1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
重難點(diǎn)1-1 利用基本不等式求最值8大題型
基本不等式是高考熱點(diǎn)問題，是常考常新的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中一個重要的知識點(diǎn)，在解決數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在函數(shù)最值問題中。題型通常為選擇題與填空題，但它的應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等。
在高考中經(jīng)?？疾爝\(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn)。在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時一定要緊扣“一正二定三相等”這三個條件靈活運(yùn)用。
利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系
2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。
3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況
類型1：分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱乘“1”法；
類型2：分母為多項(xiàng)式時
方法1：觀察法 適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；
方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，
如分母為與，分子為，
設(shè)
∴，解得：
4、消元法：當(dāng)題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題。
5、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。
【題型1 直接法求最值】
【例1】（2022春·遼寧錦州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，且，則的最大值為（ ）
A． B．25 C．36 D．49
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時取到等號，
故的最大值為36.故選：C
【變式1-1】（2022·四川廣安·廣安二中校考模擬預(yù)測）已知，當(dāng)取最大值時，則的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由已知可得，
則，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，，此時.故選：B．
【變式1-2】（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足,則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解:由題知,,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以．故選:C．
【變式1-3】（2022·上海·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】∵x>1，y>1，∴l(xiāng)g x>0，lg y>0，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)lg x＝lg y＝2，即x＝y(tǒng)＝100時等號成立．故選：D.
【變式1-4】（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?
又.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：D
【題型2 配湊法求最值】
【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，
所以的最小值為.
【變式2-1】（2022春·上海靜安·高三上海市市西中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的值域?yàn)開_____.
【答案】
【解析】由題知，，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
【變式2-2】（2022春·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，則的最大值為（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【答案】B
【解析】由，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
所以的最大值為.故選：B.
【變式2-3】（2022春·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）已知向量，若，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，，即，則，
又，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時取得等號.故選：A.
【題型3 消元法求最值】
【例3】（2022春·湖南永州·高三校考階段練習(xí)）設(shè)，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，解得：?br>故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的最大值為.
【變式3-1】（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】,，則有，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，故選：B.
【變式3-2】（2022春·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故的最大值為.故選：C.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正實(shí)數(shù)，，滿足，
．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時．
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即的最大值是1．故選：D
【變式3-4】（2022春·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）（多選）已知，，均為正實(shí)數(shù)，，則的取值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】，，均為正實(shí)數(shù)，由得：，即，
所以，
由基本不等式得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：ABC
【變式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）若，則的最大值為___________．
【答案】
【解析】，
由，所以，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時取等號，
所以的最大值為．
【題型4 代換法求最值】
【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，則的最小值是_____．
【答案】25
【解析】因?yàn)椋遥?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
【變式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為_______.
【答案】
【解析】因?yàn)?，，且?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
故的最小值為
【變式4-2】（2022春·江西撫州·高三金溪一中?？茧A段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．
【答案】9
【解析】由得，又因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為9．
【變式4-3】（2022春·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?，?br>所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，
即的最小值為6，故選：B.
【變式4-4】（2022·廣西·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點(diǎn)，G為線段AM上一點(diǎn)且，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB、AC于P、Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】由于M為線段BC的中點(diǎn)，則
又，所以，又，
所以，則
因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，化得
由
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，的最小值為1故選：B
【題型5 雙換元法求最值】
【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，且，則的最小值是__________.
【答案】
【解析】令，，則，，
因?yàn)?，則有，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
則分別等于時，的最小值是.
【變式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，，則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時，等號成立，
所以，故有最小值.故選：D.
【變式5-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則
所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號
所以的最小值是，則的最大值為.故選A
【變式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，若，則的最小值是___________.
【答案】
【解析】設(shè)，
由對應(yīng)系數(shù)相等得 ，得
所以
整理得即
所以.
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng) 時，等號可取到.
【題型6 齊次化求最值】
【例6】（2020春·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知都是負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值是____________ .
【答案】
【解析】，
因?yàn)槎际秦?fù)實(shí)數(shù)，所以，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.
所以，所以，
所以，所以.
即的最小值是.
【變式6-1】（2021春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知對任意正實(shí)數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值是___________.
【答案】2
【解析】因?yàn)?，則，
則，即，
又，
因?yàn)?，所以，所以?br>即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)的最小值是2.
【變式6-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的最小值為____．
【答案】2
【解析】∵x，y＞0，則＝，
設(shè)＝t，t＞0，
則＝（t+1）+﹣2≥2﹣2＝4﹣2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)t+1＝，即t＝1時取等號，此時x＝y(tǒng)，
故的最小值為2.
