【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年（蘇教版2019選修二）高二數(shù)學(xué)下冊(cè)專題03+概率專題訓(xùn)練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考點(diǎn)題型一】隨機(jī)事件的條件概率
方法點(diǎn)撥：條件概率公式：，乘法公式
【例1】（23-24高二上·江西·期末）已知事件與事件相互獨(dú)立，，則（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)槭录c事件相互獨(dú)立，所以，
又，則．故選：A．
【變式1-1】（22-23高二上·廣東深圳·期末）（多選）拋擲甲?乙兩顆骰子，若事件：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4”；事件：“甲?乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于7”，則下列概率正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】根據(jù)題意，拋擲甲?乙兩顆骰子，其基本情況有：
共36種情況，依次分析選項(xiàng)：
事件：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4”，則，
對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，，D正確.故選：CD
【變式1-2】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）某市為迎接即將到來(lái)的省辯論大賽，準(zhǔn)備在全市高中生范圍內(nèi)選擇成員，經(jīng)過(guò)第一輪比賽，9人脫穎而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名參加過(guò)去年的比賽．現(xiàn)從這9人中選2名男生與2名女生參賽，若至少有1名參加過(guò)去年比賽的被選中條件下，兩名去年參賽的都被選中的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)事件“至少有1名參加過(guò)去年比賽的被選中”,事件“兩名去年參賽的都被選中”,
則，
則，即所求概率為.故選：C.
【變式1-3】（22-23高二下·河南·期中）某單位開展主題為“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)，我學(xué)習(xí)我成長(zhǎng)”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，甲選手答對(duì)第一道題的概率為，連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為.用事件A表示“甲選手答對(duì)第一道題”，事件B表示“甲選手答對(duì)第二道題”，則＝（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?故選：D.
【考點(diǎn)題型二】全概率公式與貝葉斯公式
方法點(diǎn)撥：
1、全概率公式：若事件兩兩互斥，且它們的和，且，，則對(duì)于中的任何事件，有.
2、貝葉斯公式：設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對(duì)于中的任何事件，，有，．
【例2】（23-24高二上·江西·期末）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年7月28日在成都開幕．大運(yùn)會(huì)組委會(huì)給運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備了豐富的飲食服務(wù)．大運(yùn)村共有兩個(gè)餐廳：餐廳、餐廳，運(yùn)動(dòng)員甲第一天隨機(jī)地選擇一個(gè)餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.8；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6．則運(yùn)動(dòng)員甲第二天去餐廳用餐的概率為．
【答案】0.7
【解析】設(shè)“第天去餐廳用餐”，“第天去餐廳用餐”，
則，且與互斥，
根據(jù)題意得，，，
則．
【變式2-1】（22-23高二下·湖南邵陽(yáng)·期中）一玩具制造廠的某一配件由A，B，C三家配件制造廠提供，根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠A，B，C的次品率分別為0.02，0.01，0.03，提供配件的份額分別為，，，設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉(cāng)庫(kù)均勻混合且不區(qū)別標(biāo)記，從中隨機(jī)抽取一件配件，若抽到的是次品，則該次品來(lái)自制造廠C概率為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件來(lái)自于A制造廠，
事件：抽到的配件來(lái)自于B制造廠，事件：抽到的配件來(lái)自于C制造廠，
則，
,
故
，
則抽到的是次品，則該次品來(lái)自制造廠C概率為,故選：A
【變式2-2】（23-24高二下·福建南平·階段練習(xí)）某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為評(píng)估短跑運(yùn)動(dòng)員在接力賽中的作用，對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．運(yùn)動(dòng)員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個(gè)位置，統(tǒng)計(jì)以往多場(chǎng)比賽，其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)比賽獲勝率如下表所示．
（1）當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率．
（2）當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率．
【答案】（1）0.69；（2）.
【解析】（1）記 “甲跑第一棒”為事件，“甲跑第二棒”為事件，
“甲跑第三棒”為事件，“甲跑第四棒”為事件，“運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝”為事件B.
