新高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專(zhuān)練重難點(diǎn)2-1 函數(shù)值域的常見(jiàn)求法8大題型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書(shū)寫(xiě)規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
重難2-1 函數(shù)值域的求法8大題型
函數(shù)的值域是函數(shù)概念中三要素之一，是高考中的必考內(nèi)容，具有較強(qiáng)的綜合性，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。在高考試卷中的形式千變?nèi)f化，但萬(wàn)變不離其宗，真正實(shí)現(xiàn)了?？汲Ｐ碌目荚囈?，考生在復(fù)習(xí)過(guò)程中首先要掌握一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域求解的基本方法，其次要多看多練在其他板塊中涉及值域類(lèi)型的內(nèi)容。
一、求函數(shù)值域的常見(jiàn)方法
1、直接法：對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題，可通過(guò)基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)直接求解；
2、逐層法：求型復(fù)合函數(shù)的值域，利用一些基本初等函數(shù)的值域，從內(nèi)向外逐層求函數(shù)的值域；
3、配方法：配方法是二次型函數(shù)值域的基本方法，即形如“”或“”的函數(shù)均可用配方法求值域；
4、換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求值域的函數(shù)，常用的換元有
（1）或的結(jié)構(gòu)，可用“”換元；
（2）（均為常數(shù)，），可用“”換元；
（3）型的函數(shù)，可用“”或“”換元；
5、分離常數(shù)法：形如的函數(shù)，應(yīng)用分離常數(shù)法求值域，即，然后求值域；
6、基本不等式法：形如的函數(shù)，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函數(shù)的值域時(shí)，要注意條件“一正、二定、三相等”，即利用求函數(shù)的值域（或最值）時(shí)，應(yīng)滿足三個(gè)條件： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②（或）為定值； = 3 \* GB3 ③取等號(hào)的條件為，三個(gè)條件缺一不可；
7、函數(shù)單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域（或最值）
（1）形如的函數(shù)可用函數(shù)單調(diào)性求值域；
（2）形如的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若利用基本不等式等號(hào)不能成立時(shí)，可考慮利用對(duì)勾函數(shù)求解；
當(dāng)時(shí)，在和上為單調(diào)函數(shù)，可直接利用單調(diào)性求解。
8、函數(shù)的有界性法：形如（或）（其中不為0）的函數(shù)求值域或最值，可用表示出（或），再根據(jù)且（或且），列出關(guān)于的取值范圍.
類(lèi)似地，有： = 1 \* GB3 ①，則； = 2 \* GB3 ②，則； = 3 \* GB3 ③，則
9、判別式法：形如或的函數(shù)求值域，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，利用二次項(xiàng)系數(shù)不為0，判別式或二次項(xiàng)系數(shù)為0，一次方程有解得出函數(shù)的值域。
10、導(dǎo)數(shù)法：對(duì)可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，令，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)單調(diào)性；
如果定義域是閉區(qū)間，則函數(shù)最值一定取在極值點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處；
如果定義域是開(kāi)區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點(diǎn)處。
二、根據(jù)最值條件求解參數(shù)范圍解題思路
已知函數(shù)的最值求參數(shù)范圍時(shí)，要視參數(shù)為已知數(shù)，結(jié)合函數(shù)值域（或最值）的求法，得到函數(shù)的最值（含有參數(shù)），再與給出的函數(shù)最值作比較，求出參數(shù)范圍。
【題型1 單調(diào)性法求函數(shù)值域或最值】
【例1】（2022秋·陜西西安·高三?？计谥校┖瘮?shù)在區(qū)間上的最小值是（）
A．- B． C．1 D．-1
【答案】A
【解析】在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間也單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，因此，故選：A
【變式1-1】（2022秋·北京·高三北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則的值域是_____.
【答案】
【解析】由已知，可得，即函數(shù)為偶函數(shù).
又時(shí)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，
所以，為上的增函數(shù)，則
所以，的值域是.
