程，
由已知得，判別式①，
由根與系數(shù)的關系得，②，
由得.
又∵，，∴可化為③，
將②代入③解得，經(jīng)檢驗，滿足①，即，
∴.
【點睛】本題考查了由圓上三個點的坐標求圓的方程，考查了直線與圓的位置關系、根與系數(shù)的關系，考查了運算求解能力，屬于中檔題.
18．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學高二階段練習）疫情期間，作為街道工作人員的王阿姨和李叔叔需要上門排查外來人員信息，王阿姨和李叔叔分別需走訪離家不超過200米、k米的區(qū)域，如圖，、分別是經(jīng)過王阿姨家（點）的東西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的東偏北方向，以點O為坐標原點，、為x軸、y軸建立平面直角坐標系，已知健康檢查點（即點）和平安檢查點（即點）是李叔叔負責區(qū)域中最遠的兩個檢查點.
（1）求出k，并寫出王阿姨和李叔叔負責區(qū)域邊界的曲線方程；
（2）王阿姨和李叔叔為交流疫情信息，需在姑山路（直線）上碰頭見面，你認為在何處最為便捷、省時間（兩人所走的路程之和最短）？并給出理由.
【答案】（1），，；（2）
【解析】（1）求圓的標準方程，可設出圓心，利用圓上兩點距離到圓心相等，可算得圓心和半徑.
（2）可先求圓心O關于的對稱點P,找到直線PC與l 的交點，即為所求.
【詳解】（1）易知，王阿姨負責區(qū)域邊界的曲線方程為：
李叔叔家在王阿姨家的東偏北方向，設李叔叔家所在的位置為，離和距離相等
故
故
即
故
故李叔叔負責區(qū)域邊界的曲線方程為
（2）圓心關于的對稱點為
則有，
解得
聯(lián)立與，可得交點為
王阿姨和李叔叔為交流疫情信息，可選擇在地點碰面，距離之和最近.
【點睛】求圓的方程，主要有兩種方法：
(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．
(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式．
19.（2023·上海市市三女中高二期中）已知圓，動直線過點.
（1）當直線與圓相切時，求直線的方程
（2）若直線與圓相交于兩點，求中點軌跡方程.
【答案】（1）或
（2）且
【分析】（1）討論直線l斜率不存在易得直線l為，再根據(jù)兩條切線關于CP對稱，結合傾斜角的關系?二倍角正切公式求得另一條切線的斜率為，即可寫出切線方程.
（2）設，根據(jù)，應用兩點距離公式化簡得到M的軌跡方程，注意x?y的范圍.
【小問1詳解】當直線l斜率不存在時，顯然直線l與圓C相切且切點為，
所以，對于另一條切線，若切點為D，則，又
所以，由圖知，直線DP的傾斜角的補角與互余，
所以直線DP的斜率為，故另一條切線方程為，即，
綜上，直線l的方程為或.
【小問2詳解】由（1）知直線與圓相交于?兩點，則斜率必存在，
設，則，
所以，整理得，
當直線與圓相切于點時，直線的斜率為，其方程為：
，由，得，即切點，
對于的軌跡方程，當時，，
所以，且，
綜上，的軌跡方程為且，
20. （2023春·上海市大同中學高二第二學期期中）已知圓經(jīng)過，圓.
（1）求圓的標準方程；
（2）若圓與圓相切，求的值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）設出圓的方程，代入點的坐標求解計算即可；
（2）經(jīng)分析兩圓外切，把兩圓外切轉化為圓心距離等于半徑之和，列式計算即可.
【小問1詳解】
設圓，因為圓過三點，
則，所以，所以，
即；
【小問2詳解】
圓化為標準方程為，
因為圓與圓的半徑相等，故兩圓不會內(nèi)切，只有外切，且，
則有，解得.
21.（1）求過點，，且圓心在直線上的圓的標準方程.
（2）已知圓C：，圓心在直線上，且圓心在第二象限，半徑長為求圓的一般方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求得線段的垂直平分線方程，由此求得圓心坐標以及圓的半徑，即而求得圓的標準方程.
（2）設出圓心坐標，利用圓心的位置以及半徑求得，由此求得圓的一般方程.
【詳解】（1）線段的中點為，線段的斜率為，
所以線段的垂直平分線的斜率為，
線段的垂直平分線方程為.
，即圓心坐標為，
半徑為，
所以圓的標準方程為.
（2）圓心，
∵圓心在直線上，∴，即.①
又∵半徑長，∴.
由①②可得或
又∵圓心在第二象限，∴，即.
則.故圓的一般方程為.
位置關系
與的大小
圖示
點P的坐標的特點
點在圓外
點在圓上
點在圓內(nèi)

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