則
所以當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率為.
（2），
所以當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率為.
【變式2-3】（23-24高二下·全國(guó)·練習(xí)）設(shè)某廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，并且各車間的次品率依次為5%，4%，2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，則此次品由三個(gè)車間生產(chǎn)的概率分別是多少？
【答案】（1）；（2）此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：，由乙車間生產(chǎn)的概率為：，由丙車間生產(chǎn)的概率為：
【解析】（1）取到次品的概率為
（2）若取到的是次品，則：此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：.
此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：.
此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：.
【考點(diǎn)題型三】離散型隨機(jī)變量分布列及應(yīng)用
方法點(diǎn)撥：
1、離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映出所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一個(gè)值的概率的大小，從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況；
2、求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟
第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能取值；
第二步，求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)相應(yīng)的概率；
第三步：列表
【例3】（22-23高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）一盒子中放有8個(gè)大小相同的小球，其中4個(gè)紅球，4個(gè)白球.現(xiàn)從中抽取兩次，一次抽取兩個(gè)球，若第一次抽出后不放回.
（1）求第一次抽到兩個(gè)紅球的條件下，第二次抽到兩個(gè)白球的概率；
（2）若一次抽出的兩個(gè)球同色即中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.
【解析】（1）記“取到兩個(gè)紅球”為事件A，“取到兩個(gè)白球”為事件B，
則，
所以第一次抽到兩個(gè)紅球的條件下，第二次抽到兩個(gè)白球的概率為．
（2）由題意，的可能值為0，1，2．
．
．
．
所以的概率分布為
所以．
【變式3-1】（22-23高二下·黑龍江大興安嶺地·階段練習(xí)）目前，全國(guó)多數(shù)省份已經(jīng)開始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績(jī)由語(yǔ)文?數(shù)學(xué)?外語(yǔ)3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門選擇性科目成績(jī)組成.注：甲同學(xué)對(duì)選擇性科目的選擇是隨機(jī)的.
（1）省規(guī)定選擇性考試科目學(xué)生可以從政治?歷史?地理?物理?化學(xué)?生物6門科目中任選3門參加選擇性考試.求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；
（2）省規(guī)定：3門選擇性科目由學(xué)生首先從物理科目和歷史科目中任選1門，再?gòu)恼?地理?化學(xué)?生物4門科目中任選2門.為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級(jí)抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史.現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查.將其中首選歷史的人數(shù)記作，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
【解析】（1）“選擇物理”記作事件A，“選擇化學(xué)”為事件，
則，則.
（2）隨機(jī)變量可以取.
，
，
隨機(jī)變量的分布列為
.
【變式3-2】（23-24高二上·山東德州·階段練習(xí)）一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2，3需要調(diào)整的概率分別為0.1，0.2，0.2，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立．
（1）求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；
（2）記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．
【答案】（1）0.28；（2）分布列見(jiàn)解析
【解析】（1）部件1，2都不需要調(diào)整的概率為，
則部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為P＝1－0.72＝0.28；
（2）由題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且
，
，
，
，
【變式3-3】（23-24高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知新高考數(shù)學(xué)共4道多選題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是每題滿分5分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選或不選的得0分．每道多選題共有4個(gè)選項(xiàng)，正確答案往往為2項(xiàng)或3項(xiàng). 為了研究多選題的答題規(guī)律，某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)：多選題正確答案是“選兩項(xiàng)”的概率為，正確答案是“選三項(xiàng)”的概率為.現(xiàn)有學(xué)生甲、乙兩人，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很差，多選題完全沒(méi)有思路，只能靠猜.
（1）已知某題正確答案是“選兩項(xiàng)”，求學(xué)生甲不得0分的概率；
（2）學(xué)生甲的答題策略是“猜一個(gè)選項(xiàng)”，學(xué)生乙的策略是“猜兩個(gè)選項(xiàng)”，試寫出甲、乙兩名學(xué)生得分的分布列.
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.