【變式1-2】（2022春·浙江舟山·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知，則函數(shù)（）
A．有最小值4 B．有最大值4 C．無(wú)最小值 D．有最大值
【答案】C
【解析】時(shí)，，
因?yàn)樵谏线f減，在上單調(diào)遞減，
函數(shù)是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，
且，其值域是；
所以函數(shù)無(wú)最大、最小值．故選：C
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.
【答案】0
【解析】由，且，
∴令，，
即在為單調(diào)遞增，為單調(diào)遞減，而為增函數(shù)，
∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，.
【變式1-4】（2022秋·江蘇蘇州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)
（1）求實(shí)數(shù)的值，判斷函數(shù)在,上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)在,上的最大值和最小值．
【答案】（1），單調(diào)遞增；（2）最小值，最大值
【解析】（1）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，
即，解得，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又函數(shù)是上的偶函數(shù)，
所以函數(shù)在,上為增函數(shù)，
所以函數(shù)在,上為增函數(shù)，在,上為減函數(shù)．
又
所以
【變式1-5】（2022秋·黑龍江牡丹江·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的值域
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依題意，，而，解得，即有，
所以函數(shù)的解析式是.
（2）由（1）知，，
因函數(shù)和在上都單調(diào)遞增，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
【題型2 配方法求函數(shù)值域或最值】
【例2】（2022秋·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù)的值域是_____.
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>化簡(jiǎn)得：，解得：，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
【變式2-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?
從而，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：D
【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_(kāi)______．
【答案】2
【解析】設(shè)，則，
所以原函數(shù)可化為：，
由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值2.
【變式2-3】（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為（）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
令，
即，
由，則.故選：A.
【變式2-4】（2022秋·北京·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)是（）
A．奇函數(shù)，且最小值為-2 B．偶函數(shù)，且最小值為-2
C．非奇非偶函數(shù)，且最小值為 D．非奇非偶函數(shù)，且最大值為
【答案】C
【解析】，其定義域?yàn)椋?br>，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，
令，則，則，
易知，故選：C.
【變式2-5】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，均滿足.則的值為_(kāi)__________；函數(shù)的最小值為_(kāi)__________.
【答案】 0
【解析】函數(shù)，因?qū)θ我夥橇銓?shí)數(shù)x，均滿足，
則，有，
即，
由等式兩邊展開(kāi)式最高次項(xiàng)系數(shù)得：，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)得，，，
對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x成立，
因此，
，
，當(dāng)即時(shí)，，
所以的值為0，函數(shù)的最小值為.
【題型3 分離常數(shù)法求函數(shù)值域或最值】
【例3】（2022秋·河南鄭州·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，
可得，，
，故.故選：B.
【變式3-1】（2022秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______．
【答案】
【解析】由，可得且，函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?br>，
所以且，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>【變式3-2】（2022秋·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值___________，此時(shí)___________.
【答案】 ##
【解析】，
由，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
【變式3-3】（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br>，
令，
由雙勾函數(shù)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以.
【變式3-4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若在是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），令，則，由可得，
由條件可知在是增函數(shù).
當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí)，則，∴.
綜上，的取值范圍為.
（2）由可得，
因?yàn)?，所以，所以?br>令，則，，
因?yàn)?，所以，∴?br>所以的范圍是.
【題型4 判別式法求函數(shù)值域或最值】
【例4】（2022秋·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的值域是______．
【答案】
【解析】由題知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，將整理得，
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以，，即函數(shù)的值域是
【變式4-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】設(shè)，，，
時(shí)，，
時(shí)，因?yàn)椋?，解得，即且?br>綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．
【變式4-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則有，
當(dāng)時(shí)，代入原式，解得．
當(dāng)時(shí)，，
由，解得，于是的最大值為，最小值為，
所以函數(shù)的最大值與最小值的和為．故選：B.
【變式4-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.
【答案】
【解析】由題可得，，令，則，
即，當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，要使方程有解，
則需，得.
