基本不等式是高考熱點問題，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中一個重要的知識點，在解決數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在函數(shù)最值問題中。題型通常為選擇題與填空題，但它的應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等。
在高考中經(jīng)常考察運用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強等特點。在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時一定要緊扣“一正二定三相等”這三個條件靈活運用。
【題型1 直接法求最值】
【例1】（2023·河南信陽·高三宋基信陽實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【變式1-1】（2023·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·上海青浦·高三校考期中）若且滿足，則的最小值為 .
【變式1-3】（2023·河北保定·高三易縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若都是正數(shù)，且，則的最小值為 ．
【變式1-4】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知，則的最大值為 ．
【題型2 配湊法求最值】
【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是 .
【變式2-1】（2023·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校校考期中）已知，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式2-2】（2023·山西晉中·高三?？奸_學(xué)考試）已知，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【變式2-3】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【變式2-4】（2023·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）已知正實數(shù)x，y滿足：，則的最大值為 .
【變式2-5】（2023·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，則的最大值為 .
【題型3 消元法求最值】
【例3】（2023·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校崝?shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式3-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C． D．
【變式3-3】（2023·重慶·高三渝北中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為 .
【變式3-4】（2023·河南洛陽·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為 ．
【題型4 “1”的代換求最值】
【例4】（2023·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．25 B．36 C．42 D．56
【變式4-1】（2023·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【變式4-2】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）若正實數(shù)，滿足，則的最小值是 .
【變式4-3】（2023·青海海南·高三校聯(lián)考期中）已知實數(shù)，，且，則的最小值為 ．
【變式4-4】（2023·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值是 .
【變式4-5】（2023·河南周口·高三校考階段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【題型5 雙換元法求最值】
【例5】（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知且，則的最小值為（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則的最大值為 ．
【變式5-2】（2023·山東·高三省實驗中學(xué)校考期中）已知a，b，c均為正實數(shù)，，則的最小值是 .
【變式5-3】（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）已知且，則的最小值為 ．
【題型6 齊次化法求最值】
【例6】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若且，則的最小值為___________.
【變式6-2】（2022秋·福建南平·高三?？计谥校┮阎獙崝?shù)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值為_________．
【題型7 構(gòu)造不等式求最值】
【例7】（2023·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且，則的取值范圍為 .
【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最小值是 （ ）
A． B．1 C．2 D．
【變式7-2】（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，滿足，，且，則的最大值為（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，且，則的取值范圍為______.
【變式7-4】（2022秋·山西晉中·高三校考階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最大值是___________.
【題型8 多次使用不等式求最值】
【例8】（2023·新疆喀什·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值為 .
【變式8-1】（2023·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谥校┤魓，y，z均為正實數(shù)，則的最大值是 ．
【變式8-2】（2023·遼寧丹東·高三鳳城市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則的最小值為 .
【變式8-3】（2023·天津?qū)幒印じ呷J臺第一中學(xué)校考期末）已知，則的最小值是 ．
（建議用時：60分鐘）
1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若，則的最小值（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．16 C．12 D．4
3．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江第三高級中學(xué)校考期中）已知，則的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點在直線上，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．2
6．（2023·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（2023·重慶·高三渝北中學(xué)校考階段練習(xí)）若都是正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
8．（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．16 B． C．8 D．4
9．（2023·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
10．（2022·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．10 B．9 C． D．
11．（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）（多選）已知，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知，，，則（ ）
A．的最小值為9 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最小值為
13．（2023·山東·高三濟南一中校聯(lián)考期中）（多選）若實數(shù)滿足，則（ ）
A．當(dāng)時，有最大值 B．當(dāng)時，有最大值
C．當(dāng)時，有最小值 D．當(dāng)時，有最小值
14．（2023·全國·高三模擬預(yù)測）（多選）實數(shù)，滿足，則（ ）
A． B．的最大值為
C． D．的最大值為
15．（2023·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）若，，，則 的最小值為 .
16．（2023·重慶·高三統(tǒng)考期中）已知x，，且，則的最大值為 ．
17．（2023·上海寶山·高三?？计谥校┊?dāng)時，的最小值是 .
18．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為 ．
19．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知，，，則的最小值為 .
20．（2023·山西·校考模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值是 .滿分技巧
條件和問題之間存在基本不等式的關(guān)系
轉(zhuǎn)化符號：若含變量的項是負數(shù)，則提取負號，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．
乘方：若目標(biāo)函數(shù)帶有根號，則先乘方后配湊為和為定值．
滿分技巧
將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個式子的和或積為定值.
配湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵。
利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：
(1)配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；
(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；
(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．
滿分技巧
根據(jù)條件與所求均含有兩個變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍。
滿分技巧
1、若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).
模型1：已知正數(shù)滿足，求的最小值。
模型2：已知正數(shù)滿足求的最小值。
2、常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
滿分技巧
雙換元法是“1”的代換更復(fù)雜情況的應(yīng)用，常用于分母為多項式的情況。
具體操作如下：如分母為與，分子為，
設(shè)
∴，解得：
滿分技巧
當(dāng)條件式中給出了"和"與"積"之間的關(guān)系時，可以考慮借助基本不等式進行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值.
滿分技巧
通過多次使用基本不等式求得代數(shù)式最值的過程中，需要注意每次使用基本不等式時等式成立的條件不同。

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