【解析】（1）某題正確答案是“選兩項(xiàng)”的條件下，他不得0分的情況有兩種：
①只選一個(gè)選項(xiàng)得2分的概率為：;
②選兩個(gè)選項(xiàng)，得5分的概率為：;
所以某題正確答案是“選兩項(xiàng)”的條件下，學(xué)生甲不得0分的概率為：;
（2）結(jié)合題意：設(shè)學(xué)生甲得分為,則的可能取值為，
；;
學(xué)生甲得分的分布列為:
設(shè)學(xué)生乙得分為,則的可能取值為，
;;;
學(xué)生乙得分的分布列為:
【考點(diǎn)題型四】求隨機(jī)變量的數(shù)字特征
方法點(diǎn)撥：
1、均值與方差都是隨機(jī)變量的兩個(gè)重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值基礎(chǔ)之上，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的期望的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用廣泛。離散型隨機(jī)變量的均值與方差在實(shí)際問(wèn)題特別是風(fēng)險(xiǎn)決策中有著重要意義。
2、均值與方差的計(jì)算
（1）均值：；均值性質(zhì)：
（2）方差：
方差性質(zhì)：
【例4】（22-23高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由解得，
則，.故選：A.
【變式4-1】（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如表所示，則（）
A．有最大值，最小值 B．有最大值，最小值
C．有最大值，無(wú)最小值 D．無(wú)最大值，有最小值
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以，從?
所以，
則有最大值，最小值，故選：B.
【變式4-2】（22-23高二下·貴州·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如圖所示，若Y＝3X＋2，則（）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】由分布列可知，，
則，，所以.故選：B
【變式4-3】（22-23高二下·山東濟(jì)南·期中）隨機(jī)變量的分布列如下所示則的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可知，，，
所以，，，，
則，
令，則，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以的最大值為．故選：D．
【考點(diǎn)題型五】二項(xiàng)分布的概率最值
方法點(diǎn)撥：二項(xiàng)分布的增減性與最大值
記，則當(dāng)時(shí)，，pk遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減.
故最大值在時(shí)取得（此時(shí)，兩項(xiàng)均為最大值；若非整數(shù)，則k取的整數(shù)部分時(shí)，最大且唯一）.
【例5】（22-23高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）某人射擊一發(fā)子彈，命中目標(biāo)的概率為，現(xiàn)在他射擊發(fā)子彈，則擊中目標(biāo)的子彈數(shù)最可能是（）
A．14 B．15 C．16 D．15或16
【答案】D
【解析】設(shè)命中目標(biāo)的子彈數(shù)為X，則，有，
依題意，設(shè)最大，顯然，都不是最大的，即有，
于是，即，
，整理得，解得，
所以擊中目標(biāo)的子彈數(shù)最可能是15或16．故選：D
【變式5-1】（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（）
A．45 B．53 C．54 D．90
【答案】B
【解析】由已知可得，.
又，
所以，，.
設(shè)，
則，
所以，，所以.
，
所以，，所以.
所以，以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為.故選：B.
【變式5-2】（23-24高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為，，，，，則小球落入號(hào)格子的概率最大.圖片僅供參考
【答案】7
【解析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，
小球掉入號(hào)格子，需要向左次，概率為，
小球掉入號(hào)格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號(hào)格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號(hào)格子，需要向左次，向右次，概率為，
依此類推，小球掉入號(hào)格子，需要向左次，向右次，
概率為，
設(shè)小球落入號(hào)格子的概率最大，顯然，，
則解得，又為整數(shù)，所以，
所以小球落入號(hào)格子的概率最大．
【變式5-3】（22-23高二下·福建泉州·階段練習(xí)）手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國(guó)有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：
（?。┤粢患止に嚻?位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；
（ⅱ）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；
（ⅲ）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立.
（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；
（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A，B，C級(jí)均可外銷，質(zhì)量為D級(jí)不能外銷，求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件.
【答案】（1）；（2）最有可能是2件
【解析】（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為.
（2）由題意,可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，
設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，
則，其中，
.