綜上，
【變式4-4】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)的最小值.
【答案】.
【解析】解法一：函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)..①
又，即，
對(duì)①式兩邊平方，得.
整理，得.②
對(duì)②式兩邊平方，得，
再整理，得.③
，x為實(shí)數(shù)，，
化簡(jiǎn)并整理，得，
即，
又，，，
當(dāng)時(shí)，方程③為，即，
解得，故函數(shù)的最小值為.
解法二：
令，，，則
點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.
則
（其中運(yùn)用三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)且僅當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí)取“等號(hào)”）.
【題型5 逐層法求函數(shù)值域或最值】
【例5】（2022秋·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域?yàn)椋? ）
A．［－1,0] B． C．［0,2] D．
【答案】B
【解析】解法一：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn) ，所以，可得，
所以，．
因?yàn)?，所以，故?br>因此，函數(shù)在區(qū)間[1,9]上的值域?yàn)椋蔬x：B．
解法二：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，可得，
所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?br>所以，所以，解得，
即函數(shù)在區(qū)間[1,9]上的值域?yàn)椋蔬x：B．
【變式5-1】（2022春·江蘇南京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則的最大值為（）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】記，則，
所以，且，所以最大為.故選：B.
【變式5-2】（2021秋·安徽六安·金寨縣青山中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考）函數(shù)的最小值是_______.
【答案】
【解析】令t=2x，x∈[0，2]，則t∈[1，4]．
原函數(shù)化為g（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4，
當(dāng)t=1時(shí)，g（t）有最小值，即f（x）有最小值為-4．
【變式5-3】（2020秋·吉林白城·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________.
【答案】
【解析】由題得，
設(shè)，，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以.
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>所以
所以.
【題型6 導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)值域或最值】
【例6】（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）函數(shù)，的值域是______.
【答案】
【解析】由題意，在中，
，
∴函數(shù)在單調(diào)遞增
∵，
∴函數(shù)，的值域是
【變式6-1】（2022秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為_(kāi)________．
【答案】2
【解析】令，則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
故，則.
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最小值為2．
【變式6-2】（2022秋·安徽安慶·高三安慶一中統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù),則在上的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知,定義域?yàn)?
,
∴在定義域上為偶函數(shù),
則當(dāng)時(shí),,
,
,
,∴在單調(diào)遞減,
在定義域上為偶函數(shù),
∴在單調(diào)遞增,
∴在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
,
故在上的值域?yàn)?故選:D
【變式6-3】（2016·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校校考三模）已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值與最小值的差是______.
【答案】
【解析】令，則，且，
則，
∵在時(shí)恒成立，
故在上為增函數(shù)，
故函數(shù)的最大值與最小值的差.
【題型7 已知函數(shù)的最值求參數(shù)】
【例7】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，令，得，
則在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
即函數(shù)在處取得最小值，
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
令，則在上恒成立
當(dāng)時(shí)，不符合.
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，則或
解得或，所以，故選：A.
【變式7-1】（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若時(shí)，，；
若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值；
若時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，，
若函數(shù)有最小值，需或，解得.故選：B
【變式7-2】（2022秋·新疆烏魯木齊·高三烏市八中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)_______.
【答案】3
【解析】∵函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，最大值為；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，最大值為，
即，顯然不合題意，
故實(shí)數(shù).
【變式7-3】（2022秋·江西·高三九江一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且的最大值為，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，，即，且，∴，，
即.
∴，（當(dāng)時(shí)也成立），
令，，，，則，
∵，且
∴由，可得，即，
又在上單調(diào)遞增，
∴，∴.故選：A．
【變式7-4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)在上的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，則，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
當(dāng)時(shí)，在，上恒成立，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，解得（舍，
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；
，，函數(shù)單調(diào)遞增，
時(shí)，函數(shù)取得最小值，解得，
綜上，．故選：D．
【變式7-5】（2022秋·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.
