重難點(diǎn)1-1 基本不等式求最值（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測）-2024年高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
重難點(diǎn)1-1 基本不等式求最值
基本不等式是高考熱點(diǎn)問題，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在解決數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在函數(shù)最值問題中。題型通常為選擇題與填空題，但它的應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等。
在高考中經(jīng)常考察運(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn)。在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時(shí)一定要緊扣“一正二定三相等”這三個(gè)條件靈活運(yùn)用。
【題型1 直接法求最值】
【例1】（2023·河南信陽·高三宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【變式1-1】（2023·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）已知，，且，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·上海青浦·高三校考期中）若且滿足，則的最小值為 .
【變式1-3】（2023·河北保定·高三易縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若都是正數(shù)，且，則的最小值為．
【變式1-4】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知，則的最大值為．
【題型2 配湊法求最值】
【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是 .
【變式2-1】（2023·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校?？计谥校┮阎?，，且，則的最大值為（）
A． B． C．1 D．2
【變式2-2】（2023·山西晉中·高三?？奸_學(xué)考試）已知，則的最大值為（）
A．2 B．4 C．5 D．6
【變式2-3】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【變式2-4】（2023·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最大值為 .
【變式2-5】（2023·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則的最大值為 .
【題型3 消元法求最值】
【例3】（2023·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校?shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式3-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（）
A．4 B．6 C． D．
【變式3-3】（2023·重慶·高三渝北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為 .
【變式3-4】（2023·河南洛陽·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為．
【題型4 “1”的代換求最值】
【例4】（2023·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）
A．25 B．36 C．42 D．56
【變式4-1】（2023·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）
A． B． C． D．1
【變式4-2】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是 .
【變式4-3】（2023·青海海南·高三校聯(lián)考期中）已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為．
【變式4-4】（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值是 .
【變式4-5】（2023·河南周口·高三校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．
【題型5 雙換元法求最值】
【例5】（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知且，則的最小值為（）
A．10 B．9 C．8 D．7
【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則的最大值為．
【變式5-2】（2023·山東·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b，c均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是 .
【變式5-3】（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）已知且，則的最小值為．
【題型6 齊次化法求最值】
【例6】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若且，則的最小值為___________.
【變式6-2】（2022秋·福建南平·高三?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)，，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值為_________．
【題型7 構(gòu)造不等式求最值】
【例7】（2023·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且，則的取值范圍為 .
【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最小值是（）
A． B．1 C．2 D．
【變式7-2】（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則的最大值為（）
A．10 B．8 C．4 D．2
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，且，則的取值范圍為______.
【變式7-4】（2022秋·山西晉中·高三?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最大值是___________.
【題型8 多次使用不等式求最值】
【例8】（2023·新疆喀什·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值為 .
【變式8-1】（2023·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谥校┤魓，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值是．
【變式8-2】（2023·遼寧丹東·高三鳳城市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值為 .
【變式8-3】（2023·天津?qū)幒印じ呷J臺(tái)第一中學(xué)?？计谀┮阎?，則的最小值是．
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若，則的最小值（）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（）
A．8 B．16 C．12 D．4
3．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江第三高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，則的最小值是（）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）
A． B． C．4 D．2
6．（2023·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（）
A．2 B． C．4 D．
7．（2023·重慶·高三渝北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若都是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）
A． B． C．4 D．
8．（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．16 B． C．8 D．4
9．（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．9 B．8 C．3 D．
10．（2022·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（）
A．10 B．9 C． D．
11．（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）（多選）已知，，且，則（）
A． B．
C． D．
12．（2023·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知，，，則（）
A．的最小值為9 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最小值為
13．（2023·山東·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期中）（多選）若實(shí)數(shù)滿足，則（）
A．當(dāng)時(shí)，有最大值 B．當(dāng)時(shí)，有最大值
C．當(dāng)時(shí)，有最小值 D．當(dāng)時(shí)，有最小值
14．（2023·全國·高三模擬預(yù)測）（多選）實(shí)數(shù)，滿足，則（）
A． B．的最大值為
C． D．的最大值為
15．（2023·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期中）若，，，則的最小值為 .
16．（2023·重慶·高三統(tǒng)考期中）已知x，，且，則的最大值為．
17．（2023·上海寶山·高三?？计谥校┊?dāng)時(shí)，的最小值是 .
18．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為．
19．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知，，，則的最小值為 .
20．（2023·山西·?？寄M預(yù)測）已知，且，則的最小值是 .滿分技巧
條件和問題之間存在基本不等式的關(guān)系
轉(zhuǎn)化符號(hào)：若含變量的項(xiàng)是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．
乘方：若目標(biāo)函數(shù)帶有根號(hào)，則先乘方后配湊為和為定值．
滿分技巧
將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個(gè)式子的和或積為定值.
配湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵。
利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：
(1)配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；
(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；
(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．
滿分技巧
根據(jù)條件與所求均含有兩個(gè)變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍。
滿分技巧
1、若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實(shí)施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).
模型1：已知正數(shù)滿足，求的最小值。
模型2：已知正數(shù)滿足求的最小值。
2、常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
滿分技巧
雙換元法是“1”的代換更復(fù)雜情況的應(yīng)用，常用于分母為多項(xiàng)式的情況。
具體操作如下：如分母為與，分子為，
設(shè)
∴，解得：
滿分技巧
當(dāng)條件式中給出了"和"與"積"之間的關(guān)系時(shí)，可以考慮借助基本不等式進(jìn)行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值.
滿分技巧
通過多次使用基本不等式求得代數(shù)式最值的過程中，需要注意每次使用基本不等式時(shí)等式成立的條件不同。

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