由得，整數(shù)不存在，
由得，所以當(dāng)時(shí)，，
即，
由得，所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.
【考點(diǎn)題型六】求二項(xiàng)分布的分布列
方法點(diǎn)撥：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
1、定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．
2、定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．
3、列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列．
4、求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．
相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【例6】（22-23高二下·河南許昌·階段練習(xí)）為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，某校以爭(zhēng)做最美青年為主題，進(jìn)行“最美青年”評(píng)選活動(dòng)，最終評(píng)出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生、學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”中每次隨機(jī)選出一人做事跡報(bào)告.
（1）若每位“最美青年”最多做一次事跡報(bào)告，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B，求，：
（2）根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高二、高三學(xué)生和全體教師做4場(chǎng)事跡報(bào)告，記這4場(chǎng)事跡報(bào)告中做報(bào)告的男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1），；（2）分布列見(jiàn)解析，.
【解析】（1）依題意，，，
則.
（2）被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，4且，
；；；
；，
所以X的分布列為：
X的數(shù)學(xué)期望.
【變式6-1】（22-23高二下·陜西西安·階段練習(xí)）某大型企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品細(xì)分為個(gè)等級(jí)，為了解這批產(chǎn)品的等級(jí)分布情況，從流水線上隨機(jī)抽取了件進(jìn)行檢測(cè)、分類和統(tǒng)計(jì)，并依據(jù)以下規(guī)則對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)分:檢測(cè)到級(jí)到級(jí)的評(píng)為優(yōu)秀，檢測(cè)到級(jí)到6級(jí)的評(píng)為良好，檢測(cè)到級(jí)到級(jí)的評(píng)為合格，檢測(cè)到級(jí)的評(píng)為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測(cè)統(tǒng)計(jì)表:
（1）從這件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，請(qǐng)估計(jì)這件產(chǎn)品評(píng)分為優(yōu)良的概率；
（2）從該企業(yè)的流水線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，設(shè)這件產(chǎn)品中評(píng)分為優(yōu)秀的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，求的分布列、期望及方差.
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為，方差為
【解析】（1）記事件A：產(chǎn)品的評(píng)分為優(yōu)秀，事件：產(chǎn)品的評(píng)分為良好.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，可以用樣本來(lái)估計(jì)總體，
由統(tǒng)計(jì)表得，.
因?yàn)榛コ?，所以可以估?jì)該件產(chǎn)品為優(yōu)良的概率為.
（2）由（1）知，評(píng)分為優(yōu)秀的概率為，由題意得，
則
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望，方差.
【變式6-2】（22-23高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）2023年春節(jié)檔有多部?jī)?yōu)秀電影上映，其中《流浪地球》是比較火的一部.某影評(píng)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了100名觀眾對(duì)《流浪地球》的評(píng)分情況，得到如下表格：
（1）根據(jù)以上評(píng)分情況，試估計(jì)觀眾對(duì)《流浪地球》的評(píng)價(jià)在四星以上（包括四星）的頻率；
（2）以表中各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的頻率作為各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的概率，假設(shè)每個(gè)觀眾的評(píng)分結(jié)果相互獨(dú)立.
（i）若從全國(guó)所有觀眾中隨機(jī)選取3名，求恰有2名評(píng)價(jià)為五星1名評(píng)價(jià)為一星的概率；
（ii）若從全國(guó)所有觀眾中隨機(jī)選取5名，記評(píng)價(jià)為五星的人數(shù)為，求的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.
【答案】（1）0.81；（2）（i）；（ii）分布列見(jiàn)解析，
【解析】（1）由給出的數(shù)據(jù)可得，評(píng)價(jià)為四星的人數(shù)為6，評(píng)價(jià)為五星的人數(shù)是75，
故評(píng)價(jià)在四星以上（包括四星）的人數(shù)為，
故可估計(jì)觀眾對(duì)《流浪地球》的評(píng)價(jià)在四星以上（包括四星）的頻率為；
（2）（i）依題意評(píng)價(jià)為五星的概率為，評(píng)價(jià)為一星的概率為，
記“恰有2名評(píng)價(jià)為五星1名評(píng)價(jià)為一星”為事件，
則；
（ii）由題可知，
；
，，
故.