【答案】1
【解析】，，
兩邊平方得：，
即，
再平方得：，
化簡(jiǎn)得：，
當(dāng)，即時(shí)，，
此時(shí)最大值為，不符題意.
所以.
因?yàn)榉匠逃薪猓裕?br>即，
化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，所?
故答案為：.
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
從而可知函數(shù)的值域?yàn)?故選：C
2．（2019秋·黑龍江雞西·高三雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：A
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當(dāng)，
當(dāng)時(shí),因?yàn)椋?br>令，的含義是點(diǎn)與單位圓上的點(diǎn)的連線的斜率，
所以，所以
所以，即，綜合得，，
故最小值為：.故選：B.
4．（2021秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，定義域?yàn)椋?br>令，，
利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單增；
，即，
又，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：C
5．（2022秋·遼寧錦州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，又函數(shù)的值域?yàn)镽，
則，解得．故選：C．
6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因?yàn)?br>，
所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：C
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因?yàn)?，所以，，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以函數(shù)的值域是，故選：D
8．（2021秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，
所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，得.故選：B
9．（2022秋·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校階段練習(xí)）函數(shù)在上的值域?yàn)開(kāi)___．
【答案】
【解析】在上為增函數(shù)，
則在上的最小值為，最大值為，即．
10．（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)樗裕?br>所以函數(shù)值域?yàn)椋?br>11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)__________．
【答案】
【解析】因?yàn)?，令，則，則，
所以，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)?
12．（2022秋·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的值域是_________.
【答案】
【解析】由函數(shù)可知
所以，整理得：
當(dāng)時(shí)，，符合；
當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的一元二次方程在有根
所以
整理得：且，解得：，
綜上得：.
13．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高三洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的值域是__________．
【答案】
【解析】，
由，解得，
令，即，
將函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為
與有交點(diǎn)時(shí)的t的取值范圍，
在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)與的圖象如圖所示：
由圖象知：當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，t最小，
此時(shí)，解得，由圖象知，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，t最大，此時(shí)，
所以，即的值域是，
14．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三蘆溪中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.
【答案】
【解析】由題得且.
因?yàn)? 且.
所以原函數(shù)的值域?yàn)?
15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_(kāi)____.
【答案】.
【解析】因?yàn)椋?br>令，則，，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，
又，，
由此，得在時(shí)取得最大值，最大值為，故的最大值為.
16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的最大值為_(kāi)_____．
【答案】16
【解析】由可得或，即,是函數(shù)的零點(diǎn)，
的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),
故關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)和也是函數(shù)的零點(diǎn)，
故0,4是的根，
故由韋達(dá)定理可得,
所以,
所以,
令可得或或，
當(dāng)或,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)或時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,
故函數(shù)最大值為.
17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)的值域.
【答案】
【解析】由，且，解得，故該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，.
18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求值域(用區(qū)間表示)：
（1），①；②；
（2）；
（3）.
【答案】（1）①[7，28]；②[3，12]；（2）；（3）(∞，1)∪(1，+∞)
【解析】（1），
①當(dāng)時(shí)，，
∴值域?yàn)閇7，28]；
②當(dāng)時(shí)，，
∴值域?yàn)閇3，12]．
（2）令，則，
因?yàn)?，所以，即?br>所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>（3），
因?yàn)?，所?br>所以函數(shù)的值域?yàn)?∞，1)∪(1，+∞).
19．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是奇函數(shù).
（1）求a的值；
（2）求的值域.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以
又是奇函數(shù)，所以，
即，則
（2）由（1）可知，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
又是奇函數(shù)，所以的值域?yàn)?br>20．（2022·河南開(kāi)封·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.
（1）若是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得：恒成立，
即恒成立，又的最小值為-2，所以，
則有.
（2）當(dāng)時(shí)，，
所以，
令，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，?br>所以存在使得，即，從而
則有
則最大值為：，
所以，
則在上單調(diào)遞減，所以最小值為.x
正
負(fù)
遞增
遞減

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