題型1 直接法求最值
1．（24-25高三上·吉林·期末）已知正數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
2．（24-25高三上·河南駐馬店·月考）已知，且，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
4．已知正數(shù)，滿足，則的最小值是 .
題型2 配湊法求最值
1．（24-25高三上·貴州·期中）的最小值為 ．
2．（24-25高三上·北京·月考）的值可以為（ ）
A．?8B．C．8D．9
3．（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，且，則的最大值為（ ）
A．6B．C．D．
4．（24-25高三上·甘肅白銀·期中）已知，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
題型3 消元法求最值
1．（24-25高三上·新疆·月考）已知，則的最大值為 ．
2．（24-25高三上·重慶·月考）已知，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．17
4．（24-25高三上·海南·月考）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．3B．5C．7D．8
題型4 “1”的代換求最值
1．（24-25高三上·安徽·月考）已知，，，則的最小值為（ ）
A．4B．2C．D．
2．（24-25高三上·陜西西安·期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．5D．9
3．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知，則的最小值為 ．
4．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期末）若，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．4
題型5 雙換元法求最值
1．已知正實(shí)數(shù)滿足且，則的最小值為
2．（24-25高一上·重慶·期中）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是 .
3．（24-25高三上·江蘇·月考）對(duì)于任意的，，恒成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·江西南昌·月考）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
題型6 齊次化法求最值
1．（24-25高三上·河南·月考）已知，則的最小值為 .
2．（24-25高三上·江蘇蘇州·期中）已知實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A．12B．9C．6D．3
3．（24-25高三上·甘肅白銀·月考）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為 ．
4．（23-24高三下·湖北·一模）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
題型7 構(gòu)造不等式求最值
1．（24-25高三上·廣東廣州·月考）若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，則的最小值為（ ）
A．B．9C．D．10
3．（23-24高三下·湖北·一模）已知實(shí)數(shù)滿足，則最大值為（ ）
A．2B．3C．D．
4．（24-25高三上·廣東湛江·月考）已知正數(shù) 滿足 ，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
題型8 多次使用不等式求最值
1．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知，，，且恒成立，則的取值范圍是 .
2．（24-25高三上·福建寧德·月考）已知正數(shù)a，b，c滿足，，則的最小值為 .
3．（23-24高三上·江蘇南京·月考）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，且，則的最小值為 .
4．（24-25高一上·遼寧沈陽·月考），，，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型9 三角換元法求最值
1．（24-25高三上·江蘇鹽城·期中）若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
2．（24-25高三上·甘肅白銀·期末）已知，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知均為正數(shù)，，則的最大值為 .
4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
題型10 利用柯西不等式求最值
1．（24-25高三上·北京朝陽·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
2．（24-25高三上·陜西西安·月考）已知，，則的最小值為 ．
3．（24-25高一上·陜西西安·月考）存在正數(shù)使得不等式成立，則的最大值是 .
4．（24-25高三上·廣西欽州·月考）（多選）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
（建議用時(shí)：60分鐘）
一、單選題
1．（24-25高三上·重慶·期末）已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．100
2．（24-25高三上·四川廣安·月考）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．（24-25高三上·廣東中山·月考）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．9B．6C．3D．2
4．（24-25高三上·湖北黃岡·月考）若，且，則的最小值為（ ）
A．20B．12C．16D．25
5．（24-25高三上·江西上饒·月考）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．9B．18C．27D．36
6．（24-25高三上·江蘇·月考）已知，，，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．
7．（23-24高三下·山東淄博·二模）記表示中最大的數(shù)．已知均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．4
8．（24-25高三上·天津河?xùn)|·期末）已知且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（24-25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·月考）已知，，且，則（ ）
A．的最小值為B．的最小值為9
C．的最小值為D．的最小值為
10．（24-25高三上·山西·月考）已知為正實(shí)數(shù)，且，則（ ）
A．的最小值為8B．的最小值為
C．的最大值為D．的最小值為
11．（24-25高三上·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若 ，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（24-25高三上·江蘇泰州·月考）已知均為正實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為
B．若，則的最大值為8
C．若，則的最小值為
D．若，則的最小值為
三、填空題
13．（24-25高三上·福建·月考）已知，，則的最小值為 .
14．若x，y滿足，則的最大值為
15．（24-25高三上·天津河西·月考）已知，，，則的最小值為 .
16．（24-25高三上·山東泰安·期中）已知，，，則的最小值為 .三年考情分析
2025年考向預(yù)測(cè)
基本不等式的應(yīng)用在近三年的高考中一直是一個(gè)重要的考查點(diǎn)，主要集中在求最值和大小判斷．
主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，題目難度適中，考查學(xué)生對(duì)基本不等式的熟練掌握程度．
基本不等式是高考熱點(diǎn)問題，是常考常新的內(nèi)容．2025年會(huì)繼續(xù)以選擇題和填空題的形式考查基本不等式的直接應(yīng)用，重點(diǎn)在于“一正二定三相等”的條件和變形技巧，題目可能會(huì)更加靈活．與解三角形、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合的綜合題型也有可能出現(xiàn)．
條件和問題之間存在基本不等式的關(guān)系
轉(zhuǎn)化符號(hào)：若含變量的項(xiàng)是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．
乘方：若目標(biāo)函數(shù)帶有根號(hào)，則先乘方后配湊為和為定值．
將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個(gè)式子的和或積為定值.
配湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵。
利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：
（1）配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；
（2）代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；
（3）拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．
根據(jù)條件與所求均含有兩個(gè)變量，從簡(jiǎn)化問題的角度來思考，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍．
1、若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實(shí)施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).
模型1：已知正數(shù)滿足，求的最小值。
模型2：已知正數(shù)滿足求的最小值。
2、常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：
（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
（2）把確定的定值(常數(shù))變形為1；
（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
雙換元法是“1”的代換更復(fù)雜情況的應(yīng)用，常用于分母為多項(xiàng)式的情況．
具體操作如下：如分母為與，分子為，
設(shè)
∴，解得：
另外，當(dāng)形式比較復(fù)雜時(shí)，也可以考慮使用換元法進(jìn)行化簡(jiǎn)．
適用于能構(gòu)造成分式，且分式上下為齊次式的題型，構(gòu)造齊次式后則可進(jìn)行下面的操作
再進(jìn)行換元?jiǎng)t題目變成分式類型，按照單變量分式類型計(jì)算即可．
當(dāng)條件式中給出了"和"與"積"之間的關(guān)系時(shí)，可以考慮借助基本不等式進(jìn)行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值．
同一式子中若使用多次基本不等式，需滿足以下兩個(gè)條件：（1）不等號(hào)的方向已知；（2）取等條件一致．
適用于雙變量不等式能構(gòu)造平方和形式的題型．利用進(jìn)行換元．
例如
適用于：已知的值，求的取值范圍，或者已知的值，求的最值或求的最值．
（1）二維柯西不等式：設(shè)均為實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
（2）維柯西不等式：，其中字母值域均為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

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