【變式6-3】（22-23高二下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）前進(jìn)中學(xué)某班選派16名學(xué)生參加書法、唱歌、朗誦、剪紙、繪畫五場(chǎng)（同時(shí)進(jìn)行）比賽，其中3人參加書法比賽，5人參加唱歌比賽，2人參加朗誦比賽，2人參加剪紙比賽，4人參加繪畫比賽．
（1）從參加比賽的學(xué)生中任選3人，求其中一人參加剪紙比賽，另外2人參加同一項(xiàng)比賽的概率；
（2）如果該中學(xué)可以再安排3名教師選擇參加上述比賽，假設(shè)每名教師選擇參加各場(chǎng)比賽是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨(dú)立的，記參加書法或唱歌比賽的教師人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分比例見(jiàn)解析，期望為.
【解析】（1）設(shè)事件為“從參加比賽的學(xué)生中任選3人，其中1人參加剪紙比賽，
另外2人參加同一項(xiàng)比賽”，則由題意有.
（2）由題意可知，參加書法或唱歌比賽的教師人數(shù) 的的可能取值為0，1，2，3.
又每名教師參加書法或唱歌比賽的概率均為，則隨機(jī)變量，
所以，，
則的分布列為：
所以 .
【考點(diǎn)題型七】求超幾何分布的分布列
方法點(diǎn)撥：
超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
【例7】（22-23高二下·寧夏石嘴山·期末）在10件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現(xiàn)從中抽取5件，則抽得二等品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為（）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】隨機(jī)變量可取，
，，，，
，故選：C
【變式7-1】（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)，激發(fā)干事創(chuàng)業(yè)熱情．某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽共有道題目，隨機(jī)抽取道讓參賽者回答．已知小明只能答對(duì)其中的道，試求：
（1）抽到他能答對(duì)題目數(shù)的分布列；
（2）求的期望和方差
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）期望；方差
【解析】（1）由題意知：所有可能的取值為，
；；
；；
的分布列為：
（2）期望；
又，
方差.
【變式7-2】（23-24高三上·青海海南·期中）某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市個(gè)人數(shù)超過(guò)1000的大集團(tuán)和3個(gè)人數(shù)低于200的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)集團(tuán)，全是大集團(tuán)的概率為．
（1）在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為小集團(tuán)的概率；
（2）若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出大集團(tuán)的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，
【解析】（1）由題意知共有個(gè)集團(tuán)，取出2個(gè)集團(tuán)的方法總數(shù)是，
其中全是大集團(tuán)的情況有，
故全是大集團(tuán)的概率是，
整理得到，解得．
若2個(gè)全是大集團(tuán)，共有種情況；
若2個(gè)全是小集團(tuán)，共有種情況；
故全為小集團(tuán)的概率為．
（2）由題意知，隨機(jī)變量的可能取值為，
計(jì)算，，，
，；
故的分布列為：
數(shù)學(xué)期望為．
【變式7-3】（22-23高二下·甘肅定西·階段練習(xí)）為推動(dòng)網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某網(wǎng)球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員名，其中種子選手名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員名，其中種子選手名．從這名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇人參加比賽．
（1）設(shè)事件為“選出的人中恰有名種子選手，且這名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；
（2）設(shè)為選出的人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及均值．
【答案】（1）；（2）分布列答案見(jiàn)解析，
【解析】（1）由題意可得.
（2）由題意可知，人中，種子選手共人，非種子選手共人，
從這人中隨機(jī)抽取人，其中種子選手的人數(shù)為隨機(jī)變量，
則的可能取值有、、、、，
則，，，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
因此，.
【考點(diǎn)題型八】正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用
方法點(diǎn)撥：關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法
（1）熟記P(μ－σ

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