【題型7 構(gòu)造不等式法求最值】
【例7】（2013春·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是___________.
【答案】9
【解析】由得，，
化簡得，解得，所以的最小值是9.
【變式7-1】已知，，，則的最小值為______．
【答案】4
【解析】由題知由基本不等式得，即，
令，，則有，整理得，解得(舍去)或，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最小值為4.
【變式7-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最大值是___________．
【答案】
【解析】∵，
∴ ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
此時，所以，即的最大值是.
【變式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若，，，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，，所?br>由兩邊同時乘，得，
即，則，
因?yàn)?，所以?br>故，整理得，即，
所以或（舍去），
故的最小值為.
【題型8 多次使用不等式求最值】
【例8】（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，
即的最小值為.故選：B.
【變式8-1】（2022春·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）當(dāng)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】恒成立，即
，
又，
上述兩個不等式中，等號均在時取到，
，
，解得且，又，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.
【變式8-2】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．6 D．
【答案】D
【解析】，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，（應(yīng)用基本不等式時注意等號成立的條件）
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立，
故最小值為，故選：D
【變式8-3】（2022春·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，不等式恒成立?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最大值為，所以，
又因?yàn)?，所?故選：C.
【變式8-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時取等號，
則的最大值為．故選：A．
（建議用時：60分鐘）
1．（2022春·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則x+2y的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】因?yàn)閤，y是正數(shù)，
所以有，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：C
2．（2022春·廣東湛江·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則的最小值為4.故選：C
3．（2022春·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【解析】，，因?yàn)?，，故，?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立．
所以的最小值為．故選：C
4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正數(shù)滿足，
由基本不等式得：，解得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，的最大值為.故選：A
5．（2022春·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中?？计谀┮阎?，，是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比中項(xiàng)定義知：，，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），
即的最小值為.故選：B.
6．（2022春·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）在中，過重心E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，，（，），則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【解析】在中，E為重心，所以，
設(shè)，，（，）
所以，，所以.
因?yàn)镸、E、N三點(diǎn)共線，所以，
所以
（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號）．故的最小值是3．故選：C．
7．（2022春·四川德陽·高三階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，且函數(shù)的定義域?yàn)?，則的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．2
【答案】A
【解析】∵定義域?yàn)镽，
∴在R上恒成立，
∴，即：
∴，解得：
又∵
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：A.
8．（2022春·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，且恒成立，則n的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，，?br>所以不等式恒成立等價于恒成立.
因?yàn)?，?br>所以
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），則要使恒成立，
只需使，故n的最大值為4.故選：C
9．（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，以下說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由，可得，關(guān)于的方程有解，
所以，所以，即，故A正確；
取，，則，故B錯誤；
由，可得，
又，令，則，
所以，即，故C正確；
由，可得，所以，
令，由，可得，
所以，即，故D正確.故選：ACD.
10．（2022·浙江·模擬預(yù)測）（多選）已知a，b為正數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】對于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
當(dāng)時，由于，得，與為正數(shù)矛盾，故，
即得，故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，，.又
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；故B選項(xiàng)不正確；
對于C選項(xiàng)，，，.
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，故C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，，，.
，
當(dāng)時，，
，得，即，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD
11．（2022春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）若，且，則（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】BD
【解析】由，可知，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，的最小值為25．
又．
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，
故的最大值為．故選：.
12．（2022春·山東·高三利津縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在下列函數(shù)中，最小值是4的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】BD
【解析】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，A錯誤；
對于B，，因?yàn)椋裕?br>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為4，B正確；
對于C，因?yàn)?，所以?br>由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：，C錯誤；
對于D，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為4，D正確.故選：BD
13．（2022春·山東·高三利津縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最小值為.
14．（2022春·天津靜?！じ呷o海一中校考階段練習(xí)）若，且，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】由題知，，且，即，所以，
當(dāng)時，，即，此時，所以的最大值為1，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
此時；所以的最大值為.
綜上，的最大值為.
15．（2022春·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值是_________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，由可得，
即
所以；
又因?yàn)榫钦龜?shù)，令，則
所以，
令，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；
所以
所以的最小值為;
即當(dāng)時，即時，等號成立.
16．（2022春·陜西商洛·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為______.
【答案】
【解析】由，
可得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以當(dāng)取得最大值時，，，所以，
故當(dāng)時，取最大值.

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